閔行區(qū)高一期末數(shù)學(xué)區(qū)統(tǒng)考試卷2025.01一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1.已知全集，集合，則______【答案】【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集概念進(jìn)行求解.【詳解】.故答案為：2.若，用有理數(shù)指數(shù)冪的形式表示______【答案】【解析】【分析】，結(jié)合指數(shù)冪運(yùn)算法則進(jìn)行求解.【詳解】，.故答案為：3.對任意，冪函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過第______象限【答案】四【解析】【分析】分和兩種情況，得到圖像一定不經(jīng)過第四象限.【詳解】當(dāng)時(shí)，若，則，此時(shí)冪函數(shù)經(jīng)過第二象限，若，則，此時(shí)冪函數(shù)經(jīng)過第三象限，當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)冪函數(shù)經(jīng)過第一象限，故圖象一定不經(jīng)過第四象限.故答案為：四4.已知，則函數(shù)的值域?yàn)開_____【答案】【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得結(jié)論．【詳解】，值域是．故答案為：．5.命題“若，則”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______【答案】【解析】【分析】根據(jù)命題的真假得出結(jié)論．【詳解】命題“若，則”是真命題，則，故答案為：．6.若，對任意且，函數(shù)的圖像必過定點(diǎn)______【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】令，則，，圖象過定點(diǎn)，故答案為：．7.已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，______【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件得到時(shí)，，又f?x=?fx，求出答案【詳解】當(dāng)時(shí)，，故，又y=fx是定義在R上的奇函數(shù)，故f所以，故.故答案為：8.用函數(shù)的觀點(diǎn)解關(guān)于x的不等式，可得解集為______【答案】【解析】【分析】設(shè)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可解所求不等式.【詳解】設(shè)函數(shù)，定義域?yàn)椋鶕?jù)冪函數(shù)單調(diào)性可得，和都是上增函數(shù)，所以函數(shù)是上增函數(shù)，又，則不等式的解集為.故答案為：9.若，，則______【答案】1【解析】【分析】指數(shù)式化為對數(shù)式，結(jié)合換底公式得到.【詳解】由，得，，故，，故.故答案為：110.設(shè)，且函數(shù)是偶函數(shù)，若，則______【答案】【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)列出方程求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=gx是偶函數(shù)，所以，即，又因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?11.雅各布·伯努利（JakobBemoulli）是17世紀(jì)著名的數(shù)學(xué)家，他在概率論、數(shù)學(xué)分析及無窮級數(shù)等多個(gè)領(lǐng)域作出了重大的貢獻(xiàn)，對后世數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響．1689年，他提出了一個(gè)著名的不等式稱為伯努利不等式，其內(nèi)容如下：設(shè)，且，n為大于1的正整數(shù)，則．由此可知，函數(shù)在區(qū)間上的最小值是______【答案】1【解析】【分析】由題意得當(dāng)且時(shí)，，并得到當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而得到最小值.【詳解】由題意得，當(dāng)且時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，在上的最小值為1，此時(shí).故答案為：112.若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______【答案】【解析】【分析】先得到在上恒成立，參變分離得到，求出，故，再由在上有根，即在上有根，求出，需滿足，故.【詳解】由題意得在上恒成立，故，，故只需求出，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且或2時(shí)，，故的最大值為3，故，故，另外，在上有根，即，，故在上有根，根據(jù)的單調(diào)性可知，在處取得最小值，故，，要想在上有根，需滿足，綜上，.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：分離參數(shù)法基本步驟為：第一步：首先對待含參的不等式問題在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負(fù)的情況下，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式，第二步：先求出含變量一邊的式子的最值，通常使用函數(shù)單調(diào)性或基本不等式進(jìn)行求解.第三步：由此推出參數(shù)的取值范圍即可得到結(jié)論.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只—個(gè)正確選項(xiàng)．