第4講三角函數的圖象和性質

考向預測核心素養

以考查三角函數的性質為主，題目涉及單調性、周期

直觀想象、

性、最值、零點.考查三角函數性質時，常與三角恒

邏輯推理

等變換相結合，中檔難度.

N基礎知識二回|顧

[學生用書P108])

〈國園留回

一、知識梳理

1.用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖

捫的圖象中，五個關鍵點是：((與

(1)在正弦函數y=sinx,%e[0,20,0),1),

（兀，0）,,-1）,

（2兀，0）.

(2)在余弦函數尸cosx,%G[0,2兀]的圖象中，五個關鍵點是：(0,1),生ol,

件,0）,（271,1）.

（兀，—1）,

2.正弦、余弦、正切函數的圖象與性質

函數y=sin%y=cosxXy=tanx

圖象

/應,

*

定義域RR

一￡Z}

值域L1，11L1，11R

奇偶性奇函數偶函數奇函數

最大值1,當且僅

函數的最值最大值1,當且僅當正無最大值和最小值

當x=2E,左?Z時

JT取得；最小值一1,

2E+],-eZ時取得；

當且僅當x=2E—

最小值一1,當且僅當工

兀，:?Z時取得

=2防i一4一?Z時取得

增區間：「2%兀一與22兀+增區間：⑵:兀一兀，

7T

r—5，r

2標|優?Z）；減區增區間（防防

單調性|iqez）；減區間：電

間：-2+兀，2E+

-?Z）

兀3兀

+彳，2左兀Z）兀]優?Z）

zZ

周期為2E,20,周期為E,k會0,

周期周期為2E,20,k《Z,

k5最小正周期左?Z,最小正周期

性最小正周期為期

為271為n

對稱中(E+5,0),—件,0）,左?Z

對(ku,0),一￡Z

心

稱

71

性對稱軸元=左兀+3，+￡Zx=ku,左￡Z無對稱軸

兀

零占八、、ku,kGZku,讓Z

?常用結論

1.函數y=sinx與y=cosx的對稱軸分別是經過其圖象的最高點或最低點

且垂直于x軸的直線.

2.正弦曲線、余弦曲線相鄰的兩個對稱中心、相鄰的兩條對稱軸之間的距

離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是5個周期.正切曲線相鄰

兩個對稱中心之間的距離是半個周期.

3.三角函數中奇函數一般可化為y=Asin0x或y=Atancox的形式，偶函數

一般可化為y=Acosa）x+b的形式.

4.對于y=tanx不能認為其在定義域上為增函數，而是在每個開區間

（JTjr\

上兀一也十夕（左GZ）內為增函數.

二、教材衍化

1.（人A必修第一冊P206例5改編）函數y=2sin|j—，（xG［—兀，0］）的單調

遞增區間是（）

r5兀］「5兀兀

A「兀，一司B.［一不，—初

「兀「兀C

C.一不，0D.一工，0

j?j?'11j?5TBe

解析：選玲?兀，kGZ,貝可一

D.25352+24oo

kGZ.

jr

由于xG［—7l,0］,所以所求的單調遞增區間為［—4,0.

2.（人A必修第一冊P207練習T2⑵改編）函數y=3—2cos（x+］的最大值為

,此時x=.

3兀

答案：5w+2for（左GZ）

3.（人A必修第一冊P2i2例6改編）函數y=—tan（2x一節的單調遞減區間為

7T37171

解析：由一/+EV2x—N~V］+左兀（左￡Z）,

,目兀,左兀,,5兀,左兀八~、

付不+~〈~^+可（）

oZ5~<XoZ%￡Z,

~C3兀）一工、小3—，（兀?攵兀5兀?kji\

所以y=—tan（2x—qj的單調遞減區間為爆+了，至+句（左GZ）.

