2024-2025學年安徽省蕪湖二十九中九年級（上）期中數學試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

2.—l)xz+2%—2=

1111

f>Bf>af>且f1Df>

A.c2-c-2-c2-cc-2-豐1

3.若a,b是方程/+2x—2024=0的兩根，則a?+3a+6=（）

A.2022B.2023C.2024D.2025

4.今年“十一”長假某濕地公園迎來旅游高峰，第一天的游客人數是08萬人，第三天的游客人數為3.2萬

人，假設每天游客增加的百分率相同且設為“，則根據題意可列方程為（）

A.3.2（1+%）2=0.8B.0.8（1+x）2=3.2

C.0.8（1-%）2=3.2D.0.8+0.8（1+久）+0.8（1+%）2=3.2

5.如表是二次函數y=ax2+bx—2,5中x與y的部分對應值，則方程a/+bx-2.5=0的一個根久】的取值

范圍是（）

X11.11.21.31.4

y-(+0.75)=-0.75-0.465-0.160.1650.51

A.1<<1,1B.1.1<<1.2C,1.2<<1.3D.1.3<%!<1.4

6.如圖，BD為正方形4BCD的對角線，BE平分乙DBC,交DC于點E,將△BCE繞點C順時針旋轉90。得到△

DCF,若CE=1,貝UBF=()

A.1+2AA2

B.+1

C.1

D.72+2

7.在同一平面直角坐標系中，一次函數y=a久+b與二次函數y=a/+b的圖象可能為（）

8.拋物線y=—%2+a%+3的對稱軸為直線％=2.若關于汽的方程——+ax+3—t=0（t為實數）在—1<

%<3的范圍內有實數根，貝肥的取值范圍是（）

A.6<t<7B.t<7C.-2<t<6D.-2<t<7

9.已知二次函數y=-x2+%+6及一次函數y=2%-m,將該二次函數在%軸上方的圖象沿%軸翻折到無軸

下方，圖象的其余部分不變，得到一個新函數的圖象（如圖所示），當直線y=2%-血與新函數圖象有4個

交點時，血的取值范圍是（）

A.—4<m<6

c25,“

B.——V??1V—4

4

33

C.6<m<4

—25,

D.——<m<6

4

10.如圖，CA1直線［于點力，C4=4,點B是直線/上一動點，以CB為邊向上作等邊小

MBC,連接M4則M4的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

11.關于x的方程/+2ax+a2-a+1-。有兩個不相等的實數根，x=一1是

其中一個根，則&=.

12.如圖，已知二次函數=ax2+bx+c(a豐0)與一次函數%=kx+m(k*0)的圖象相交于4(-1,2)、

B(4,l)兩點，則關于x的不等式a/+(b-k)x+c-m>0的解集為.

13.如圖，點C為線段48的中點，E為直線28上方的一動點，且滿足CE=CB,

連接2E,以AE為腰，4為直角頂點在直線4B上方作等腰直角三角形ADE,連

接CD,當CD最大時，請直接寫出40、DC、4c之間的數量關系：.

14.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-義/+3與x軸正半軸交于

點B,與y軸交于點C,且過點4(—1,2),連接力8,AC,BC.

(1)B的坐標；

(2)若點P是拋物線對稱軸上一點，且SMBC=2SABCP，P的坐標.

三、解答題：本題共9小題，共90分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題8分)

解方程：

(I)%2—5%+6=0；

(2)3/+4%-2=0(用公式法).

16.(本小題8分)

已知關于久的一元二次方程--(m+2)x+m=0(m為常數).

(1)求證：不論根為何值，方程總有兩個不相等的實數根；

(2)若方程有一個根是2,求根的值及方程的另一個根.

17.(本小題8分)

如圖，△力BC三個頂點的坐標分別是4(1,1),B(4,2),C(3,4).

⑴請畫出△ABC向左平移5個單位長度后得到的△4/iG；

(2)請畫出△力BC關于原點對稱的△2c2；

(3)在x軸上求作一點P,使APAB周長最小，請畫出AP/IB,并直接寫出點P的坐標，并求AP/IB周長的最

小值.

18.(本小題10分)

如圖，邊長為1的正六邊形4BCDEF放置于平面直角坐標系中，邊4B在x軸正半軸上，頂點尸在y軸正半軸

上.

