實驗2利用DFT分析信號頻譜實驗目的加深對DFT原理的理解。應用DFT分析信號的頻譜。深刻理解利用DFT分析信號頻譜的原理，分析實現過程中出現的現象及解決方法。實驗設備與環境計算機、MATLAB軟件環境。實驗基礎理論1.DFT和DTFT的關系有限長序列x(n)(0≤n≤N-1)的離散時間傅里葉變換X(ejw)在頻率區間（0≤ω≤2π）的N個由上式可知，序列x(n)的N點DFTX(k),實際上就是x(n)序列的DTFT在N個等間隔頻率點kω=2πk/N(0≤k≤N?1)上樣本X(k)。2.利用DFT求DTFT方法1：其中?(x)為內插函數方法2：然而在實際MATLAB計算中，上述插值運算不見得是最好的辦法。由于DFT是DTFT的取樣值，其相鄰兩個頻率樣本點的間距為2π/N，所以如果我們增加數據的長度N，使得到的DFT譜線就更加精細，其包絡就越接近DTFT的結果，這樣就可以利用DFT來近似計算DTFT，如果沒有更多的數據，可以通過補零來增加數據長度。3.利用DFT分析連續時間信號的頻譜采用計算機分析連續時間信號的頻譜，第一部就是把連續時間信號離散化。這里需要兩個操作：一是采樣，二是截斷。對于連續時間非周期信號xa(t)，按采樣間隔T進行采樣，截取長度為對Xa(jΩ因此，可以將利用DFT分析連續非周期信號頻譜的步驟歸納如下：（1）確定時域采樣間隔T，得到離散序列x(n)；（2）確定截取長度M，得到M點離散序列xMn=xn（3）確定頻域采樣點數N，要求N≥M。（4）利用FFT計算離散序列的N點DFT，得到XM（5）根據式由XMk計算采用上述方法計算xa（1）頻譜混疊。如果不滿足采樣定理的條件，頻譜會出現混疊誤差。對于頻譜無限寬的信號，應考慮覆蓋大部分主要頻率分量的范圍。（2）柵欄效應和頻譜分辨率。使用DFT計算頻譜，得到的結果只是N個頻譜樣本值，樣本值之間的頻譜是未知的，像通過一個柵欄觀察頻譜，稱為“柵欄效應”。頻譜分辨率與記錄長度成反比，要提高頻譜分辨率，就要增加記錄時間。（3）頻譜泄露。對信號階段會把窗函數的頻譜引入信號頻譜，造成頻譜泄露，解決這個問題的主要辦法是采用旁瓣小的窗函數，頻譜泄露和窗函數均會引起誤差。因此，要合理選取采樣間隔和截取長度，必要時還考慮加適當的窗。對于連續時間周期信號，我們在采用計算機進行計算時，也總是要進行截斷，序列總是有限長的，仍然可以采用上述方法近似計算。4.可能用到的MATLAB函數與代碼實驗中DFT運算可采用MATLAB中提供的函數fft來實現。DTFT可以利用MATLAB矩陣運算的方法進行計算X實驗內容1.已知x(n)={2,-1,1,1},完成如下要求：(1)計算器DTFT，并畫出[?π,π]區間的波形。(2)計算4點DFT，并把結果顯示在(1)所畫的圖形中。(3)對x(n)補零，計算64點DFT，并顯示結果。(4)根據實驗結果，分析是否可以由DFT計算DTFT，如果可以，如何實現？2.考察序列(1)0≤n≤10時，用DFT估計x(n)的頻譜；將x(n)補零加長到長度為100點序列用DFT估計x(n)的頻譜，要求畫出相應波形。(2)0≤n≤100時，用DFT估計x(n)的頻譜，并畫出波形。(3)根據實驗結果，分析怎樣提高頻譜分辨率。3.已知信號，其中f1=1Hz,f2=2Hz,f4.利用DFT近似分析連續時間信號的頻譜（幅度譜）。分析采用不同的采樣間隔和截取長度進行計算的結果，并最終確定適合的參數。實驗結果及分析1.（1）實驗代碼：>>x=[2-111];>>n=0:3;>>w=-pi:0.01*pi:pi;>>X=x*exp(-j*n'*w);>>subplot(211);>>plot(w,abs(X));xlabel('\Omega/\pi');title('Magnitude');axistight>>subplot(212);>>plot(w,angle(X)/pi);xlabel('\Omega/\pi');title('Phase');axistight波形圖：（2）實驗代碼：>>fft(x);>>k=0:3;>>subplot(211);>>holdon>>stem(k,abs(ans));>>subplot(212);>>holdon>>stem(k,angle(ans)/pi);計算結果圖示如下：（3）實驗代碼：>>fft(x,64);>>k=0:63;>>subplot(211);>>stem(k,abs(ans));xlabel('k');title('Magnitude');axistight>>subplot(212);>>stem(k,angle(ans));xlabel('k');title('Phase');axistight波形圖如下：（4）分析：可以用DFT計算DTFT。