第四章因式分解（培優卷）

考試時間：120分鐘，滿分：120分

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.多項式-4a+8a2中各項的公因式是（）

A.aB.4aC.4a2D.8a

【答案】B

【分析】本題考查了公因式，深刻理解公因式的概念是解題的關鍵：（1）定義：多項式。。+。6+必的

各項都有一個公共的因式。，我們把因式。叫做這個多項式的公因式；（2）公因式必須是每一項中都

含有的因式；（3）公因式可以是一個數，也可以是一個字母，還可以是一個多項式；（4）某個或某些

項中含有，而其他項中沒有的因數或因式不能成為公因式的一部分；（5）確定公因式的方法：①定系

數，即確定各項系數的最大公因數；②定字母，即確定各項的相同字母因式（或相同多項式因式）：③

定指數，即各項相同字母因式（或相同多項式因式）的指數的最低次累；（6）方法點睛：①系數：當

多項式中各項系數是整數時，公因式的系數是多項式中各項系數的最大公因數；當多項式中各項系數是

分數時，則公因式的系數是分數，而且分母取各項系數中分母的最小公倍數，分子取各項系數中分子的

最大公因數；②字母：取各項中的相同字母（或多項式）；③指數：各相同項字母（或多項式）的指數

取最低次數.

根據公因式的概念及確定公因式的方法進行解答即可.

【詳解】解：多項式-44+81中各項的公因式是4%

故選：B.

2.若/+（“-2卜+9能用完全平方公式進行因式分解，則常數。的值是（）

A.一1或5B.5C.8D.8或一4

【答案】D

【分析】本題考查完全平方公式，根據/±2"+〃=（.±6）2即可求解.

【詳解】解：?.”（2X3X）+9=（X±3）2,

a—2=±2x3=+6,

解得a=-4或〃=8,

故選D.

3.下列因式分解，正確的是()

A.9-12a+4/=-(2。-3)~B.—a~b+4ab—5b=—b+4a+5)

C.a2b2-c2=a1(b+c)(b-c)D.(a+2『-9=(a+5)(a-l)

【答案】D

【分析】本題考查了因式分解的應用，熟練掌握因式分解的方法是解答本題的關鍵.因式分解常用的方

法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法.根據因式分解的方法逐項分析即可.

【詳解】解：A.9一12。+4/=(2。一3)2,故不正確；

B.—a~b+4ab—5b=—b(a~—4。+5),故不正確；

C.a-b--c2=(ab+c)(ab-c),故不正確；

D.(a+2『-9=(a+2+3)(a+2-3)=(a+5)g-l),正確；

故選D.

4.(-2戶-2戶”計算后的結果是()

A.22023B.-2C.-22023D.-1

【答案】A

【分析】該題主要考查了因式分解的應用，直接提取公因式22必，進而得出答案.

［詳解］解：(-2)2024+(-2)2023=22024-22023=2x22023-22023=22023,

故選:A.

5.若x?+/MX+2=(x+2)(x-〃)，則加-”的值是()

A.6B.4C.2D.-6

【答案】B

【分析】本題考查了因式分解與多項式乘多項式，計算(x+2)(x-〃)即可求解.

【詳解】解：?:(x+2)(x-n)=x2+(2-?)X-2M=x2+mx+2

-2M=1,1-n=m

：.n=—l,m=3

m-n=3-(-1)=4,

故選：B.

6.下列等式從左到右變形，是因式分解的是（）

A.2a—1=a^21B.x2—2x+1=（x—l）2

C.[a-b^a+b^=a2-b2D.x2+x+l=x（x+l）+l

【答案】B

【分析】此題考查因式分解的定義，因式分解是將多項式分解成為幾個因式相乘的形式，由此即可求解.

【詳解】A、2。-1=。0不是因式分解，故該選項錯誤；

B、--2x+l=（x-l）2是因式分解，故該選項正確；

C、=不是因式分解，，故該選項錯誤；

D、Y+x+l=x（x+l）+l不是因式分解，故該選項錯誤；

故選：B.

7.2327可以被10和20之間某兩個整數整除，則這兩個數是（）

A.17,15B.17,16C.15,16D.13,14

【答案】A

【分析】本題考查因式分解的應用，先對原式進行因式分解，然后即可求出這兩個整數.解題的關鍵是

熟練運用平方差公式進行因式分解.

【詳解】解:232-1

=（216+1）（216-1）

=（216+1）（28+1）（28-1）

=（216+1）（28+1）（24+1）（24-1）

=（216+1）（28+1）X17X15,

這兩個數是17和15.

故選：A.

