7．3組合課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能通過實(shí)例，用自己的語言解釋組合的定義；能用定義判斷是不是組合問題，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．（2）能從組合的定義出發(fā)，利用排列與組合的關(guān)系推導(dǎo)組合數(shù)公式，并能用組合數(shù)公式解決有關(guān)計(jì)數(shù)問題．（3）能綜合應(yīng)用組合的概念和公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．（1）了解組合及組合數(shù)的概念.（2）能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)組合數(shù)公式，并會(huì)應(yīng)用公式解決簡(jiǎn)單的組合問題．

知識(shí)點(diǎn)01組合1、定義：一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）從排列與組合的定義可知，一是“取出元素”；二是“并成一組”，“并成一組”即表示與順序無關(guān)．排列與元素的順序有關(guān)，而組合與元素的順序無關(guān)，這是它們的根本區(qū)別．（2）如果兩個(gè)組合中的元素相同，那么不管元素的順序怎樣都是相同的組合；只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí)，才是不同的組合．因此組合問題的本質(zhì)是分組問題，它主要涉及元素被取到或末被取到．【即學(xué)即練1】下列四個(gè)問題屬于組合問題的是（

）A．從名志愿者中選出人分別參加導(dǎo)游和翻譯的工作B．從、、、這個(gè)數(shù)字中選取個(gè)不同的數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)C．從全班同學(xué)中選出名同學(xué)參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式D．從全班同學(xué)中選出名同學(xué)分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)知識(shí)點(diǎn)02組合數(shù)及其公式1、組合數(shù)的定義：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)．記作．知識(shí)點(diǎn)詮釋：“組合”與“組合數(shù)”是兩個(gè)不同的概念：一個(gè)組合是指“從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素并成一組”，它不是一個(gè)數(shù)，而是具體的一件事；組合數(shù)是指“從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)”，它是一個(gè)數(shù)．2、組合數(shù)公式：（1）（，且）（2）（，且）知識(shí)點(diǎn)詮釋：上面第一個(gè)公式一般用于計(jì)算，但當(dāng)數(shù)值m、n較大時(shí)，利用第二個(gè)式子計(jì)算組合數(shù)較為方便，在對(duì)含有字母的組合數(shù)的式子進(jìn)行變形和論證時(shí)，常用第二個(gè)公式．【即學(xué)即練2】（）A．5 B．10 C．15 D．20知識(shí)點(diǎn)03組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：（，且）性質(zhì)2：（，且）知識(shí)點(diǎn)詮釋：規(guī)定：．【即學(xué)即練3】若，則的值為（

）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)04組合問題常見題型（1）“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx?。?）“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法和間接法都可以求解，但通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理．（3）分堆問題①平均分堆，其分法數(shù)為：．②分堆但不平均，其分法數(shù)為．（4）定序問題．對(duì)于某些元素的順序固定的排列問題，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在總位置中選出定序元素的位置而不參加排列，然后對(duì)其他元素進(jìn)行排列．（5）相同元素分組問題用“隔板法”【即學(xué)即練4】將6名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍中，每個(gè)宿舍至少安排兩名學(xué)生，不同的分配方案有種．（用數(shù)字作答）題型一：組合概念的理解【典例11】下列四個(gè)問題屬于組合問題的是（

）A．從4名志愿者中選出2人分別參加導(dǎo)游和翻譯的工作B．從0，1，2，3，4這5個(gè)數(shù)字中選取3個(gè)不同的數(shù)字，組成一個(gè)三位數(shù)C．從全班同學(xué)中選出3名同學(xué)參加某大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式D．從全班同學(xué)中選出3名同學(xué)分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)和學(xué)習(xí)委員【典例12】下列選項(xiàng)中，屬于組合問題的是（

