專題27.15相似三角形中考真題分類專題（綜合類）（專項練習）

第一部分【題型目錄】

一、選擇與填空

【題型1】判斷辨析...........................................................1

【題型2】尺規作圖+判斷求值.................................................4

【題型3】反比例函數+三角形相似..............................................7

【題型4】黃金分割..........................................................10

【題型5】三角形相似的應用舉例..............................................12

【題型6】利用三角形相似的性質與判定求函數關系式............................14

【題型71利用相似三角形性質與判定求面積....................................16

【題型8】利用相似三角形性質與判定求角度...................................20

【題型9】利用相似三角形性質與判定求線段長.................................23

【題型10】利用相似三角形性質與判定解決規律、最值、圓的問題................26

二、解答題

【題型n】三角形為背景相似三角形問題.......................................30

【題型12】特殊四邊形為背景相似三角形問題...................................32

【題型13］圓為背景相似三角形問題...........................................35

【題型14】反比例函數為背景相似三角形問題...................................39

【題型15］二次函數為背景相似三角形問題....................................42

第二部分【題型展示與方法點撥】

【題型1】綜合判斷辨析

［例1］（2024?江蘇連云港?中考真題）下列網格中各個小正方形的邊長均為1,陰影部分圖形分別記作甲、

乙、丙、丁，其中是相似形的為（）

A.甲和乙B.乙和丁C.甲和丙D.甲和丁

【答案】D

【分析】本題考查相似圖形，根據對應角相等，對應邊對應成比例的圖形是相似圖形結合正方形的性質，

進行判斷即可.

解：由圖可知，只有選項甲和丁中的對應角相等，且對應邊對應成比例，它們的形狀相同，大小不同，是

相似形.

故選D.

【變式1】（2024?湖南?中考真題）如圖，在VA3C中，點O,E分別為邊AB,AC的中點.下列結論中,

錯誤的是（）

A

L

B----------------xc

A.DE//BCB.AADE^AABCC.BC=2DED.SAADE=—SAABC

【答案】D

【分析】本題考查了三角形中位線的性質,相似三角形的判定和性質，由三角形中位線性質可判斷A、C；

由相似三角形的判定和性質可判斷B、D,掌握三角形中位線的性質及相似三角形的判定和性質是解題的

關鍵.

解：回點O,E分別為邊AB,AC的中點，

^DE//BC,BC=2DE,故A、C正確；

SDE//BC,

SAADE^AABC,故B正確；

^AADE^AABC,

SUcJbJ"

=

團^hADETSAA6C，故D錯誤；

故選：D.

【變式2］（2024?山東威海?中考真題）如圖，在口ABCD中，對角線AC,BD交于點。，點E在上,

點尸在CD上，連接AE,AF,EF,政交AC于點G.下列結論錯誤的是（）

AD

A.若丁=——，則￡F〃5DB.若AE_L5C,AFLCD,AE=AF,則￡F〃5D

CFAB

C.若EF〃BD,CE=CF,則NE4C=/E4cD.若AB=AD,AE=AF,則EF〃由）

【答案】D

【分析】本題考查了相似三角形的性質與判定，菱形的性質與判定，垂直平分線的性質，全等三角形的性

質與判定；根據相似三角形的性質與判定即可判斷A,根據題意可得四邊形C4是/BCD的角平分線，進

而判斷四邊形ABCD是菱形，證明RtAACE/RtAAFC可得CE=CF則AC垂直平分EF,即可判斷B選項,

證明四邊形ABC。是菱形，即可判斷C選項，D選項給的條件，若加上尸，則成立，據此，即可求

解.