（TI、ku5兀?kii\

+e

答案：Is+T-TT>z）

（用圖固圖""財11""'""",""""聯"一M

一'思考辨析

判斷正誤（正確的打“?”，錯誤的打“X”）

（l）y=cosx在第一、二象限內單調遞減.（）

（2）若y=ksinx+l,x?R,則y的最大值是左+1.（）

（3）若非零實數T是函數人好的周期，則左T（左是非零整數）也是函數人x）的周

期?（）

7T

（4涵數尸sinx圖象的對稱軸方程為x=2for+/GZ）.（）

（5）函數y=tanx在整個定義域上是增函數.（）

答案：（1）X（2）X（3）V（4）X（5）X

二、易錯糾偏

1.（奇偶性概念不清致誤）下列函數中，是奇函數的是（）

A.y=|cosx+l|B.y=1—sinx

C.y=13sin（2x+7t）D.y=l-tanx

解析：選C.選項A中的函數是偶函數，選項B,D中的函數既不是奇函數,

也不是偶函數；因為y=-3sin（2x+7i）=3sin2x,所以是奇函數，故選C.

2.（多選）（三角函數性質理解不透致誤）已知函數於）=sin（x一舒（x?R）,則

下列結論正確的是（）

A.函數人x）的最小正周期為2兀

B.函數段）在區間[0,會上單調遞增

C.函數人力的圖象關于直線x=O對稱

D.函數次x）是奇函數

解析：選ABC.由題意，可得火工）=—cosx,

2兀

對于選項A,T=—=2n,所以選項A正確；

兀兀

對于選項B,y=cosx在0,2上單調遞減，所以函數火》）在區間0,]上單

調遞增，所以選項B正確；

對于選項C,x）=—cos（—%）=—cosx=/（x）,所以函數是偶函數，所以

其圖象關于直線x=0對稱，所以選項C正確；選項D錯誤.故選ABC.

3.（忽視取最值的條件致誤）函數y（x）=sin2x+，5cos》一[?0,）的最大

值是.

角翠析:y（x）=sin2x+小cos%—1^=1—COS2X+^/3COS——[COSx——坐1+1，

cos[0,1],當cosx=當時，?x）取得最大值1.

答案：1

第1課時三角函數的單調性與最值

小核心考點口！3困\

［學生用書P109］）

考點一三角函數的定義域（自主練透）

復習指導：求三角函數定義域實際上是構造簡單的三角不等式（組），常借助

三角函數線或三角函數圖象來求解.

1.函數加）=-2tan（2—）的定義域是（）

A.卜卜得

C.jx（左?Z）］

f,kii.n,\\

D.jxxWg+j（左GZ）j

jrjrKIT7T

解析：選D.由2x+zWfor+i，得（左）

o22o?Z.

2.函數y=lgsinx+yjcosx—；的定義域為

fsinx>0,

解析：要使函數有意義，則有1

cosx—/NO,

sinx＞0,

即彳

cos%三1，

2Z兀＜%＜兀+2瓦,

解得彳兀兀（止Z）,

所以2E<XW^+2ZTI,.所以函數y的定義域為1：+2kji,kGZ

答案：2防1Vx

3.函數y=\lsin%—cos%的定義域為.

解析：要使函數有意義，必須使sini—cos利用圖象，在同一平面直角

坐標系中畫出［0,2;i］±y=sin%和y=cosx的圖象，如圖所示.

兀5兀

在［。，2兀］內，滿足sin%=cosx的犬為不了，再結合正弦、余弦函數的周期

是2兀，所以原函數的定義域為

兀5兀

{%|2E+aWxW2E+彳，左￡Z}.

7TSIT

答案：{X|2E+WWXW2E+7，k@Z}

績后感悟---------------------------------

三角函數的定義域的求法

(1)以正切函數為例，應用正切函數y=tanx的定義域求函數y=Atan(0x+e)

的定義域.

(2)轉化為求解簡單的三角不等式來求復雜函數的定義域.

考點二三角函數的單調性(多維探究)

復習指導：借助圖象理解正弦函數、余弦函數在［0,271］,正切函數在［一了上

上的單調性.