）A．從六名學(xué)生中選三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽，共有多少種選法B．有十二名學(xué)生參加植樹活動(dòng)，要求三人一組，共有多少種分組方案C．從3，5，7，9中任選兩個(gè)數(shù)做指數(shù)運(yùn)算，可以得到多少個(gè)冪D．從1，2，3，4中任取兩個(gè)數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，可以得到多少個(gè)不同的點(diǎn)【方法技巧與總結(jié)】排列、組合辨析切入點(diǎn)（1）組合的特點(diǎn)是只選不排，即組合只是從n個(gè)不同的元素中取出m（m≤n）個(gè)不同的元素即可．（2）只要兩個(gè)組合中的元素完全相同，不管順序如何，這兩個(gè)組合就是相同的組合．（3）判斷組合與排列的依據(jù)是看是否與順序有關(guān)，與順序有關(guān)的是排列問題，與順序無關(guān)的是組合問題．【變式11】下列四個(gè)問題屬于組合問題的是（

）A．從名志愿者中選出人分別參加導(dǎo)游和翻譯的工作B．從、、、這個(gè)數(shù)字中選取個(gè)不同的數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)C．從全班同學(xué)中選出名同學(xué)參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式D．從全班同學(xué)中選出名同學(xué)分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)【變式12】下列問題中不是組合問題的是（

）A．10個(gè)朋友聚會(huì)，每?jī)扇宋帐忠淮危还参帐侄嗌俅蜝．平面上有9個(gè)不同點(diǎn)，它們中任意三點(diǎn)不共線，連接任意兩點(diǎn)可以構(gòu)成多少條直線C．集合的含有三個(gè)元素的子集有多少個(gè)D．從高二（6）班的50名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會(huì)的獨(dú)唱、獨(dú)舞節(jié)目，有多少種選法題型二：簡(jiǎn)單的組合問題【典例21】甲、乙、丙、丁4支籃球隊(duì)舉行單循環(huán)賽（即任意兩支球隊(duì)都要比賽一場(chǎng)）.(1)寫出每場(chǎng)比賽的兩支球隊(duì)；(2)寫出冠亞軍的所有可能情況.【典例22】從5個(gè)不同元素a，b，c，d，e中取出2個(gè)，共有多少種不同的組合？請(qǐng)寫出所有組合．【方法技巧與總結(jié)】利用排列與組合之間的關(guān)系，建立起排列數(shù)與組合數(shù)之間的計(jì)算方法，借助排列數(shù)求組合數(shù)．【變式21】寫出從a，b，c這3個(gè)元素中，每次取出2個(gè)元素的所有組合．【變式22】在A、B、C、D四位候選人中，(1)如果選舉正、副班長(zhǎng)各一人，共有幾種選法？寫出所有可能的選舉結(jié)果；(2)如果選舉班委三人，共有幾種選法？寫出所有可能的選舉結(jié)果．題型三：組合數(shù)公式的應(yīng)用【典例31】若，則．【典例32】已知，則.【方法技巧與總結(jié)】（1）組合數(shù)公式一般用于計(jì)算，而組合數(shù)公式般用于含字母的式子的化簡(jiǎn)與證明．（2）要善于挖掘題目中的隱含條件，簡(jiǎn)化解題過程，如組合數(shù)的隱含條件為，且．【變式31】已知，則．【變式32】已知組合數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為．題型四：組合數(shù)的性質(zhì)【典例41】下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【典例42】（

）A．55 B．120 C．165 D．220【方法技巧與總結(jié)】計(jì)算時(shí)應(yīng)注意利用組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：①；②．【變式41】若，則的值為（

）A．14 B．84 C．34 D．204【變式42】（

）A． B． C． D．題型五：多面手問題【典例51】某國(guó)際旅行社現(xiàn)有11名對(duì)外翻譯人員，其中有5人只會(huì)英語，4人只會(huì)法語，2人既會(huì)英語又會(huì)法語，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語翻譯，4人當(dāng)法語翻譯，則共有（