8.若△ABC三邊a,b,c滿足+6c=0,判斷△4BC的形狀是（）

A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】本題考查了因式分解的應用，三角形三邊關系，等腰三角形的判定，由已知等式可得

(。-6)(。+6-c)=0,根據三角形的三邊關系可得a-6=0,據此即可判斷求解，正確對等式左邊進行因

式分解是解題的關鍵.

【詳解】解：a2-b2-ac+bc=0,

.,.(a+6)(a-b)-(a-b)c=0,

.?.(Q-b)(a+b-c)=0,

,:a,b,c為△/BC三邊，

a+b>c,

???〃+b—c>0,

：.a-b=0,

：.a=b,

.??△45。為等腰三角形，

故選：C.

9.甲、乙兩個同學分解因式+〃時，甲把〃2看錯分解結果為(x+3)(x-4),乙把"看錯分解結果為

(x+l)(x+3),那么多項式/+wx+〃分解的正確結果是()

A.(x+2)(x-6)B.(x+6)(x-2)C.(x+4)(x-3)D.(x-l)(x+5)

【答案】B

【分析】本題考查了因式分解、多項式乘以多項式，熟練掌握利用十字相乘法分解因式是解題關鍵.先

計算(x+3)(x-4),(x+lg+3),根據甲的結果可求出"的值，根據乙的結果可求出加的值，再利用十

字相乘法分解因式即可得.

【詳解】解：(x+3)(x-4)=x2-4x+3x—12=X2—x-12,

(x+l)(x+3)=x2+3x+x+3=X2+4x+3,

???甲把m看錯分解結果為(x+3)(尤-4),乙把n看錯分解結果為(x+1g+3),

???n=-12,m=4,

x2+mx+n=x2+4x-12=(x+6)(x—2),

故選：B.

10.下列多項式能用平方差公式分解因式的是()

A.a2+(-Z?)2B.5m2-20mnC.-x2-y2D.-%2+9

【答案】D

【分析】依次各選項分解因式，即可求解，

本題考查了分解因式，解題的關鍵是：熟練掌握分解因式.

【詳解】解：A、a2+(-by=a2+b2,無法分解因式，不符合題意，

B、5m2-20mn=5m(m-4n),應用提公因式法分解因式，不符合題意，

C、-x2-y2=-(x2+y2),應用提公因式法分解因式，不符合題意，

222

D、-X+9^3-X=(3+X)(3-X),應用平方差公式分解因式，符合題意，

故選：D.

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.

11.因式分解：儼+1)-4x2-.

【答案】(X+1)2(X_1)2/(X—1)2(X+I)2

【分析】本題考查因式分解，先利用平方差公式法進行因式分解，再利用完全平方公式進行求解即可.

【詳解】解：原式=(，+l+2x)(/+l一2x)=(x+l)2(無一1)2；

故答案為：為+((X-I),

12.在括號內填入適當的單項式，使多項式-()能因式分解，則括號內的單項式可以

是.(填一種即可)

【答案】一》

【分析】本題考查因式分解的知識，解題的關鍵是掌握因式分解的方法，根據題意，多項式

x2-y2+x+(),當括號內的單項式為時，因式分解為：(x-y)(x+y)+(x-y)=(x-y)(x+,y+l),

進行解答，即可.

【詳解】解：■.-a2-b2=(a+b)(a-b),

x2-y2+x+()=(x+y)(x-y)+x+(),

當括號內的單項式為一夕時,

??■.X2-y2+x+(-y)^(x+y)(x-y)+x-y^(x-y)(x+y+l.).

故答案為：一九

10132+101F+2022X1013

13.計算:

10132-10112

【答案】1012

【分析】本題考查因式分解，利用平方差公式和完全平方公式進行因式分解后，計算即可.

(1013+1011)2

【詳解】解:原式=

(1013+1011)(1013-1011)

1013+1011

1013-1011

2024

2

=1012；

故答案為：1012.

14.若實數x滿足一一工一1=0,則/-2/+21=.

【答案】20

【分析】本題考查了整式乘法的應用，由一一2》-1=0化為，-》=1,代入計算可求解即可，掌握知識

點的應用及整體代入是解題的關鍵.

【詳解】解：,■,x2-2x-l=0,

J/—％=1，

???/—2/+21

=x3-x2-x2+21

-X(12_1)_+2]

—x—+21

=_卜2-x^+21

=—1+21

=20,

故答案為：20.

15.若關于x,歹的二元二次式一+7中-18/一5%+加y-24可以分解成兩個一次因式的積，則加的值

為.

【答案】43或-78

【分析】本題考查了因式分解的意義，可根據已知條件設出這兩個一次因式分別是工+砂+3與x+勿-8,

相乘后根據多形式相等可求出。、6的值，從而得到答案.

【詳解】解：設尤2+7盯—18/—+—24=(%+@+3)(工+如一8),

x2+7xy—18y2—5x+my-24=x2+(a+b)xy+aby2—5x+(—8〃+3b)y—24,

Jq+b=7

\ab=-l?)'

m=一8Q+36=43或加=一8。+3b=-78.