角度1求三角函數的單調區間

瀛［TI(1)(2022?廣東省七校聯考)函數外)=tan住一嵩的單調遞增區間是

()

2兀4兀

A.2E——百，2%兀+亍,kRZ

2兀….4兀)

了，2kji+~^\,

2兀4兀

C.44兀——丁，4左兀+弓-,k^Z

(2兀-.4兀1

D(4A1E—至，4左兀+了,kRZ

(2)函數於)=sin傳一2x)的單調遞減區間為.

jry7T7T7jrZLjr

【解析】⑴由2一2—2o<72+%兀，%￡Z,得2左兀一33

（JQ兀、（2兀4兀\

左GZ,所以函數於）=tang—5|的單調遞增區間是［2桁一］，2E+司，左GZ,

故選B.

（2次0=sin住一2x）的單調遞減區間是於）=sin（2x—g）的單調遞增區間.

兀兀兀

由2%兀一§W2E+］,kGZ,

兀571

得ku一記五，kGZ.

TTS71

故所求函數的單調遞減區間為桁一記，fal+五，左GZ.

兀5兀

【答案】（1）B（2）左兀一五，E+女,左GZ

■思維發散

1.若本例（2求%）變為：y（x）=—cos1—2x+§,求/（x）的單調遞增區間.

解：於）=-cos1—2x+§=—cos（2x一§,

欲求函數4x）的單調遞增區間，

只需求y=cos（2x一4的單調遞減區間.

兀

由2EW2x—防i+兀，kGZ,

兀2兀

得析kG

o3Z.

7T2,71

故函數/（x）的單調遞增區間為E+&,左兀+可"（左?Z）.

（JTArJTjr

2.本例（2）段）變為：Hx）=sin［2x—"試討論於）在區間［一不不上的單調

性.

解：令z=2x一與易知函數y=sinz的單調遞增區間是一與+2E,^+2kn,

左GZ.

7"C7C7T

由一/+2EW2x—

兀3兀

得一夜適+左兀，Z.

5「兀兀

設4=［一布孫

兀5兀I兀兀

（x|一適+EWxW五十4兀，kGZ\,易知AC5=一記，-

所以當X?一不a時，五工）在區間一五，a上單調遞增，又因為］一1一N=

TTTTTT

2<r,所以y（x）在區間一不一五上單調遞減.

胭題技巧------------------------------

求三角函數單調區間的方法

求形如y=Asin（0x+夕）或y=Acos（①x+°）（其中o>0）的單調區間時，要視

“ox+9”為一個整體，通過解不等式求解.但如果O<0,可借助誘導公式將

①化為正數，防止把單調性弄錯.

角度2已知三角函數的單調性求參數

例2（1）（一題多解）（2022?湖南師大附中月考）若函數/（x）=24sincoxcoscox

3兀37i

+2sin2s+cos2s在區間［一于引上單調遞增，則正數o的最大值為（）

11

-B-

A.86

C』D」

Ju3

（2）定義在［0,兀］上的函數尸sin"一看（">0）有零點，且值域

一；，+8；則①的取值范圍是（）

」4］「4一

A.B.不2

141ri

C.3jD.［d，2_

【解析】（1）方法一：因為火x）=2#§sincoxcoscox+2sin2cox+cos2cox=\［3sin

3兀37i

20x+l在區間一了，蜜上單調遞增，

-3①兀2—不

211

所以〈解得口所以正數①的最大值是―

兀o0

3①兀

方法二：易知?x)=小sin2s：+1,可得火工)的最小正周期T=~,所以

〃兀73兀

—k一r]]

〈c解得①所以正數0的最大值是一

71、3兀66

7171Tl]

(2)由OWXWB得一5W①x一①兀一4，當x=0時，y=-].因為函數y=

sin(①x—看在[0,兀]上有零點，所以口兀一520,①2：.因為值域+°°j,

兀兀414

所以①兀一4忘兀+了gWq,從而①W,

【答案】(1)B(2)C

密題技巧---------------------------------

已知函數單調性求參數

(1)明確一個不同："函數1%)在區間〃上單調”與“函數五X)的單調區間為

N”兩者的含義不同，顯然“是N的子集.