）種不同的選法A．225 B．185 C．145 D．110【典例52】某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左舷，4人只會(huì)劃右舷，2人既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有_______【方法技巧與總結(jié)】有限制條件的抽（選）取問題，主要有兩類（1）“含”與“不含”問題，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計(jì)數(shù)．（2）“至多”“至少”問題，其解法常有兩種解決思路：一是直接分類法，但要注意分類要不重不漏；二是間接法，注意找準(zhǔn)對(duì)立面，確保不重不漏．【變式51】某出版社的7名工人中，有3人只會(huì)排版，2人只會(huì)印刷，還有2人既會(huì)排版又會(huì)印刷，現(xiàn)從7人中安排2人排版，2人印刷，有幾種不同的安排方法．題型六：分組、分配問題【典例61】某名校為落實(shí)教育幫扶“深耕計(jì)劃”，選派了4名教師到A，B，C三個(gè)縣城學(xué)校進(jìn)行教育幫扶指導(dǎo).每個(gè)學(xué)校至少派1人，不同的安排方式共有種用數(shù)字解答【典例62】“九江之夜”文旅街區(qū)是我市重點(diǎn)引進(jìn)的文旅項(xiàng)目，它坐落在我市濂溪區(qū)芳蘭湖畔，一經(jīng)開業(yè)便引得廣大市民游客爭(zhēng)相打卡．為了更好的服務(wù)招親廣場(chǎng)、電音舞臺(tái)、篝火廣場(chǎng)、水系舞臺(tái)這四個(gè)網(wǎng)紅打卡點(diǎn)，主管單位向我市征集了5名志愿者，若要求每個(gè)網(wǎng)紅點(diǎn)至少安排一名志愿者，每名志愿者只服務(wù)一個(gè)網(wǎng)紅點(diǎn)，則電音舞臺(tái)恰好安排兩人的方法有種．【方法技巧與總結(jié)】“分組”與“分配”問題的解法（1）分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：①完全均勻分組，每組的元素個(gè)數(shù)均相等，均勻分成n組，最后必須除以；②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有n組均勻，最后必須除以；③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．（2）分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個(gè)分配，也可以分組后再分配．【變式61】為籌備2025年第九屆亞冬會(huì)，某單位需要安排甲、乙、丙三人初一至初四值班4天，每天一人值班，每人至少值一天班，則甲值不連續(xù)兩天的概率為.【變式62】第十一屆全國(guó)少數(shù)民族傳統(tǒng)體育運(yùn)動(dòng)會(huì)在河南鄭州舉行，比賽期間，某項(xiàng)目需要安排3名志愿者完成5項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方法種數(shù)為.【變式63】小明將個(gè)不同時(shí)期的生肖紀(jì)念幣分成份進(jìn)行觀賞，每份至少個(gè)，且每份數(shù)量不同，則不同的分配方法有種．題型七：與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題【典例71】已知某圓上的10個(gè)不同的點(diǎn)，過每3個(gè)點(diǎn)畫一個(gè)圓內(nèi)接三角形，一共可畫個(gè)圓內(nèi)接三角形.【典例72】正八面體中，以其頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的個(gè)數(shù)為（用數(shù)字作答）．【方法技巧與總結(jié)】（1）圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用間接法．（2）把一個(gè)與幾何相關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為組合問題，此題目的解決體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．【變式71】已知正四棱錐，從底面四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D和四條側(cè)棱的中點(diǎn)共8個(gè)點(diǎn)中任選4個(gè)作為三棱錐的頂點(diǎn)，可得三棱錐個(gè).（用數(shù)字作答）【變式72】平面上有8個(gè)點(diǎn)，其中有3個(gè)點(diǎn)在同一條直線上，除此之外，不再有任意三點(diǎn)共線，由這些點(diǎn)可以確定直線【變式73】至少通過一個(gè)正方體的3條棱中點(diǎn)的平面?zhèn)€數(shù)為．題型八：隔板法【典例81】學(xué)校有個(gè)優(yōu)秀學(xué)生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個(gè)年級(jí)至少個(gè)名額，則有（

）種分配方案.A． B． C． D．【典例82】已知，，，則關(guān)于，，的方程共有（

）組不同的解.A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】隔板法是一種解決組合問題的數(shù)學(xué)方法，其核心在于通過在n個(gè)元素間的(n1)個(gè)空中插入k個(gè)板，將n個(gè)元素分成k+1組。應(yīng)用隔板法需滿足元素互不相異、每組至少分得一個(gè)元素、組別彼此相異等條件。隔板法具有邏輯清晰、易于操作和理解的優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于相同元素的分組分配問題。【變式81】滿足不等式的有序整數(shù)組的數(shù)目為（