故答案為：43或-78.

三、解答題(一)：本大題共3小題，每小題7分，共21分.

16.(1)計算：(2x+y)(2x—y)+(x—y)2；

(2)因式分解：/(1-5)+9(5-6).

【答案】(1)5/一2孫；(2)僅一5)5+3)5-3)

【分析】(1)利用平方差公式和完全平方公式化簡運算即可；

(2)先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；

本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵.

【詳解】解：(1)原式=4x?—+x?一2xy+/

=5x2—2xy；

(2)原式=/僅-5)-90-5)

=(Z)-5)(a2-9)

=(6-5)(a+3)(a-3).

17.簡便計算：

(1J999992+199999;

(2)2022-542+256x352

【答案】⑴10000000000；

(2)128000

【分析】本題主要考查了因式分解的應用、平方差公式、乘法運算律等知識點，靈活運用相關運算法

則成為解題的關鍵.

(1)利用因式分解進行計算即可；

(2)利用平方差公式進行計算和乘法運算律求解即可.

【詳解】(1)解：999992+199999

=999992+99999+100000

=99999(99999+1)+100000

-99999x100000+100000

=100000x(99999+1)

=100000x100000

=10000000000.

(2)解：2028-542+256x352

=(202+54)(202-54)+256x352

=256x148+256x352

=256x(148+352)

=256x500

=128000.

18.已知。=5加+1,b——m+2,c=-m+3,求/+2。6+/—2ac—26c+c?.

【答案】

4

【分析】本題主要考查了因式分解的運用，熟練掌握相關知識是解題關鍵.首先根據題意可知

a+6-c=］機，根據完全平方公式將原式進行因式分解，然后將a+b-c=1〃?代入計算即可.

22

【詳解】解：???〃=(加+1,b加+2,c=g加+3,

71

：.a+b-c=—m,

2

a2+2ab+b2—2cle—2bc+c2

=(Q+6『-2(a+b)c+c

=(q+b-c)

四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分.

19.閱讀材料：要把多項式。機+劭+6機+加分解因式，可以先把它進行分組再分解因式：

am+an+bm+bn=（。加+。〃）+僅加+加）=〃（加+〃）+6（加+〃）=（加+〃）（〃+6）,這種分解因式的方法叫做

分組分解法.

⑴請用上述方法分解因式：

（2）已知q—b=3,a+c=-5,求式子ac-bc+a?一。6的值；

⑶分解因式：x3+6x2+llx+6=.

【答案】（l）（x-〉）（x+〉+l）

（2）-15

（3乂X+1）（》+2）（工+3）

【分析】本題考查了因式分解，代數式求值，解題的關鍵是掌握分組分解法.

（1）根據分組分解法因式分解即可；

（2）先將所求代數式因式分解，再代入值求解即可；

（3）根據分組分解法因式分解即可.

【詳解】（1）解：x2-/+x-y

=(x+y)(x-y)+(x-y)

=(x-y)(x+〉+l).

(2),**ci—b=3,tz+c——5，

ac-bc+a1-ab

[ac+4)_(be+ab)

=〃(c+a)-b(c+a)

=(C+Q)(Q-Z?)

=-5x3

=-15.

(3)x3+6x2+1lx+6

=x3+x2+5x2+5x+6x+6

=(/+Y)+(5/+5%)+(6x+6)

=x2(x+l)+5x(x+l)+6(x+l)

=(工+1)卜2+5工+6)

=(x+l)(x+2)(x+3).

故答案為：(x+l)(x+2)(x+3).

20.仔細閱讀下面例題，解答問題：

例題：已知二次三項式——4x+機有一個因式是(工+3),求另一個因式以及機的值.

解：設另一個因式是(X+”),得-2-4—+加=(x+3)(x+〃)

貝!]一―4x+加=x?+(〃+3)x+3n

fH+3=-4fH=-7

?-?w解得

m=3n\m=—291\

???另一個因式是的值是一21

仿照上面的方法解答下面問題：

⑴已知二次三項式2/+3x4有一個因式是(2X-3),求另一個因式以及k的值；

⑵若二次三項式#+3x-7有一個因式是(2x+l),求a的值.

【答案】⑴另一個因式為x+3,左的值為9

(2)。=34

【分析】本題主要考查了因式分解與多項式乘法之間的關系：

(1)設另一個因式為(x+〃)，根據例題的方法，列出等式并將等式右側展開，然后利用對應系數法即

可求出結論；

（2）設另一個因式為根據例題的方法，列出等式并將等式右側展開，然后利用對應系數法

即可求出結論.