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13.下列四組函數(shù)中，同組的兩個(gè)函數(shù)是相同函數(shù)的是（）A.與 B.與C與 D.與【答案】D【解析】【分析】A選項(xiàng)，對應(yīng)法則不同；BC選項(xiàng)，定義域不同，D選項(xiàng)，兩函數(shù)定義域和對應(yīng)法則均相同，為同一函數(shù).【詳解】A選項(xiàng)，，，兩函數(shù)對應(yīng)法則不同，故不是同一函數(shù)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，令，解得，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)镽，兩函數(shù)定義域不同，不是同一函數(shù)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，的定義域?yàn)?,+∞，的定義域?yàn)椋瑑珊瘮?shù)定義域不同，不是同一函數(shù)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，，兩函數(shù)定義域和對應(yīng)法則均相同，為同一函數(shù)，D正確.故選：D14.小明同學(xué)在用二分法研究函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)，，，那么他下一步應(yīng)計(jì)算（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由二分法的概念判斷．【詳解】由題意零點(diǎn)在區(qū)間上，因此應(yīng)計(jì)算，故選：C．15.設(shè)、、、為實(shí)數(shù)，下列命題中成立的是（）A.如果，那么 B.如果，那么C.如果，，那么 D.如果，，那么【答案】A【解析】【分析】對于A、B選項(xiàng)，利用不等式的性質(zhì)可判斷原命題的真假；對于C、D選項(xiàng)，取特殊值可判斷原命題的真假.詳解】對于A，若，則，顯然成立，選項(xiàng)A正確；對于B，若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C，令，滿足，，但是，不滿足，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D，令，滿足，，但是，不滿足，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：A.16.已知m、n都是實(shí)數(shù)，，若函數(shù)的值域?yàn)镽，且對任意的實(shí)數(shù)t，關(guān)于x的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則滿足題意的實(shí)數(shù)對的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.無數(shù)【答案】B【解析】【分析】再同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出和的圖象，數(shù)形結(jié)合得到，且時(shí)滿足題目中的兩個(gè)條件，其他情況不合要求，得到答案.【詳解】定義域?yàn)椋湓诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，定義域?yàn)镽，且，故為偶函數(shù)，當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得單調(diào)遞減，同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫出和的圖象，如下：的值域?yàn)镽，顯然，若，此時(shí)不滿足值域?yàn)镽，若，此時(shí)y=fx圖象如下：滿足值域?yàn)镽，但不滿足關(guān)于x的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，不合要求，若，此時(shí)y=fx圖象如下：滿足值域?yàn)镽，也滿足關(guān)于x的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，滿足要求，若，此時(shí)y=fx的值域不為R，舍去，綜上，滿足要求，即滿足要求的只有1個(gè)，即?3,2.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：方程解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題，將代數(shù)問題幾何化，借助圖象分析，大大簡化了思維難度，首先要熟悉常見的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對稱和翻折等，涉及零點(diǎn)之和問題，通常考慮圖象的對稱性進(jìn)行解決.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為、．（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】（1）由判別式大于0可得；（2）由韋達(dá)定理求解．【小問1詳解】由題意，解得或，的范圍是．【小問2詳解】由題意，，所以，解得，又，所以，即．18.已知，．（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若，證明：在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)．【答案】（1）奇函數(shù)，理由見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再根據(jù)與的關(guān)系判斷即可；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義證明即可.