高中數學《高中全程學習方略》2025版必修第二冊第六章6.1平面向量的概念含答案第六章平面向量及其應用【大銜接·進階之梯】在初中階段,我們認識了力、速度等既有大小又有方向的量,能夠解決與簡單幾何問題有關的計算與證明問題,學習了解直角三角形;在高中階段,我們將引入平面向量內容,利用平面向量這一工具解決平面幾何問題、物理問題,證明余弦定理、正弦定理,進而解任意三角形.比較內容學習要求初中階段力、速度,幾何計算與證明,解直角三角形①了解力、速度等物理量的特點②會用定理計算與證明簡單的幾何問題③能夠在直角三角形中求邊、角高中階段向量,平面幾何問題、物理問題,解一般三角形①理解向量的概念②會用向量解決物理問題、幾何問題、測量問題③能夠應用正、余弦定理解任意三角形【大概念·串珠成鏈】【大策略·好學深思】1.“一個”工具:平面向量2.“兩種”方法:(1)幾何法;(2)代數法.3.“三個”定理:(1)平面向量共線定理;(2)平面向量基本定理;(3)正、余弦定理.4.“四種”素養:(1)直觀想象:借助幾何直觀呈現向量內容,將向量的幾何表示貫穿于向量的概念、運算與應用的全過程,提升學生的直觀想象素養.(2)數學抽象:在學習向量的運算時,引導學生類比實數的運算;學習解三角形問題時,類比直角三角形,讓學生體會數學中研究問題的思想方法,提升學生的抽象思維能力.(3)數學運算:讓學生掌握平面向量的運算并加以應用,加深對平面向量的認識,提升學生的數學運算素養.(4)數學建模:引導學生應用向量解決物理問題,應用解三角形解決測量問題,讓學生在解決問題的過程中把握本章內容與實際生活的聯系,提升學生的數學建模素養.6.2平面向量的運算6.2.1向量的加法運算【學習目標】1.理解并掌握向量加法的概念.2.了解向量加法的運算法則與幾何應用.3.會用向量加法解決簡單的實際問題.【素養達成】數學抽象直觀想象、邏輯推理數學運算、數學建模一、向量加法的定義及法則1.定義:求兩個向量和的運算,叫做向量的加法.2.向量加法的三角形法則(1)作法:兩個非零向量a,b,在平面內取任意一點A,作=a,=b;(2)結論:向量______叫做a與b的和(如圖所示);(3)記法:a+b,即a+b=+=.3.向量加法的平行四邊形法則(1)作法:以同一個起點O作兩個向量=a,=b,以OA,OB為鄰邊作?OACB(OC為對角線);(2)結論:以O為起點的向量叫做a與b的和(如圖所示);(3)記法:a+b,即a+b=+=.4.規定:a+0=0+a=a.5.|a+b|,|a|,|b|的關系一般地,我們有|a+b|≤|a|+|b|,當且僅當a,b中有一個是零向量或a,b是方向相同的非零向量時,等號成立.【教材挖掘】(P8)向量加法的平行四邊形法則與三角形法則一致嗎?為什么?提示:當兩個向量不共線時,兩個法則是一致的;如圖所示,在?ABCD中,=+(平行四邊形法則),又因為=,所以=+(三角形法則).二、向量加法的運算律1.交換律:a+b=b+a.2.結合律:(a+b)+c=a+(b+c).【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)兩個向量相加就是它們的模相加.(×)提示:向量既有大小,又有方向,所以兩個向量相加不是模相加,兩個向量相加應滿足三角形法則或平行四邊形法則(兩向量非零且不共線).(2)+=.(√)提示:根據向量加法的三角形法則可知+=.(3)向量加法的平行四邊形法則適合任意兩個向量.(×)提示:當兩個向量共線時,不能使用平行四邊形法則求解.(4)如果非零向量a與b的方向相同或相反,那么a+b的方向必與a,b之一的方向相同.(×)提示:當向量a與b互為相反向量時,a+b=0,而零向量的方向是任意的.類型一作和向量(直觀想象)【典例1】(1)(教材改編·例1)如圖,已知向量a,b,用向量加法的三角形法則作出向量a+b.【解析】①作=a,=b,a+b=+=,則即為所求作的向量.②作=a,=b,a+b=+=,則即為所求作的向量.③作=a,=b,a+b=+=,則即為所求作的向量.(2)(教材改編·例1)如圖,已知向量a,b,用向量加法的平行四邊形法則作出向量a+b.【解析】①作=a,=b,以OA,OB為鄰邊作?OACB,a+b=+=,則即為所求作的向量.②作=a,=b,以OA,OB為鄰邊作?OACB,a+b=+=,則即為所求作的向量.【總結升華】1.應用三角形法則的關注點(1)適用范圍:任意兩個非零向量;(2)注意:兩向量“首尾順次相連”,其和向量為“起點指向終點”的向量.2.應用平行四邊形法則的關注點(1)適用范圍:只適用于求不共線的兩個向量的和;(2)注意:共起點,兩向量所在線段為鄰邊作平行四邊形,找共起點的對角線對應的向量為和向量.【即學即練】如圖,已知向量a,b,c不共線,求作向量a+b+c.【解析】方法一(三角形法則):如圖所示,作=a,=b,則=a+b,再作=c,則=+=(a+b)+c,即=a+b+c.