(2)抓住兩種方法：一是利用已知區間與單調區間的子集關系建立參數所滿

足的關系式求解；二是利用導數，轉化為導函數在區間M上的保號性，由此列

不等式求解.

I跟蹤訓練I

1.函數y=—2+tan[5+|)的單調遞增區間是()

(5兀711

A.(2E-于2左兀+外ZGZ

兀…,5兀、

B.[2Z兀一2防i+丁/Z

C.lH—E+(,kGZ

(.兀7?5兀、,

D.卜兀一左左兀十弓->k^Z

71171Tl5兀

解析：選A.由題意，477++kn,kRZ,解得2左兀一w<x<2左兀

+不左GZ,所以函數y=-2+tanQx+（J的單調遞增區間為（2左兀一￡,2癡十寺,

左GZ.

2.若函數兀0=3sin［x+京）一2在區間（，a］上單調，則實數。的最大值是

TT

解析：因為gWxWa,

所以尹而《+而Wa+正

兀

而次X）在5，a上單調，

.7T—,37c一,771

所以a+mWg,即aW5,

7兀

所以a的最大值為年

答案：y

兀

3.（2022?重慶不高三質量檢測）函數八x）=3sin（①x+夕），|刎<］的圖象過點

0,1）,且在住，號上單調遞增，則O的最大值為.

31

解析：依題意/（0）=3sin9=/,sin9=］，

7171

由于|夕|<5，所以9=不

所以/%）=3sin（0x+F；

2兀兀

2左兀一~7~2%兀+工

7171TlJJ

令①由兀一①X+ZW2E+5，化簡得WxW,

>0,2%262coco

由于y（x）在號，T上單調遞增,

QQ

所以5解得8左一§W0W6Z+1,左GZ,要使①有解，則8左一]

W6左+1,解得ZW于由于左?Z,故—=1,故左=1時，9WZ7,0的最

大值為7.

答案：7

考點三三角函數的最值（值域）（綜合研析）

倒（1）（2022?衡水調研）已知函數於）=sin（x+^）,其中x?—*a,若於）

的值域是[―表1]，則實數。的取值范圍是.

（2）函數）；=sin%—cosx+sinxcosx的值域為

JT7T7T7T

【解析】⑴因為xd—ya,所以x+&e-a+X,

因為當x+狂一..時，於）的值域為一；,1,

所以由函數的圖象（圖略）知，9。+臺下，所以畀aW兀

（2）設t=sin%—cosx,貝I?=sin2x+cos2x—2sinx?cosx,sinxcosx=

P]]

所以y=一,+/'+/=-]?—1）2+1,—y[2,也].

,L,仁L1+2啦

當/=1時，ymax=l；當/=~\/2時，ymin=—~j~.

所以函數的值域為—1+產,1J

_....「兀[「1+2仍

【合案】⑴*兀（2）—；,1

三角函數值域的求法

⑴利用y=sinx和y=cosx的值域直接求.

(2)把所給的三角函數式變換成y=Asin((yx+°)+。(或y=Acos(0x+°)+0)的

形式求值域.

(3)把sinx或cosx看作一個整體，將原函數轉換成二次函數求值域.

(4)利用sinx±cosx和sinxcosx的關系將原函數轉換成二次函數求值域.

I跟蹤訓練I

1.函數次x)=3sin(2x—t)在區間0，卷上的值域為()

33]「3

—C，—GDR.——r\

.八兀I兀兀5兀

斛析：選B.當0,5時，2x——不可

1

sin"x一胃Gri

3

故3sin"x—tjer3

一3

此時函數?x)的值域是一1,3

_]兀]

2.已知函數y（x）=—10sin2x—10sin%—/,元￡一亍m的值域為一],2

則實數用的取值范圍是()

「兀cl「兀C

A.-0B.一10

「兀兀]兀兀

C[-『6jD1-4,3j

兀

解析：選B.記/=sinx,xG―亍m,則函數而c)可轉化為g(/)=—10戶一107

-2=-10G+2)+2

因為函數的最大值為2,顯然此時/=一；.