解：回四邊形ABCZ）是平行四邊形,

SAD^BC,AB=CD

A若條＞，即器夸，又NECF—CD,

0△CEFsACBD

團NCEF=/CBD

aEF〃BD,故A選項正確，

B.若AE_L3C,AF±CD,AE=AF,

團C4是/BCD的角平分線，

國NACB=NACD

^AD//BC

^ZDAC=ZACB

^ZDAC=ZDCA

aAD=DC

團四邊形A6CD是菱形,

^ACIBD

在RUACE,RtAAFC中,

AE=AF

AC=AC

ERtAACE^RtAAFC

0CE=CF

又回AE=AF

&EF//BD,故B選項正確，

C.I3CE=CF,

QNCFE=NCEF

6EF〃BD,

HZCBD=ZCEF,ZCDB=NCFE

?NCBD=NCDB

QCB=CD

回四邊形ABCZ）是菱形，

SAC1BD,

又回￡F〃3D

^AC^EF,

團CE=CF,

ISAC垂直平分￡F,

SIAE=AF

SZEAC=ZFAC,故C選項正確；

D.若=則四邊形A5CD是菱形，

由AE=AF,且=￡加時，

可得AC垂直平分所，

&ACJ.BD

@EF〃BD,故D選項不正確

故選：D.

【題型2】尺規作圖+判斷求值

【例2】（2024?四川成都.中考真題）如圖，在口ABCD中，按以下步驟作圖：①以點B為圓心，以適當

長為半徑作弧，分別交54,于點Af,N；②分別以Af,N為圓心，以大于;的長為半徑作弧,

兩弧在—ABC內交于點。；③作射線8。，交AD于點E,交CD延長線于點尸.若CD=3,DE=2,下

列結論錯誤的是（）

BE5

A.ZABE=ZCBEB.BC=5C.DE=DFD.——=—

EF3

【答案】D

【分析】本題考查角平分線的尺規作圖、平行四邊形的性質、等腰三角形的判定以及相似性質與判定的綜

合.先由作圖得到互為的角平分，利用平行線證明NAEB=NABE,從而得到AE==CD=3,

BE3

再利用平行四邊形的性質得到BC=4）=AE+ED=3+2=5,再證明△AEBS/XDEF,分別求出一=—,

EF2

DF=2,則各選項可以判定.

解:由作圖可知，跖為—ABC的角平分，

團/ABE=NCBE,故A正確；

回四邊形ABC。為平行四邊形，

團AD=BC,AB=CD,AD||BC,

^\AD//BC

田NAEB=NCBE,

0ZAEB=ZABE,

團AE=AB=CD=3,

^BC=AD=AE+ED=3+2=5,故B正確；

BAB=CD,

國NABE=NF,

^ZAEB=ZDEF,

回△八麗s△力所,

BEABAE

0==,

EFDFED

BE33

團-=一,

EFDF2

RF

回？f=93，DF=2,故D錯誤；

EF2

SDE=2,

SDE=DF,故C正確，

故選：D.

【變式】（2024?吉林長春?中考真題）如圖，在VABC中，。是邊A8的中點.按下列要求作圖:

①以點8為圓心、適當長為半徑畫弧，交線段3。于點。，交8C于點E；

②以點。為圓心、BD長為半徑畫弧，交線段。4于點F;

③以點尸為圓心、DE長為半徑畫弧，交前一條弧于點G,點G與點C在直線A8同側；

④作直線OG,交AC于點下列結論不一定成立的是（）

BE

A.ZAOM=ZBB.ZOMC+ZC=180°

C.AM=CMD.OM=-AB

2

【答案】D

【分析】本題主要考查了作一個角等于已知角，平行線的性質和判定，平行線分線段成比例定理，解題的

關鍵是熟練掌握相關的性質，先根據作圖得出NAOM=N5,根據平行線的判定得出根據平行

AI\4AO

線的性質得出NOMC+NC=180。，根據平行線分線段成比例得出工二二==1,即可得出AM=CM.

CMOB

解：A.根據作圖可知：NAOM=N3一定成立，故A不符合題意;

B.^\ZAOM=ZBf

^\OM//BC,

團NOMC+NC=180。一定成立，故B不符合題意;

C.回。是邊A3的中點,

團49=50,

^OM//BC,

團=一定成立，故C不符合題意;

D.OM=gAB不一定成立，故D符合題意.

【題型3】反比例函數+三角形相似

【例3】（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖，點A在雙曲線％=&（x>0）上，連接A。并延長，交雙曲線

X

%=￡（x<0）于點B,點C為x軸上一點，S.AO=AC,連接BC,若VABC的面積是6,則k的值為（）

4x

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】本題考查了反比例函數的左的幾何意義，掌握反比例函數的上幾何意義是解題的關鍵.