實現方法：利用對x(n)補零，提高采樣密度，當補零的個數足夠多時，即可用DFT的結果近似DTFT。2.（1）當0≤n≤10時，實驗代碼:>>n=0:10;>>x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);>>X=fft(x);>>subplot(211);>>k=0:10;>>stem(k,abs(X));xlabel('k');title('Magnitude');axistight>>subplot(212);>>stem(k,angle(X));xlabel('k');title('Phase');axistightx(n)的頻譜為：當x(n)的長度變為100時，實驗代碼：>>X1=fft(x,100);>>subplot(211);>>k=0:99;>>stem(k,abs(X1));xlabel('k');title('Magnitude');axistight>>subplot(212);>>stem(k,angle(X1));xlabel('k');title('Phase');axistightx(n)的頻譜為：（2）當0≤n>>n=0:100;>>x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);>>X=fft(x);>>subplot(211);>>k=0:100;>>stem(k,abs(X));xlabel('k');title('Magnitude');axistight>>subplot(212);>>stem(k,angle(X));xlabel('k');title('Phase');axistight頻譜波形：（3）分析：由頻譜波形可以看出，通過增加補零的個數可以提高頻譜分辨率，但是不能提高分辨力，提高分辨力需要通過延長所選信號的長度來實現。3.實驗代碼：>>t=0:0.01:1>>f1=1;>>f2=2;>>f3=3;>>x=0.15*sin(2*pi*f1.*t)+sin(2*pi*f2.*t)-0.1*sin(2*pi*f3.*t);>>plot(t,x);>>grid;時域波形圖為：>>n=0:2000;>>x=0.15*sin(2*pi*f1.*n)+sin(2*pi*f2.*n)-0.1*sin(2*pi*f3.*n);>>X=fft(x);>>figure(2);>>stem(n,X,'filled');分析：由圖中頻譜可知，存在3個頻譜分量。4.實驗代碼：（1）采樣區間：[0，100]，采樣間隔為1時：>>n=0:100;>>x=exp(-0.1*n);>>X1=fft(x);>>k=0:100;>>stem(k,abs(X1));>>xlabel('k');波形圖：（2）采樣區間：[0，100]，采樣間隔為2時：>>n=0:2:100;>>x=exp(-0.1*n);>>X2=fft(x);>>k=0:50;>>stem(k,abs(X2));>>xlabel('k');波形圖：（3）采樣區間：[0，50]，采樣間隔為1時：>>n=0:50;>>x=exp(-0.1*n);>>X3=fft(x);>>k=0:50;>>stem(k,abs(X3));>>xlabel('k');波形圖：（4）采樣區間：[0，50]，采樣間隔為2時：>>n=0:2:50;>>x=exp(-0.1*n);>>X4=fft(x);>>k=0:25;>>stem(k,abs(X4));>>xlabel('k');波形圖：（5）采樣區間：[0，150]，采樣間隔為1時：>>n=0:150;>>x=exp(-0.1*n);>>X5=fft(x);>>k=0:150;>>stem(k,abs(X5));>>xlabel('k');波形圖：（6）采樣區間：[0，150]，采樣間隔為2時：>>n=0:2:150;>>x=exp(-0.1*n);>>X5=fft(x);>>k=0:75;>>stem(k,abs(X5));>>xlabel('k');波形圖：分析：由上述對比發現，采樣區間取[0，100]，采樣間隔取2時，結果最為接近x(t)的頻譜。六、收獲及體會通過本次實驗，學習到了如何用DFT分析頻譜，知道