(1)求出D點坐標；

(2)將正六邊形4BCDEF繞坐標原點。順時針旋轉，每次旋轉60。，請直接寫出經過2025次旋轉后。點坐標

19.(本小題10分)

在數學興趣小組活動中，小明進行數學探究活動，將邊長為2的正方形ZBCD與邊長為2/1的正方形AEFG

按圖1位置放置，4D與2E在同一直線上，力B與4G在同一直線上.

(1)小明發現DG1BE,請你幫他說明理由；

(2)如圖2,小明將正方形力BCD繞點4逆時針旋轉，當點B恰好落在線段DG上時，請你幫他求出此時BE的

長.

20.（本小題10分）

如圖，為美化校園環境，某校計劃在一塊長為60米，寬為40米的長方形空地上修建一個長方形花圃，并將

花圃四周余下的空地修建成同樣寬的通道，設通道寬為a米.

（1）花圃的面積為平方米（用含a的式子表示）；

（2）如果花圃所占面積是整個長方形空地面積的|,求出此時通道的寬.

4()

60米

21.（本小題10分）

國慶期間公司經市場調查發現，該產品的日銷售量y（個）與銷售單價%（元）之間滿足一次函數關系.關于銷售

單價，日銷售量，日銷售利潤的幾組對應值如下表：

銷售單價式（元）8595105115

日銷售量y（個）17512575m

日銷售利潤卬（元）87518751875875

（注：日銷售利潤=日銷售量x（銷售單價-成本單價）

（1）求y關于x的函數解析式（不要求寫出刀的取值范圍）及根的值；

（2）根據以上信息，求出該產品的成本是多少；現規定銷售單價不低于成本，且獲利不得高于12.5%,問銷

售單價為多少時銷售利潤w最大，最大值是多少.

22.（本小題12分）

已知在三角形2BC中，ZBXC=90°,乙48c=30。，點。是平面內一動點（不與點C重合），連接CD,將線段

CD繞。點順時針旋轉60。，得到線段DE(點E不與點B重合).連接BE.取C。的中點P,連接

(1)如圖(1),當點E落在線段4C上時，取BE的中點G,BC的中點“，連接2”,AG,GH,

①求證：4AGH"4BGH；

②求證：BE=2AP.

(2)當4C=4,CP=2,當點B,D,E在同一條直線上時，請直接寫出線段BE的長.

23.(本小題14分)

如圖，已知拋物線與x軸交于力(1,0)和B(-5,0)兩點，與y軸交于點C.直線y=-3刀+3過拋物線的頂點P.

(1)求拋物線的函數解析式；

(2)若直線％=m(-5<m<0)與拋物線交于點E,與直線BC交于點F.

①當EF取得最大值時，求爪的值和EF的最大值；

②當AEFC是等腰三角形時，求點E的坐標.

參考答案

1.C

2.0

3.2

4.B

5.C

6.D

7.8

8.D

9.C

10.B

11.2

12.x<-1或x>4

13.2AD2=DC2+AC2

14.(3,0)(|,今或(若)

15.解：(1)——5%+6=0,

??.(％-2)(%-3)=0,

%—2=0或%—3=0,

解得％=2或%=3；

(2)va=3,b=4,c=—2,

j=42-4x3x(-2)=40,

._一_一2±V3U

-2x3-3'

解得“1=笞四,上二鼻咽.

16.(1)證明：%2—(m+2)x+m=0,

b2—4ac=[—(m+2)]2—4m=m2+4,

?.?不論為何值，m2+4>0,

???不論zn為何值，方程總有兩個不相等的實數根；

(2);%2—(m+2)x+m=0的一個根是2,

???代入得：4—2(m+2)+m=0,

解得：m-0,

即方程為/-2x=0,

解得：%!=0,x2=2,

即m=0,方程的另一個根為0.

17.解：(1)如圖，AAiBiCi即為所求；

(2)如圖,A2c2即為所求;

(3)如圖，AP4B即為所求，點P的坐標是(2,0),

???PA+PB=PA'+PB=A'B,

PAB周長的最小值=AB+A'B=VI2+32+V32+32=<10+3<2.

18.