An

過點A作軸，過點8作族，x軸，根據相似三角形的判定和性質得出y=2,確定OC=2QD,

BF

然后結合圖形及面積求解即可.

解：過點A作AD_Lx軸，過點3作BF_Lx軸，如圖所示:

^\AD//BF,

團△AOD^^BOF,

kk

回點A在雙曲線Vjx>。）上'點B在必=元（彳<°）,

k

回c_k《_4_

2,ABOF2g

△AOD_4

4\BOF

/A。./

0(—)=4,

Dr

AD「

團----=2,

BF

^\BF=-AD,

2

團AO=AC,AD」_x軸,

團OC=2QD,

^\-ODxAD=-k

22f

田ODxAD=k,

BOCxAD=2k

EIS=S+S=-OCxAD+-OCxBF=-OCx(AD+BF)

△ARoCAAOCCZARDCO/C222、/

1333

=-OCx-AD=-OCxAD=-k=6

2242

團左=4,

故選：C.

19

【變式1](2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題)如圖，雙曲線y=一(%>0)經過A、B兩點，連接Q4、A5,

x

過點B作軸，垂足為。，5。交。4于點且E為A0的中點，貝的面積是()

A.4.5B.3.5C.3D.2.5

【答案】A

【分析】本題考查了反比例函數，相似三角形的判定與性質等知識，過點A作垂足為E設

(12、AFAFFF

A。，一，證明有==根據E為AO的中點，可得ZW=QD,EF=DE,

VaJODOEDE

進而有EF=￡>￡1=4尸=0。=!力=9,可得%=0。=9,xB=2a,則有2石=2。一。石=3。,

222aa2

問題隨之得解.

解：如圖，過點A作AFL3。，垂足為死

設A一，a>0,

團5Z)_Ly軸，AFLBD,

團A尸〃y軸，DF=a,

0AAFESQDE,

_A_F___A_E_—_E__F

°ODOEDE'

此為AO的中點，

團AE-OE,

回AF=QD,EF=DE

^EF=DE=-DF=-a,AF=OD=-y.=-

222a

^OD=yB,

回為=OD=—

團4=2。，

團BD=xB=2af

3

團BE-BD—DE——a,

故選：A.

【變式2］（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，已知點A（-7,0）,5（%,10）,C（-17,y）,在平行四邊形43co

k

中，它的對角線。8與反比例函數y=,（人中0）的圖象相交于點。，且。9:QB=1:4,則后=.

【分析】本題考查了反比例函數與平行四邊形綜合，相似三角形的性質與判定，分別過點氏。，作x軸的

垂線，垂足分別為EE,根據平行四邊形的性質得出3(-24,10),證明△ODES/XOBF得出OE=6,

DE=2.5,進而可得。(-6,2.5),即可求解.

解：如圖所示，分別過點氏。，作x軸的垂線，垂足分別為EE,

團四邊形AOCB是平行四邊形，點A(-7,0),8(x,10),C(-17,y),

BOA=BC=7,

0x=-24,即3(-24,10),則OF=24,BF=10

EIDE_Lx軸，3氏_1_%軸，

團DE〃BF

^△ODEsAOBF

OEODDE1

OF~OB~BF~4

SOE=6,DE=25

0￡)(-6,2.5)

0^=-6x2.5=-15

故答案為：-15.

【題型4】黃金分割

【例4】(2021?四川巴中?中考真題)兩千多年前，古希臘數學家歐多克索斯發現了黃金分割，即：如圖，

點尸是線段AB上一點(AP>BP),若滿足空=空，則稱點P是AB的黃金分割點.黃金分割在日常生

活中處處可見，例如：主持人在舞臺上主持節目時，站在黃金分割點上，觀眾看上去感覺最好.若舞臺長

20米，主持人從舞臺一側進入,設他至少走尤米時恰好站在舞臺的黃金分割點上,則了滿足的方程是（）

APB

A.（20-x）2=20XB.X2=20（20-尤）

C.x（20-x）=2C）2D.以上都不對

【答案】A

RpAp

【分析】點P是A3的黃金分割點，且PBVHl,PB=x,貝l]P4=20—x,則大二不，即可求解.