令g(/)=-3,得/=T或/=0,

由題意知xG—m,當無=—，時，t=—1,g(—l)=—:,結合g(。的圖

象及函數的值域為一；，2,可得一吳sinmWO,

7T

解得一NWmWO.故選

OB.

3.(2020?高考北京卷)若函數加尸sin(x+0)+cosx的最大值為2,則常數夕

的一個取值為.

解析：因為?x)=cos0sinx+(sin9+l)cosx=qcos20+(sin^+1)2sin(x+

“八(其a中itane1=+=sin/(Jp\'

因為sin(x+9)Wl,

所以,3$2夕+(sin°+l)2=2,解得sin夕=1.則(p=^+2kji,kGZ,故常

7T

數9的一個取值為

答案：］符合弧+率MZ均可，答案不唯一)

課后達標檢］測

［學生用書P409(單獨成冊)］

［A基礎達標］

1.(2021?新高考卷I)下列區間中，函數月x)=7sinx—K單調遞增的區間是

7T7T7T7T27T

解析：選A.令-/2也0一蜉/2也，左GZ,得-Q+2EW無W9+2E,

左GZ.取左=0,則一］WxW用.因為(0,野一全牛，所以區間(0,習是函數於)

的單調遞增區間.

2.函數於)=sin(2x一手在區間0,卷上的最小值為()

巫

A.-1B.-2

c.坐D.O

解析:選B.由已知xG0,,得2x—*一：,區

所以sin（2x—~2f1'

故函數於）=sin（2x一守在區間0,卷上的最小值為一坐

3.（2022?山西省實驗中學期中）若tan2=a,tan3=b,tan5=c,則（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<b<aD.c<a〈b

兀

解析：選D.因為tan5=tan（5—兀），/V5—兀<2V3<兀，且函數y=tanx在

區間住兀）上單調遞增，

所以tan（5—7i）<tan2<tan3,

所以tan5<tan2<tan3,即c<a<b,

4.（2022?福州檢測）已知函數於）=sinZx+Zsii?%—1在［0,汨上單調遞增，

則m的最大值是（）

兀兀

A4B-2

3兀

.&D.TL

解析：選C.由題意得，火x）=sin2x—cos21=6sin（2x—予，由一方+2EW2x

TTJTTTjTTTTjTT

一彳（左GZ）,解得一（左GZ）,當左時，一$WxWk，

4WZ5+2EoE+EWXoWk+E=0oo

兀3兀

即函數兀￥）在一0,至上單調遞增.因為函數兀r）在［0,上單調遞增，所以0

VmWq,即機的最大值為方，故選C.

OO

5.（多選）函數Hx）=sinxcosx的單調遞減區間可以是（）

「73兀，兀］

A.左兀一彳，左兀一a（k￡z）

,?兀,?3兀

B.左兀+不依+彳（左￡Z）

兀兀

C.2左兀+不2%兀+］（左￡Z）

,?兀,?兀

D.%兀+不左兀+］（左￡Z）

角窣析：選AB於）=sinxcos%=；sin2x,

兀3兀

由5+2EW2%W2E+g,左￡Z,

兀3兀

得W+EWXWE+1，kGZ,

兀3兀

所以函數?x）=sinxcosx的單調遞減區間是加:+不左兀+1（左?Z）,故B正

確，

因為函數的周期是E/WO）,故A也正確.

故選AB.

6.已知函數人x）=4sin（2x—g，x?［—兀，0］,則八X）的單調遞增區間是

7T7T7T

解析：由一］+2EW2x—5?5+2%兀（左￡Z）,

TTSTT

得一適+左兀WxW適+kii（k￡Z）,

又因為工￡［—兀，0］,

7TT7T

所以兀乃的單調遞增區間為一久,一適和一記，0?

