第五章離散信號與系統的時域分析老師：陳生潭5.1離散時間基本信號5.2卷積和5.3離散系統的描述

5.4離散系統零輸入響應

5.5離散系統零狀態響應

5.6差分方程的經典解法5.1離散時間基本信號5.1.1離散時間信號：1.定義：連續信號是連續時間變量t的函數，記為f(t)。離散信號是離散時間變量tk（k為任意整數）的函數，記為f(tk)。2.表示：（a）圖形表示：（tk－t(k－1)）圖a中為變數；在圖b，c中為常數。序列序列值序號（b）解析表示：（c）集合表示：k＝05.1.2離散基本信號：1.單位脈沖序列：位移單位脈沖序列：2.正弦序列：連續正弦信號是周期信號，但正弦序列不一定是周期序列。式中，m、N

均為整數，只有滿足為整數，或者當為有理數時，正弦序列才是周期序列；否則為非周期序列。

如果正弦序列是由連續正弦信號通過抽樣得到，設正弦式中：代入式得：3.復指數序列：

可見，復指數序列的實部和虛部均為幅值按指數規律變化的正弦序列。

如下頁圖所示r>1時，f(t)的實虛部均為指數增長的正弦序列。r<1時，f(t)的實虛部均為指數減小的正弦序列。r＝1時，f(t)的實虛部均為正弦序列。4.Z序列：z為復數連續、離散基本信號對應關系：單位沖激信號：正弦信號：虛指數信號：復指數函數：單位脈沖序列正弦序列虛指數序列復指數序列5.2卷積和5.2.1卷積和的定義：

連續信號卷積積分：

離散信號卷積和：

顯然，按定義有：

因果序列5.2.2圖解機理：

步驟：翻轉、平移、相乘、求和。

例：y(k)有限長序列的卷和計算：

*中間累加結果不進位。*任一乘積項結果序號

等于

f1(i)中i與f2(k-i)中(k-i)兩序號之和。1.

代數性質：交換律、結合律、分配律。卷積和性質5.2.3常用序列卷積和公式：

卷積積分卷積和5.3離散系統的描述

一.LTI離散時間系統：

1.輸入輸出模型：

設k0為初始觀察時刻，則可將系統的輸入區分為兩部分，稱k0以前的輸入為歷史輸入信號，稱k0及k0以后的輸入為當前輸入信號或簡稱輸入信號。根據引起系統響應的原因不同，可將輸出響應區分為零輸入響應yzi(k)零狀態響應yzs(k)和完全響應y(k)。2.狀態和狀態變量：

系統在k0

時刻的狀態是一組最少數目的數據：

同時滿足：而不必具體知道k0以前的輸入情況。系統階數＝獨立數據數目n狀態變量是描述系統狀態變化的變量，記為：

初始觀察時刻（通常設k0=0）的狀態稱為初始狀態，記為x(0),代表全部歷史輸入信號對系統的作用效果。3.線性和線性系統：

線性系統/非線性系統，滿足以下三個條件的系統是線性系統，否則是非線性系統。（1）響應的可分解性：（2）零輸入線性：（3）零狀態線性：4.時不變性和時不變系統：

時不變性：時不變系統：具有時不變性或參數不隨時間改變的系統。5.因果性和因果系統：

因果性：響應不會出現在激勵作業之前。因果系統：滿足因果性的系統。二.差分方程描述：

LTI連續系統：幾階線性常系數微分方程；LTI離散系統：幾階線性常系數差分方程（后向）。初始條件

歷史條件：y(-1)、y(-2)、…

、y(-n)當前條件：y(0)、y(1)、…

、y(n-1)

三.算子方程描述：

1.差分算子

2.算子方程

或寫成：上頁式中稱為系統傳輸算子。四.框圖、信號流圖表示：

例1：LTI離散系統差分方程：（二階系統）解：算子方程：或傳輸算子：方框圖、信號流圖見下頁信號流圖方框圖例2：LTI二階離散系統：算子方程：A(E)B(E)或寫成：等效方程：由(1)式得：由(2)式得：信號流圖5.4離散系統零輸入響應

一.零輸入響應滿足方程：

系統算子方程：

按定義，零輸入響應yzi(k)是f(k)=0時，僅由初始狀態X(0)或歷史輸入產生的響應。故有yzi(k)應滿足方程：和初始條件yzi(0),yzi(1)，…，yzi(n-1)的解。二.簡單系統的零輸入響應：

1.A(E)=E-r

yzi(k)滿足方程(E-r)yzi(k)=0即yzi(k+1)-ryzi(k)=0公比為r的等比級數結論：2.yx(k)滿足方程：由于方程必定也是方程(3)的解，依據差分方程解的結構定理有：結論：3.（證明見page224）結論：yzi式(2)、(4)、(5)中待定系數均由yzi(k)的初始條件確定。Step2：求解方程得到各極點相應的零輸入響應分量：Step3：寫出系統的零輸入響應：三.一般系統的零輸入響應：

由離散系統傳輸算子H(E)求yzi(k)的步驟：Step1：求解方程A(E)=0,得到H(E)的相異極點r1,r2,...,rg及相應的階數d1,d2,…,dg,寫出yzi(k)求解方程：Step4：由yzi(k)初始條件確定諸待定系數例：已知離散系統傳輸算子：初始條件yzi(0)=2，yzi(1)=0.2，yzi(2)=－0.21，求yzi(k)。解：因為傳輸算子H(E)極點為r1=0.2，r2=0.5，所以：令k=0,1,2代入初始條件：解得：最后得：5.5離散系統零狀態響應

引言：連續系統時域：離散系統時域：

h(t)為沖激響應h(k)為單位響應

與連續系統類似，可根據信號分解特性、LTI的線性時不不變特性導出離散系統yzs(k)計算公式。一.離散信號的時域分解：任一信號f(k)均可分解為眾多移位序列δ(k-i)的線性組合。二.基本信號δ(k)激勵下的yzs(k)：1.單位響應h(k)定義：δ(k)H(E)LTI零狀態h(k)2.h(k)計算：簡單系統1：例：若則簡單系統2：算子方程：差分方程：k<0時，h(k)=0，因果系統:簡單系統3：算子方程：差分方程：k<0時，h(k)=0，因果系統:一般系統h(t)計算方法：（1）將H(E)/E進行部分分式展開：（2）兩邊同時乘E，得到：（3）（4）三.一般信號f(k)激勵下的yzs(k)：激勵零狀態響應時不變性單位響應定義齊次性可加性四.系統的全響應：設則例1.已知系統信號流圖如下，求單位響應h(t)。解（1）傳輸算子：（2）（3）例2.page233

例5.5-7。5.6差分方程的