APAB

解：由題意知，點尸是的黃金分割點，

且PB=x,則以=20-x,

BPAP

團---=---，

APAB

0（20-%）2=20%,

故選：A.

【點撥】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應線段是解決問題的關

鍵.

【變式】（24-25九年級上?全國?課后作業）黃金分割是漢字結構最基本的規律.借助如圖的正方形習字格

書寫的漢字"晉"端莊穩重、舒展美觀.己知一條分割線的端點A,2分別在習字格的邊MN,尸。上，且

"晉"字的筆畫"、”的位置在的黃金分割點C處，且空=避二1,若NP=2cm,則8C的長

AB2

為cm（結果保留根號）.

【答案】（逐一1）/卜1+石）

【分析】本題考查了黃金分割的定義，正方形的性質及矩形的判定與性質，先證明四邊形A3PN是矩形,

根據黃金分割的定義可得生=更二，據此求解即可，熟記黃金比是解題的關鍵.

AB2

解：回四邊形削尸。是正方形，

團N2V=NP=9O。，

又回

團NB4N+NN=180。，

團NE4N=90。，

團四邊形ABRV是矩形,

團AB=NP=2cm.

又回收=工，

AB2

0BC=（遂-'em,

故答案為：&1.

【題型5】三角形相似的應用舉例

【例5】（2024?江蘇鎮江?中考真題）如圖，小杰從燈桿48的底部點B處沿水平直線前進到達點C處，他

在燈光下的影長CD=3米,然后他轉身按原路返回到點8處，返回過程中小杰在燈光下的影長可以是（）

DCB

A.4.5米B.4米C.3.5米D.2.5米

【答案】D

【分析】本題考查相似三角形的應用舉例，設回過程中小杰身高為微，連接AF并延長交BC于點G,根

據題意得到CE〃FH〃AB,證明石6:54力/7/64加4,得至|JJ=J,—=—,由CE=FH

ABBDABGB

推出52=器，即可得出結論.

DDCJD

解：設回過程中小杰身高為FH,連接AF并延長交BC于點G,

根據題意得到CE//FH//AB,

/JJCEs/JJBA,QHFsGBA,

.CECDFHGH

一商―茄’花一而‘

?zCE=FH

.CDGH

一法一布’

,/BD>GB,

:.CD>GH,

vCD=3米，

AGH<3,

返回過程中小杰在燈光下的影長可以是2.5米，

故選：D.

【變式】（2023?山東濰坊?中考真題）在《數書九章》（宋?秦九韶）中記載了一個測量塔高的問題：如圖

所示，表示塔的高度，CO表示竹竿頂端到地面的高度，斯表示人眼到地面的高度，AB.CD、EF在

同一平面內，點A、C、E在一條水平直線上.己知AC=20米，CE=10米，CD=7米，所=1.4米，人

從點/遠眺塔頂8,視線恰好經過竹竿的頂端D可求出塔的高度.根據以上信息，塔的高度為米.

【分析】如圖，過歹作產于。，交CD于H,可得斯=7-14=5.6,證明AEDHSAEB。，可得

察=瞿，可得=16.8,從而可得答案?

BQFQ

解：如圖，過尸作/Q_LAB于Q,交CD于H,

貝!|m=CE=10,QH=AC^20,FQ=AE=AC+CE^30,EF=CH=AQ=L4,

回￡>H=7-1.4=5.6,

B

國小FDHs小FBQ,

DHFH

團---=----,

BQFQ

=解得：QB=16.8,經檢驗符合題意；

JU{JJD

0AB=AQ+QB=1.4+16.8=18.2（米）；

故答案為：18.2

【點撥】本題考查的是相似三角形的實際應用，作出合適的輔助線構建相似三角形是解本題的關鍵.