方法二(平行四邊形法則):因為向量a,b,c不共線,如圖所示,在平面內任取一點O,作=a,=b,以,為鄰邊作平行四邊形OADB,則對角線=a+b,再作=c,以,為鄰邊作平行四邊形OCED,則=a+b+c.類型二向量加法的性質與運算律(邏輯推理)角度1化簡【典例2】(2024·伊犁高一檢測)化簡下列各式:(1)++;(2)++++.【解析】(1)原式=++=+=.(2)原式=++++=++=+=0.【總結升華】利用向量加法化簡的依據(1)向量加法的運算法則:三角形法則和平行四邊形法則,多個向量的和同樣遵循“首尾相接,首尾連”,當多個向量首尾相連形成封閉圖形時,各向量和為零向量;(2)向量加法的運算律:交換律和結合律.【即學即練】如圖,四邊形ABDC為等腰梯形,AB∥CD,AC=BD,CD=2AB,E為CD的中點.試求:①+;②++;③+++.【解析】因為AB∥CD,AC=BD,CD=2AB,E為CD的中點,所以ABCE,ABED,即四邊形ABEC和ABDE是平行四邊形,①+=;②++=+=;③+++=++=+=+=0.角度2模的性質【典例3】若|a|=|b|=1,則|a+b|的取值范圍為__________.

【解析】因為|a|=|b|=1,所以0=||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|=2,當且僅當a與b共線時取等號,其中左端的等號是a與b反向時取得,右端的等號是a與b同向時取得,所以|a+b|∈[0,2].答案:[0,2]【總結升華】和向量模的性質(1)當非零向量a,b不共線時,a+b的方向與向量a,b的方向都不相同,模的關系是||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|,其幾何意義是三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊;(2)當向量a,b同向或至少一個是零向量時,a+b的方向與向量a,b(或其中的非零向量)的方向相同,模的關系是|a+b|=|a|+|b|;(3)當向量a,b反向或至少一個是零向量時,a+b的方向與向量a,b中模較大的方向相同,模的關系是|a+b|=||a|-|b||.【即學即練】a,b為非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,則()A.a與b方向相同 B.a=bC.a=-b D.a與b方向相反【解析】選A.因為|a+b|≤|a|+|b|,當且僅當a,b的方向相同時,等號成立,又因為|a+b|=|a|+|b|,所以a與b方向相同.類型三向量加法法則的應用(邏輯推理、數學建模)角度1幾何應用【典例4】若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=2,則△ABC的形狀是()A.正三角形 B.銳角三角形C.斜三角形 D.等腰直角三角形【解析】選D.由于||=|a|=1,||=|b|=1,||=|a+b|=2,則|a|2+|b|2=|a+b|2,即||2+||2=,所以△ABC為等腰直角三角形.【總結升華】向量加法的幾何應用利用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則,結合向量模長之間的關系,可以判斷三角形、四邊形的形狀.【即學即練】在四邊形ABCD中,+=,則四邊形ABCD是()A.梯形 B.矩形C.正方形 D.平行四邊形【解析】選D.由平行四邊形法則可得,四邊形ABCD是以AB,AD為鄰邊的平行四邊形.角度2實際應用【典例5】(教材提升·例2)已知船在靜水中的速度為40m/min,水流的速度為20m/min.(1)若船沿垂直于水流的方向航行,求船實際行進的方向的正切值(相當于與河岸的夾角的正切值).(2)若船沿垂直于水流的航線到達對岸,那么船行進方向應指向何處?實際航速為多少?【解析】(1)如圖所示,表示船速,表示水速,以AD,AB為鄰邊作?ABCD,則表示船實際航行的方向,所以||=||=40,||=20,在Rt△ABC中,tan∠BAC==2,所以船實際行進的方向的正切值為2.(2)設表示水流的速度,表示船實際航行的速度,表示船航行的速度,則四邊形ABCD為平行四邊形,所以=,∠DCA=90°,因為∠DCA=90°,于是||==402-20所以∠DAC=30°,∠DAB=120°,故船的行進方向與水流方向成120°,船的實際航速為203m/min.【總結升華】向量加法的實際應用利用向量加法解決小船渡河問題,需要注意船在靜水中的速度與船實際速度的區別,船的實際速度是船在靜水中速度和水流速度的合速度,也是對應向量的和向量.【即學即練】(多選)(2024·馬鞍山高一檢測)關于船從兩平行河岸的一岸駛向另一岸所用的時間,正確的是()A.船垂直到達對岸所用時間最少B.當船速的方向與河岸垂直時用時最少C.沿任意直線航行到達對岸的時間都一樣