【小問1詳解】y=fx的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，，根據(jù)函數(shù)奇偶性定義知，為奇函數(shù)；【小問2詳解】時(shí)，，設(shè)，則因?yàn)椋裕裕矗矗鶕?jù)函數(shù)單調(diào)性定義知，y=fx在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)．19.當(dāng)某外來物種進(jìn)入某地區(qū)時(shí)，種群數(shù)量會(huì)先緩慢增長，然后再加速增長，再然后增速減緩，最終與當(dāng)?shù)丨h(huán)境達(dá)到自然平衡（如圖所示）．?dāng)?shù)學(xué)生物學(xué)研究表明，種群數(shù)量與時(shí)間t的關(guān)系可以用邏輯斯蒂方程（LogisticEquation）：來表示，其中K表示環(huán)境容量（特定環(huán)境能夠穩(wěn)定承載的最大種群數(shù)量），表示種群初始數(shù)量，r表示物種內(nèi)稟增長率（沒有環(huán)境限制時(shí)種群數(shù)量的固有增長率）．某環(huán)境保護(hù)組織計(jì)劃對一個(gè)新建的池塘放養(yǎng)某魚類F．已知池塘對魚類F的環(huán)境容量為1000條，初始投入100條，魚類F的年內(nèi)稟增長率為30％．（1）預(yù)計(jì)放養(yǎng)5年后的同一天，該池塘里有魚類F多少條?（結(jié)果保留整數(shù)）（2）如果某一天與它前一年同一天相比，魚類F的年增長率小于或等于5％，則稱此時(shí)魚類F與當(dāng)?shù)丨h(huán)境接近自然平衡．問至少需要經(jīng)過多少年魚類F才能與池塘環(huán)境接近自然平衡?（結(jié)果保留整數(shù)），其中，，，【答案】（1）333（2）14【解析】【分析】（1）代入數(shù)據(jù)，得到，計(jì)算出，得到答案；（2）得到不等式，求出，故至少14年魚類F才能與池塘環(huán)境接近自然平衡.【小問1詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，預(yù)計(jì)放養(yǎng)5年后的同一天，該池塘里有魚類F條數(shù)為333；【小問2詳解】由題意得，化簡得，其中，，，由于單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得，故至少14年魚類F才能與池塘環(huán)境接近自然平衡.20.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)，，稱為A，B兩點(diǎn)的絕對和，記為．（1）若，，求；（2）已點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，證明；（3）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)，的圖象上，記的最大值為，求函數(shù)的最小值．【答案】（1）（2）證明見詳解（3）【解析】【分析】（1）由Ax1,y1（2）根據(jù)點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)，代入兩點(diǎn)絕對和公式，再利用絕對值不等式即可證明；（3）易知，設(shè)，.根據(jù)函數(shù)的奇偶性，只需討論在的最大值.對參數(shù)進(jìn)行分類討論，去絕對值，研究二次函數(shù)單調(diào)性與最值即可求得，再根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】，，∴由題知.【小問2詳解】∵點(diǎn)在直線上，∴設(shè).，.由絕對值不等式可知：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立..【小問3詳解】∵動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)，的圖象上，∴設(shè)，.，.設(shè)，.則的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，∴函數(shù)，為偶函數(shù)，故只需研究函數(shù)在的最大值即可.當(dāng)時(shí)，，，由二次函數(shù)性質(zhì)可知：圖象開口向上，對稱軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，，，由二次函數(shù)性質(zhì)可知：圖象開口向下，對稱軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，令得，，由二次函數(shù)性質(zhì)可知：開口向下，對稱軸為；開口向上，對稱軸為，故在上單調(diào)遞增.①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，，；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，，.綜上，.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，.∴函數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】本題為新定義題型，在理解題意的基礎(chǔ)上寫出函數(shù)，再利用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想研究二次函數(shù)最值即可.21.已知集合，n是正整數(shù)，，…，，都是實(shí)數(shù)．若，則稱A為n元“M集”，記作．（1）判斷是否為真命題；（2）若，x、y均為正實(shí)數(shù)，求的取值范圍；（3）若，，，且，．記，．證明：當(dāng)時(shí)，對任意實(shí)數(shù)x恒成立，且．【答案】（1）為真命題，理由見解析（2）（3）證明過程見解析【解析】【分析】（1）驗(yàn)證滿足，故為真命題；（2）由題意得到，變形得到，結(jié)合，求出，進(jìn)而得到的取值范圍；（3）首先得到，，又，作差變形得到，從而得到