【題型6】利用三角形相似的性質與判定求函數關系式

【例6】（2024?湖南長沙?中考真題）如圖，在菱形ABC。中，AB=6,/3=30。，點E是BC邊上的動點，

連接AE,DE,過點A作AF1DE于點F.設=AF^y,則y與x之間的函數解析式為（不考慮

自變量x的取值范圍）（）

1836

A.y=—B.y=——c.y=—D.y=——

xx

【答案】C

【分析】本題考查菱形的性質、含30度角的直角三角形的性質、相似三角形的判定與性質，利用相似三

角形的性質求解x、y的關系式是解答的關鍵.過。作交2c延長線于X,則"HE=90。，根

據菱形的性質和平行線的性質得到CD=AD=AB=6,ZADF=ZDEH,ZDCH=ZB=3O°,進而利用含

14FAD

30度角的直角三角形的性質DH=-CD=3,證明△々3△/汨￡得到"=—,然后代值整理即可求解.

2DHDE

解：如圖，過D作交BC延長線于〃，則NDHE=90。，

團在菱形ABC。中，AB=6fNB=30。，

團AB〃CD,AD//BC,CD=AD=AB=BC=6,

國/ADF=NDEH,ZDCH=ZB=30°f

在RtZXCD〃中，DH=gcD=3,

0AF1DE,

SZAFD=ZDHE=90°,又ZADF=ZDEH,

團AAFD^ZJJHE,

AFAD

0-------------,

DHDE

團DE=x,AF=y,

_y6

回上二一，

3x

18

團y=——，

X

故選：C.

（法二：同理，DH=3,BC=6,

^\AD\\BCf

團S^AED=~S菱形ABCO，

^\-DEDF=-BCDH,

22

國DE=x,AF=y,

團孫=6x3=18,

18

Eiy=—,

尤

故選：c.）

【變式】（2024?江蘇無錫?中考真題）如圖，在VABC中，AC=2,AB=3,直線C河〃AB,E是BC上

的動點（端點除外），射線AE交CM于點。.在射線AE上取一點尸，使得AP=2￡D,作交

射線AC于點Q.設4。=尤，PQ=y.當％時，CD=；在點E運動的過程中，＞關于*的函數表

達式為

cM

J

AB

3尤2

【答案】2

8—2無

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握相似三角形對應邊成比例.

易得CZ)||P。，則△APQSAAZJC,得出竿=黑，代入數據即可求出8=2；根據△APQSAADC,

ACLD

得出CO=2,設DE=t,則AP=2f,通過證明ACDESABAE,得出烏=%，則AE=^,進而得出

xABAE2y

4。=4￡+。￡=絲巨，結合△APQSAADC,可得嬰=羋，代入各個數據，即可得出》關于x的

2yACAD

函數表達式.

解：^\CM//AB,PQ//AB,

團C0|PQ,

回AAPQ^AADC,

嘿喘艮喋急

團工=》,

0CD=2；

團/\APQ^Z\ADC,

4f=篝即臺方，

整理得：CD二曲,

x

設DE=t,

BAP=2ED,

團AP=2"

BCM//ABf

團衛DEs加AE,

CDDE

回一=一，BRPnxf

ABAE=

3AE

3xt

整理得：AE=—

2y

3xt，（3x+2y）

BAD=AE+DE=——+/=△-------2，

2y2y

團/^APQ^Z\ADC,

x_2t

0AQ=AP即f（3x+2y）,

ACAD-^7,——-

2y

整理得：y=3—，

-8-2尤

故答案為：2,y=^—.

-8-2尤

【題型7】利用相似三角形性質與判定求面積

【例7】（2024?廣西?中考真題）如圖，邊長為5的正方形ABC。，E,F,G,H分別為各邊中點，連接AG,

BH,CE,DF,交點分別為M,N,P,Q,那么四邊形MNP。的面積為（）

A.1B.2C.5D.10

【答案】C

【分析】先證明四邊形腦\乎。是平行四邊形，利用平行線分線段成比例可得出。。=尸。，AM=QM,證

明AADG四△84”（SAS）得出=則可得出NQ肱V=ZAMB=90。，同理NAQ￡>=90。，得出平行四

邊形MNPQ是矩形，證明AADQ絲AAIA^AAS）,得出OQ=AM,進而得出OQ=4W=PQ=QM,得出矩

形MNPQ是正方形，在Rt^ADQ中，利用勾股定理求出QM?=5,然后利用正方形的面積公式求解即可.