解：(1)如圖，連接4D,BD,

---ZFAB=/ABC=ABCD=120°,AF=AB=BC=CD=1,

ZLCBD=ZCDB=^(180*-ABCD)=30*,

ZABD=120°-ACBD=90*;

BD±AB;

ADBC=^ZFAB=-|x120°=60。，

ABDA=30°,

/.AD=2J4_B=2f

BD=y/AD2AB1=x/22-I2=>/3,

?/Z.FAO=180°-AFAB=60",

NATO=900-ZFAO=30",

..OA=^AF=^,

3

/.OB=OA+AB=—,

3L

.?.點。的坐標為（5，&）;

（2）由題意知，點0每旋轉6次回到原來的位置，

而2025+6=337…3,表明點。經過2025次旋轉后的位置與開始位置時點。關于原點對稱,

3

?.?點。起始點坐標為（亍，聲），

3

它關于原點對稱的坐標為（一菱，-心），

3

即點。經過2025次旋轉后的坐標為（-萬，-避）；

19.解：（1）如圖1,延長交。G于點”，

???A8C0和AEFG為正方形，

???在班△ADG^Rt△ABE中,

AB=AD

Z.GAD=乙GAE,

AE=AG

???RtAADGSABE,

???Z.AGD=Z.AEB,

???乙HBG=4EBA,

???乙HGB+乙HBG=90°,

?*.DG_LBE；

(2)如圖2,過點/作ZP1BD交BD于點P,

???/BCD和AEFG為正方形，

???在△IMG和△BAE中，

AD=AB

Z.DAG=Z.BAE，

AE=AG

???△￡MGAR4E(SZS),

DG=BE,

???Z.APD=90°,

AP=DP=/2.

AG=2<2,

PG=AG2-PA2=<6,

DG=DP+PG=yf2+y/~6,

???DG=BE,

BE=V_2+V-6-

20.

解：(1)由題意得，長方形花圃的長為(60-2a)米，寬為(40-2a)米,

二花圃的面積為(60-2a)(40-2a)=(4a2-200a+2400)平方米，

故答套為：(擊2-200a+2400)；

?5

(2)由題意得，4a2-200a+2400=60x40x-,

o

整理得a2-50a+225=0,

解得a=5或a=45(舍去)，

答：此時通道的寬為5米.

21.解：(1)日銷售量y(個)與銷售單價x(元)之間的一次函數關系為：y=kx+b,

把(85,175)和(95,125)代入y=kx+b,

Ijlilr85fc+b=175

”[95k+b=125'

解得：=~L

3=600

???y=-5%+600.

當％=115時，則y=-5x115+600=25,

即m=25.

(2)該產品的成本是85-(875+175)=80(元)

w=y(x-80)

=(-5%+600)(%-80)

=-5/+1000%-48000

=-5(x-100)2+2000,

則拋物線開口向下，當汽=100時，w取最大值.

???由題意可得：售價久＜80x(1+12.5%)=90,

則當％=90時，w取的最大值，w最大=—5(90—100)2+2000=1500(元).

22.(1)證明：①,.?G,H分別是RtAaBE,Rt△ABC斜邊上的中點，

/.AG=BG,BH=AHf

???GH=GH,

在△4GH和中，

GH=GH

AG=BG,

AH=BH

???△4GH之△BGH(SSS)；

②???G、H分別是BE、BC的中點，

??.GH=：EC,GH//AC,

???乙BHG=^ACB；

???乙ABC=30°,ABAC=90°,

???乙ACB=60°,

???△AGH之△BGH,

???乙AHG=乙BHG=60°,

???Z.AHG=乙ACB=60°,

由旋轉知Of=DE,Z,CDE=60°,

EDC是等邊三角形，

CD=EC,

???P是CD的中點，

1i

???CP=^CD=1EC,乙DCE=60°,

???GH=CP,

???H是BC中點,/.BAC=90°,

???AH=CH,

???4ACB=60°,

??.△ZHC是等邊三角形，

AH=AC,

在△A”G與中，

AH=AC

AAHG=乙DCE=60°,

GH=PC

???△4HG^ZkZCP(S4S),

???AG=AP,

???BE=2AG,

BE=2AP-,

(2)解：當點E在線段BD上時，如圖2,過點C作CN1DE于N；

圖2

CP=2,P是CD的中點，

???CD=2CP=4,

???△CED是等邊三角形，

CE=DE=CD=4,

???CN1DE,

EN==2；

CN=VCE2-EN2=2/3.

在RtAABC中，/.ACB=90°,/.ABC=30°,AC=4,

BC=2AC—8,

在RtABCN中，由勾股定理得：BN=<BC2-CN2=2AA13.

BE=BN-EN=2^AT3-2,

當點E在線段BD的延長線上時，如圖3,過點C作CN1DE于N,

同理，得EN=DN=2,CN=2氣BN=2>A13,

BE=BN+EN=2/13+2,

綜上所述，線段BE的長為2Vlm-2或+2.

2