4/6高中數學排列組合易錯題分析排列組合問題類型繁多、方法豐富、富于變化，稍不注意，極易出錯.本文選擇一些在教學中學生常見的錯誤進行正誤解析，以饗讀者.1沒有理解兩個基本原理出錯排列組合問題基于兩個基本計數原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問題的前提.例1（1995年上海高考題）從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺,其中至少有原裝與組裝計算機各兩臺,則不同的取法有種.誤解：因為可以取2臺原裝與3臺組裝計算機或是3臺原裝與2臺組裝計算機，所以只有2種取法.錯因分析：誤解的原因在于沒有意識到“選取2臺原裝與3臺組裝計算機或是3臺原裝與2臺組裝計算機”是完成任務的兩“類”辦法，每類辦法中都還有不同的取法.正解：由分析，完成第一類辦法還可以分成兩步：第一步在原裝計算機中任意選取2臺，有種方法；第二步是在組裝計算機任意選取3臺，有種方法，據乘法原理共有種方法.同理，完成第二類辦法中有種方法.據加法原理完成全部的選取過程共有種方法.例2在一次運動會上有四項比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產生，那么不同的奪冠情況共有（）種.（A）

（B）

（C）

（D）誤解：把四個冠軍，排在甲、乙、丙三個位置上，選A.錯因分析：誤解是沒有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.正解：四項比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有種.說明：本題還有同學這樣誤解，甲乙丙奪冠均有四種情況，由乘法原理得.這是由于沒有考慮到某項冠軍一旦被一人奪得后，其他人就不再有4種奪冠可能.2判斷不出是排列還是組合出錯在判斷一個問題是排列還是組合問題時，主要看元素的組成有沒有順序性，有順序的是排列，無順序的是組合.例3有大小形狀相同的3個紅色小球和5個白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？誤解：因為是8個小球的全排列，所以共有種方法.錯因分析：誤解中沒有考慮3個紅色小球是完全相同的，5個白色小球也是完全相同的，同色球之間互換位置是同一種排法.正解：8個小球排好后對應著8個位置，題中的排法相當于在8個位置中選出3個位置給紅球，剩下的位置給白球，由于這3個紅球完全相同，所以沒有順序，是組合問題.這樣共有：排法.3重復計算出錯在排列組合中常會遇到元素分配問題、平均分組問題等，這些問題要注意避免重復計數，產生錯誤。例4（2002年北京文科高考題）5本不同的書全部分給4個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數為（）（A）480

種

（B）240種

（C）120種

（D）96種誤解：先從5本書中取4本分給4個人，有種方法，剩下的1本書可以給任意一個人有4種分法，共有種不同的分法，選A.乙丙丁甲表1乙丙丁甲表2錯因分析：設5本書為a、b乙丙丁甲表1乙丙丁甲表2取同一個數時方程有1個，共有個.錯因分析：誤解中沒有注意到題設中：“求解集不同的……”所以在上述解法中要去掉同解情況，由于同解、同解，故要減去2個。正解：由分析，共有個解集不同的一元二次方程.6未考慮特殊情況出錯在排列組合中要特別注意一些特殊情況，一有疏漏就會出錯.例9現有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數是（）(A)1024種 (B)1023種 (C)1536種 (D)1535種誤解：因為共有人民幣10張，每張人民幣都有取和不取2種情況，減去全不取的1種情況，共有種.錯因分析：這里100元面值比較特殊有兩張，在誤解中被計算成4種情況，實際上只有不取、取一張和取二張3種情況.正解：除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況，100元人民幣的取法有3種情況，再減去全不取的1種情況，所以共有種.7題意的理解偏差出錯例10現有8個人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（）種.（A）

（B）

（C）

（D）誤解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有種排法，5人排好后產生6個空檔，插入甲、乙、丙三人有種方法，這樣共有種排法，選A.錯因分析：誤解中沒有理解“甲、乙、丙三人不能相鄰”的含義，得到的結果是“甲、乙、丙三人互不相鄰”的情況.“甲、乙、丙三人不能相鄰”是指甲、乙、丙三人不能同時相鄰，但允許其中有兩人相鄰.正解：在8個人全排列的方法數中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數，就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數，即，故選B.8解題策略的選擇不當出錯有些排列組合問題用直接法或分類討論比較困難，要采取適當的解決策略，如間接法、插入法、捆綁法、概率法等，有助于問題的解決.例10高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（）.（A）16種（B）18種（C）37種（D）48種誤解：甲工廠先派一個班去，有3種選派方法，剩下的2個班均有4種選擇，這樣共有種方案.錯因分析：顯然這里有重復計算.如：a班先派去了甲工廠，b班選擇時也去了甲工廠，這與班先派去了甲工廠，a班選擇時也去了甲工廠是同一種情況，而在上述解法中當作了不一樣的情況，并且這種重復很難排除.正解：用