解：國四邊形ABC。是正方形，

^AB=BC=CD=DA,AB//CD,AD//BC,ZDAB=ZABC=ZBCD=ZCDA=90°,

SE,F,G,H分別為各邊中點，

0CG=DG=—CD=AH,AE=—AB,

22

^DG=CG=AE,

回四邊形AECG是平行四邊形，

BAG//CE,

同理。方

國四邊形MNPQ是平行四邊形,

團AG〃CE,

團DQ=PQ,

同理=,

⑦DG=AH,ZADG=ZBAH=90°,AD=BA,

團△APG^AB4H(SAS),

^\ZDAG=ZABH,

團NZMG+NG4B=90。，

^\ZABH+ZGAB=90°,

^\ZQMN=ZAMB=90°,同理NAQD=90。，

回平行四邊形MNP。是矩形，

^\ZAQD=ZAMB=90°,ZDAG=ZABH,AD=BA,

團^ADQ^BAM(AAS),

團DQ=AM,

又DQ=PQ,AM=QM,

團DQ=AM=PQ=QM,

回矩形MNPQ是正方形，

在RtA4。。中，AD=DO+AQ"

052=eA/2+(2gAf)2,

0gM2=5,

回正方形MNP。的面積為5,

故選：C.

【點撥】本題考查了正方形的判定與性質，全等三角形判定與性質，平行線分線段成比例，勾股定理等知

識，明確題意，靈活運用相關知識求解是解題的關鍵.

【變式1】(2024?甘肅臨夏?中考真題)如圖，等腰VABC中，AB=AC=2,NR4c=120。，將VABC沿

其底邊中線AD向下平移，使A的對應點A滿足AA!=^AD,則平移前后兩三角形重疊部分的面積是.

【分析】本題考查平移的性質，相似三角形的判定和性質，三線合一,根據平移的性質，推出KNEFS求BC,

根據對應邊上的中線比等于相似比，求出跖的長，三線合一求出A'。的長，利用面積公式進行求解即可.

解:回等腰VA3C中，AB=AC=2,ZSAC=120°,

0ZABC=3O°,

團&￡)為中線，

^AD-LBC,BD=CD,

團AZ)=—AB=1,BD=#)AD=#),

EIBC=2。

團將VABC沿其底邊中線AD向下平移，

0B'C//BC,B'C=BC=273,AG=AD=1,

EIAAEFSAAEC',

EFA'D

團----=----

B'CAG

^AAr=-AD,

3

222

BDA,=-AD=-A,G=-

3339

EFArD2

回前7一冠一§,

SEF=-B'C=^-,

33

OS陰影=’￡^.4￡>=工義延、2=述

陰影22339

故答案為：逑.

9

【變式2](2024?山東淄博?中考真題)如圖，在邊長為10的菱形A3CD中，對角線AC,8。相交與點。,

OF5

點E在BC延長線上，0E與CD相交與點尸.若則菱形ABCD的面積

FE6

為.

【答案】96

【分析】此題重點考查菱形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識.作OH〃BC交C。于點

H,則ADOHSADBC,求得OH=；BC=5,再證明^OFH^EFC,求得EC=6,再證明ZOEC=NCOE,

則OC=EC=6,利用勾股定理求得OB的長，再利用菱形的面積公式求解即可得到問題的答案.

解:作OH〃BC交CD于點H,則

回四邊形ABC。是邊長為10的菱形，對角線AC,相交于點O,

B1BC=1O,OD=OB=-BD,OA=OC,ACJ.BD,

2

OHOP\

ZBOC=90°,

BC~BD~2

0OH=-BC=5,

2

OF5

⑦OH〃BC,——=-,

FE6

團/\OFHs/\EFC,

OHOF_5

回

ECFE~6

0EC=-OH=-x5=6,

55

團四邊形ABCD是菱形，且/ACD=2/OEC,

0ZACB=ZACD=2ZOEC=/COE+/OEC,

⑦NOEC=NCOE,

團OC=EC=6,

^OB=Vsc2-OC2=7102-62=8>

回即=203=16,AC=2OC=12,

團6菱形ABS=|BDAC=|xl6xl2=96,

故答案為：96.

【題型8】利用相似三角形性質與判定求角度

【例8】（2024?湖北?中考真題）ADEF為等邊三角形，分別延長FD,DE,EF,到點AB,C,使

DA=EB=FC,連接AB,AC,BC,連接所并延長交AC于點G.若AD=DF=2,則1。8尸=

FG=.