【詳解】（1）解：設另一個因式為（》+〃），

.??2x2+3x-k=（2x—3）（%+〃）,

2x?+3x-k=212—3x+271tx-3n,

2x2+3x-k=2x2+（2〃-3）X-3/7

]2〃-3=3

[-k=-3n'

/.n=3,k=9,

丁?另一個因式為x+3,左的值為9；

（2）解：設另一個因式為+

ax2+3x-7=（21+1）（蕓+〃），

Cl

.,.ax2+3x—l=ax2+—x+2nx+n,

2

ax2+3x-7=ax2+[—+2n\x+n

（2）f

???巴+2〃=3,n=—7,

2

ci=34o

21.如果一個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘數〃.如：4=22-02,

12=42-2320=62-4,因此4,12,20都是"神秘數”

（1）28和2024這兩個數是“神秘數"嗎？為什么？

（2）設兩個連續偶數為"+2和泰（其中左取非負整數），由這兩個連續偶數構造的神秘數是4的倍數

嗎？為什么？

⑶兩個連續奇數的平方差（取正數）是神秘數嗎？為什么？

【答案】⑴28是“神秘數"，2024不是“神秘數"，理由見解析

⑵是，理由見解析

⑶不是，理由見解析

【分析】此題考查的知識點是因式分解的應用，主要是平方差公式的靈活應用.

(1)試著把36、2022寫成平方差的形式，即可判斷是否是神秘數；

(2)化簡兩個連續偶數為2人+2和2%的平方差，再判斷；

(3)設兩個連續奇數為2?+1和1,貝IJ(2左+1)2(2左-Ip=8上即可判斷兩個連續奇數的平方差不是

神秘數.

【詳解】(1)28是“神秘數"，2024不是“神秘數"，理由如下：

28=82-62.

又2024=50*505。但505、507不是連續的偶數,

?4-28是"神秘數"，2024不是"神秘數”.

(2)是，理由如下：

(2k+2)2-(2左『=(24+2-2左)(24+2+2后)=4(2k+1),

.?.由2人+2和2斤構造的神秘數是4的倍數，且是奇數倍.

(3)不是，理由如下：

設兩個連續奇數為2左+1和2人-1,

貝(1(2左+1『一(2左一1『=8后=4x2左，

即：兩個連續奇數的平方差是4的倍數，是偶數倍，不滿足連續偶數的神秘數為4的奇數倍這一條件.

兩個連續奇數的平方差不是神秘數.

五、解答題(三)：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分.

22.【材料閱讀】利用整式的乘法運算法則推導得出：(G+6)(cx+d)=acx2+(ad+6c)x+6d.我們知道因

式分解是與整式乘法方向相反的變形，禾!］用這種關系可得acx?+(ad+6c)x+6d=(亦+b)(cx+d).通過

觀察可把。m2+(或7+A拄+〃看作以x為未知數，以b、c、d為常數的二次三項式，此種因式分解是

把二次三項式的二次項系數m與常數項加分別進行適當的分解來湊一次項的系數，分解過程可形象地

表述為"豎乘得首、尾，叉乘湊中項"，如圖1,這種分解因式的方法稱為十字相乘法.例如，將二次三

項式2x2+11X+12的二次項系數2與常數項12分別進行適當的分解，如圖2,則

2X2+11X+12=(X+4)(2^+3).

ab14

axd+cXb=ad+bc”3+2x4=11

圖1圖2

根據閱讀材料解決下列問題:

⑴用十字相乘法分解因式：X2+3X-10,

力5

1/X（①）X2+3X-10=@

lx^+lx5=^

⑵如果X?+加x+8=(x+p)(x+q),其中機,P,4均為整數，求小的值.

【答案】⑴-2；-2；3；(x+5)(x-2)

(2)-6或6

【分析】⑴首先把二次項的系數1分解為兩個因數的積，即1=1x1,把常數項-10也分解為兩個因數

的積，即-10=5x(-2),寫出結果即可.

(2)根據前面計算方式，列式解答即可.

本題考查了因式分解的新方法，熟練掌握方法是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：把二次項的系數1分解為兩個因數的積，即1=1x1,把常數項-10也分解為兩個因

數的積，即-10=5x(-2),根據lx5+lx(-2)=3,

故—+3X-10=(X+5)(X-2).

故答案為：-2；-2；3；(x+5)(x-2).

(2)解：+加工+8=(工+2，把二次項系數1寫成1=1x1,8=—2x(-4)=2x4,滿足

m=1x(—2)+1x(-4)=-6,或加=lx2+lx4=6

故加的值為：-6或6.

23.綜合與實踐

【問題情境】

(1)對于一個圖形，如圖1,通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數學等式」

圖1圖2圖3

【探究實踐】

(2)類比圖1,寫出圖2中所表示的數學等式「

(3)利用(2)中