...「771rL「兀八

合案：［一兀，一萬J和［一百°

7.（2022?上海市進才中學期中）已知定義在［一。，上的函數?x）=cos%—sin

%是減函數，其中Q>0,則當。取最大值時，危）的值域是.

角窣析：於）=cos%—sin%=一爽sin卜一皆，

兀兀兀兀3兀

令2%兀一kGZ,貝1J2%兀一工，kGZ,

兀3兀

故/（x）的減區間為2左兀一4，2左兀+工，左?Z,

jrSTT

由題設可得［—Q,Q］為［2所一不2E+j,kez的子集,

故k=a且53兀故0<〃忘4，故〃max=4,

<a>0,

.71z一兀,兀）兀"八

當一時，一［WO,

故OW-爽sinQ-皆忘6，

故八工）的值域為［0,^2］.

答案：［0,y［2］

8.已知人x）=^sin（2x+T）.

（1）求人x）的單調遞增區間；

冗

⑵當不7T為3時，求函數於）的最大值和最小值.

7T7T7T

解：⑴令2%兀一］W2x+1W2Z兀+/,kGZ,

3兀兀

則左兀一wWxWfoi+w，kGZ.

3兀兀

故?x）的單調遞增區間為kn--^,E+g,左GZ.

⑵當x?/學時，竽W2x+/季所以一lWsin（2x+；）W乎，所以一也

<?<L所以當x?：,華時，函數段）的最大值為1,最小值為一也

—X

9.已知函數fix）=Q（2COS3'+sinx）+b.

⑴若。=—i,求函數/U）的單調遞增區間；

（2）當九￡［0,兀］時,函數兀0的值域是［5,8］,求〃，（的值.

解：函數兀x）=〃（l+cosx+sinx）+Z?

=^/2asin［x+^l+a+b.

⑴當a=—1時，火工)=一，5sin(x+：j+/2—1,由JTJT311

2kji+]Wx+aW2kli+~2~

7TSjT

（左?Z）,得2E+W尤W2kn+4（左?2）,所以?的單調遞增區間為

兀5兀

24兀+幣2%兀+了（左￡Z）.

TTTTSjT兀

（2）因為OWxWm所以^忘了十^忘了，所以一sinx+4j<1,依題意知

〃+6=8,

aWO.①當a>0時，得解得a=3霹一3,6=5.②當a<0時,

b=8,__

得旭++8_5解得。=3—3皿，Z?=8.綜上所述，a=30-3,b=5或a=

3—3啦，b=8.

[B綜合應用]

10.（2022?河南省名校聯盟模擬）若函數於）=sin（2x一卷與g（x）=cos

在區間（。，"<兀）上單調遞減，則6—a的最大值為（）

A兀c兀

A-6B.g

C,^-5兀

D12

解析：選B.函數於）=sin（2x—?在105兀、'5兀Ilf

12,上單調遞增，在上單調

1171、上單調遞增，函數g（%）=cos（x+T在區間10371

遞減，在五，九上單調遞減,

在存,兀上單調遞增，所以這兩個函數在區間5信兀，引3兀、上單調遞減，故》一。=學

12'4

SjT7T

五=§,即所求的最大值.故選B.

11.（多選）（2022?江西10月大聯考）在數學史上，為了三角計算的簡便并追求

計算的精確性，曾經出現過下列兩種三角函數：定義1—cos。為角。的正矢，記

作versin0-,定義1—sin。為角。的余矢，記作coversin。.則下列說法正確的是

（）

A.versing-0\=coversin（0+jr）

什coversin1貝

B.3,Ucoversin2x—versin2x=]

versinx-1

C.函數y=coversin%—versinx上單調遞增

D.函數fix）=coversinl3%+翳+versin（3%一

解析：選AC.對于A,=l+sin0,

coversin（兀+0）=1—sin（兀+0）=1+sin/故A選項正確