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，勾股定理.利用三角形的外角性質結

合￡B=砂可求得/。跖=30。；作CW，8G交3G的延長線于點//,利用直角三角形的性質求得CH=1,

FH=6,證明AAG尸SACGH,利用相似三角形的性質列式計算即可求解.

解：回房）￡尸為等邊三角形，DA=EB=FC,

@AD=DF=EB=EF=2,ZDEF=ZDFE=60°,

0/DBF=ZEFB=-ZDEF=30°,ZAFB=ZEFB+Z.DFE=90°,ZEFB=Z.GFC=30°,

2

作CHLBG交BG的延長線于點H,

0ZAFB=ZH=90°,

^AF//CH,

⑦AAGFSACGH,

AFFG4FG

團=---，BnPn-T~—尸，

CHGH1V3-FG

解得產G=：g,

故答案為：30°,乎.

【變式】（2024?山東煙臺,中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點E,尸分別為對角線比＞,AC的三等

分點，連接AE并延長交C。于點G,連接所，FG,若NAGF=c，則/E4G用含a的代數式表示為（）

45。—a90°-a45。+。a

A.B.C.D.

2222

【答案】B

【分析】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，三角形的外角

性質.證明求得NOFE=45。,證明AABESAGDE,證得。G=gc_D=CG,推出

ADEG^ACFG（SAS）,得到GE=GF,據此求解即可.

解：回正方形ABCD中，點E,尸分別為對角線3DAC的三等分點，

0OD=OC,ZODC=ZOCD=45°,DE=CF,

^OE=OF,

OEOF

BZEOF=ZDOC,——=——,

ODOC

田AEOFsADOC,

團ZOFE=ZOCD=45°,

團點區戶分別為對角線J5DAC的三等分點，

團正方形ABC。,

團AB〃CD,

團AABES^(J~DE,

DGDE1

0——=

ABBE2

SDG=-CD=CG,

2

團AOEG四△CPG(SAS),

^GE=GF,

0NGE/=；(18()o-ZAG/)=90。-；。,

1i900-a

[?]ZFAG=ZGEF-ZAFE=90°——a—45。=45。一一a=---------

222

故選：B.

【題型9】利用相似三角形性質與判定求線段長

【例9】(2024?四川眉山?中考真題)如圖，VABC內接于。。，點。在A8上，AD平分N3AC交0。于

D,連接30.若AB=10,BD=275,則3C的長為.

【分析】本題考查了圓周角定理，角平分線的定義全等三角形的判定和性質，勾股定理，相似三角形的判

定和性質，延長AC,BD交于E,由圓周角定理可得NADB=NADE=90。，ZACB=ZBCE=90°,進而

可證明AA瓦注AAED(ASA),得到BO=DE=2君，即得班=4君，利用勾股定理得4。=46，再證明

八WE,得到案二黑,據此即可求解,正確作出輔助線是解題的關鍵.

解：延長AC,BD交于E,

?.?鉆是。。的直徑,

:.ZADB=ZADE=90°,ZACB=ZBCE=90°,

?.?AD平分N3AC,

:.ZBAD=ZDAE,

又聞AD=A￡>,

0AAB￡^AAED（ASA）,

:.BD=DE=2遂,

.-.BE=4A/5，

■：AB=W,BD=275,

；.AD=J102_（2扃=4下,

?1?ZDAC=ZCBD,

5^ZBAD=ZDAE,

^ZBAD^ZCBD,

-.■ZADB=ZBCE=90°,

:.AABD^ABEC,

BE_BC

'AB-AD'

.4小BC

104A/5

:.BC=8,

故答案為：8.

【變式1】（2024?四川眉山?中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為6,NB4D=120。，過點。作OE,3C,

交5c的延長線于點E,連結AE分別交。于點/，G,則FG的長為.

/jXf/

G

BCE

【答案】紅白用

55

【分析】此題考查了菱形的性質，相似三角形的性質和判定，勾股定理等知識，解題的關鍵是掌握以上知

識點.