）A．228 B．229 C．230 D．231【變式82】若方程，其中，則方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為（

）A．10 B．15 C．20 D．30【變式83】把分別寫有1，2，3，4，5，6的六張卡片全部分給甲、乙、丙三個(gè)人，每人至少一張，若分得的卡片超過一張，則必須是連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)為（

）A．60 B．36 C．30 D．12題型九：分堆問題【典例91】6本不同的書平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？【典例92】有6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的分法？(1)甲分1本、乙分2本、丙分3本；(2)一人分4本，另兩人各分1本.【方法技巧與總結(jié)】分堆問題是一類常見的組合問題，其關(guān)鍵在于確定如何將元素合理地分配到不同的堆中。解決這類問題通常可以采用枚舉、分類討論等方法。需要明確分堆的標(biāo)準(zhǔn)，確保每個(gè)元素都被分配到合適的堆中，同時(shí)考慮堆的數(shù)量、大小以及元素之間的順序或約束條件。通過靈活運(yùn)用這些方法，可以有效地解決各種復(fù)雜的分堆問題?！咀兪?1】已知有9本不同的書．(1)分成三堆，每堆3本，有多少種不同的分堆方法？(2)分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少種不同的分堆方法？（用數(shù)字作答）【變式92】已知有6本不同的書.(1)分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？

1．如圖，湖面上有4個(gè)相鄰的小島，現(xiàn)要建3座橋梁，將這4個(gè)小島連通起來，則建設(shè)方案有（

）A．12種 B．16種 C．20種 D．24種2．6名同學(xué)到三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，A場(chǎng)館安排1名，B場(chǎng)館安排2名，C場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法的個(gè)數(shù)有（

）A．30 B．60 C．120 D．3603．在“文化撫州，夢(mèng)想之舟”半程馬拉松比賽中，某路段設(shè)三個(gè)服務(wù)站，某高校5名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)服務(wù)點(diǎn)做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)服務(wù)點(diǎn)，每個(gè)服務(wù)點(diǎn)至少1人，則不同的安排方法共有（

）A．25種 B．150種 C．300種 D．50種4．有6本不同的書，全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（

）A．1440種 B．1560種 C．1920種 D．5760種5．現(xiàn)將包含球的5個(gè)不同的小球放入包含甲盒的四個(gè)不同的盒子里，每盒至少一球.其中小球不放入甲盒中，則不同安排方案的種數(shù)是（

）A．180 B．168 C．120 D．906．3名醫(yī)生和4名護(hù)士將被分配到2所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校至少分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，則分配方法共有（

）A．18種 B．36種 C．54種 D．72種7．某高校將4名學(xué)生分配到3所中學(xué)實(shí)習(xí)，每所中學(xué)至少分配名學(xué)生，則不同的分配方案共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種8．五一小長(zhǎng)假期間，旅游公司決定從5輛旅游大巴中選出4輛分別開往紫蒙湖?美林谷?黃崗梁?烏蘭布統(tǒng)四個(gè)學(xué)區(qū)承擔(dān)載客任務(wù)，要求每個(gè)景區(qū)都要有一輛大巴前往，每輛大巴只開往一個(gè)景區(qū)，且這5輛大巴中不去烏蘭布統(tǒng)，則不同的選擇方案共有（

）A．36 B．96 C．72 D．689．（多選題）下列說法正確的是（

）A．將個(gè)團(tuán)員指標(biāo)分到個(gè)班，每班要求至少得個(gè)，有種分配方法B．小明去書店看了本不同的書，想借回去至少本，有種方法C．英文單詞“”由個(gè)字母構(gòu)成，將這個(gè)字母組合排列，且兩個(gè)不相鄰一共可以得到英文單詞的個(gè)數(shù)為個(gè)（可以認(rèn)為每個(gè)組合都是一個(gè)有意義的單詞）D．六名同學(xué)排成一排照相，則其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，且甲和丁相鄰的情況有種10．（多選題）若，為正整數(shù)且，則下列等式正確的是（

）A． B．C．若，則 D．11．（多選題