首先根據菱形的性質得到AD=5C=CD=6,AD//BC,=120°,然后勾股定理求出

DE=JCD?-CE?=3拒，AE=ylDE2+AD2=3>/7-然后證明出,得到喋=挈=4='，

rtLDr,yJ

求出A尸=5自，然后證明出AAG￡>SA￡GC,得到些=券=《=2,求出AG=2A/7,進而求解即可.

5EGCE3

解：?.,菱形ABC。的邊長為6,ZBAD=120°,

.\AD=BC=CD=6,AD//BC,NBCD=120。,

ZDCE=60°,

?：DEVBC,

:.ZDEC=90°.

在RtVOCE中，?/ZCDE=90°-Z.DCE=30°,

:.CE=-CD=3

2f

:.DE=dC!f-CE2=35

:.BE=BC+CE=9,

AD//BE,

ZADE=180。—/DEC=90°,

在RtziADE中，AE=JDE?+心=小⑹?+?=3幣,

AD//BE,

..^AFD^AEFB,

AFAD_6_2

,~FE~^E~9~3f

/.AF=-AE=-x3T7=,

555

-AD//CE,

/.AAGD^AEGC,

-AG=AD=—6=2,

EGCE3

/.AG=-AE=-X3T7=2A/7,

33

:.FG=AG-AF=2y/l-^-=^-.

55

故答案為：生女.

5

【變式2】（2024?河南?中考真題）如圖，在口45儀＞中，對角線AC,8。相交于點。，點E為OC的中

點，EF//AB交BC于點、F.若AB=4,則砂的長為（）

【答案】B

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質等知識，利用平行四邊形的性質、線段

中點定義可得出CE=[AC,證明△CEFSAGR,利用相似三角形的性質求解即可.

解：解能四邊形ABC。是平行四邊形，

0OC=-AC,

2

回點E為OC的中點，

0CE--OC=-AC,

24

^EF//AB,

(EACEF^ACAB,

EF

團一=

ABAC44

回石尸=1,

故選：B.

【題型10】利用相似三角形性質與判定解決規律、最值、圓的問題

【例10】（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=2,AD=4,E、F分別是邊CD、AD

上的動點，且CE=D尸.當AE+B的值最小時，則CE=.

【答案】|2

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質，三角形全等的判定和性質，相似三角形的判定和性質.延長

BC,截取CG=CD,連接G￡,AG,證明尸絲△GCE,得出CF=GE,說明當AE+EG最小時，AE+CF

最小，根據兩點之間線段最短，得出當A、E、G三點共線時，AE+EG最小，即AE+C/最小，再證明

△AEDs^GEC,根據相似三角形的性質，求出結果即可.

AG,如圖所示:

團四邊形ABCD為平行四邊形,

團AB=OC=2,AD=BC=4,AD//BC,

?ND=NECG,

?CD=CG,DF=CE,

⑦ACDF咨AGCE,

BCF=GE,

田AE+CF=AE+EG,

團當AE+EG最小時，AE+C尸最小,

團兩點之間線段最短,

即AE+C/最小，且最小值為AG的長,

回皿|CG,

^\/\AED^/\GEC,

ADDE口口42-CE

0一=一,即一=-----

GCCE2CE

2

解得C￡=§.

2

故答案為：—

【變式1】（2024?山東淄博?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，作直線尤=班=1,2,3,…）與x軸相交

于點A，與拋物線y=相交于點瓦.，連接A4+一gA+I相交于點C,,得AaBC,和△4向+G,若將其

面積之比記為%=的時,則a202A=.

%+島C

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，二次函數的圖象和性質，根據題意，易證,

得到,進行求解即可.

△A+i^z+iQ

解：團作直線戶幣=1,2,3,…）與x軸相交于點A,,與拋物線y=相交于點與，

團44」X軸，且瓦

1

團44=/29，

團AB：//AMBM,

團△44—血風]G,

回a=/A-]=產

's…1a+4+J卜+1)[

,(20242Y20244

4：

回%。24-120252J-2025

20244

故答案為:

20254

【變式2】（2024?四川眉山?中考真題）如圖，VA2C內接于O。，點。在48上，AD平分NA4c交0。

于。，連接50.若AS=10,BD=2A/5