極限與連續知識點演講人：日期：目錄CONTENTS極限概念及性質函數的連續性極限的計算方法微分中值定理與導數應用不定積分與定積分概念微分方程基本概念與解法01極限概念及性質CHAPTER極限的定義“極限”是數學中的分支——微積分的基礎概念，描述函數中的變量在無限趨近于某個特定值的過程中，函數值所趨近的常數。極限的表示方法使用“lim”符號，如lim(x→a)f(x)=A，表示當x趨近于a時，f(x)的極限為A。極限定義及表示方法極限存在準則函數在某點處極限存在的充分必要條件是函數在該點處的左極限和右極限相等。極限的運算法則包括加法、減法、乘法和除法等基本運算法則，以及復合函數的極限運算法則。極限存在準則與運算法則在自變量的某個變化過程中，以0為極限的變量稱為無窮小量。無窮小量在自變量的某個變化過程中，絕對值無限增大的變量稱為無窮大量。無窮大量無窮小量與無窮大量概念lim(x→a)[f(x)-g(x)]=lim(x→a)f(x)-lim(x→a)g(x)，當兩個極限都存在時。減法法則lim(x→a)[f(x)×g(x)]=lim(x→a)f(x)×lim(x→a)g(x)，當兩個極限都存在時。乘法法則01020304lim(x→a)[f(x)+g(x)]=lim(x→a)f(x)+lim(x→a)g(x)，當兩個極限都存在時。加法法則lim(x→a)[f(x)/g(x)]=lim(x→a)f(x)/lim(x→a)g(x)，當lim(x→a)g(x)≠0時。除法法則極限的四則運算法則02函數的連續性CHAPTER連續函數定義設函數y=f(x)，如果自變量x在某一點x?的微小變化導致因變量y的變化也很小，則稱函數在該點連續。更精確的數學定義是，若lim(x→x?)f(x)=f(x?)，則稱函數f(x)在x?處連續。連續函數性質連續函數在定義域內沒有斷點或跳躍，其圖像是一條連續不斷的曲線。此外，連續函數還具有一些重要的性質，如介值定理、最值定理等。連續函數定義及性質間斷點類型第一類間斷點（包括可去間斷點和跳躍間斷點）和第二類間斷點（包括無窮間斷點和振蕩間斷點）。間斷點判斷方法判斷函數在某點是否連續，可以通過觀察函數在該點附近的左右極限是否存在且相等，若相等則函數在該點連續，否則不連續。對于不同類型的間斷點，需要具體分析函數在該點的性質。間斷點類型與判斷方法如果函數在閉區間上連續，且在該區間的兩端取值異號，則函數在該區間內至少有一個零點。這是連續函數的一個重要性質，也是證明一些定理和結論的關鍵。介值定理閉區間上的連續函數必定能夠取得最大值和最小值。這個定理在優化問題中非常重要，因為它保證了最優解的存在性。最值定理閉區間上連續函數性質VS初等函數（如多項式函數、指數函數、對數函數、三角函數等）在其定義域內都是連續的。這個性質使得我們在處理初等函數時更加方便，可以直接利用連續函數的性質進行求解和分析。分段函數的連續性對于分段定義的函數，需要分別判斷各分段函數的連續性，并考慮分段點處的連續性。如果分段點處的左右極限相等且等于函數值，則函數在該點連續。初等函數連續性初等函數連續性03極限的計算方法CHAPTER直接將變量代入函數表達式中求解極限值的方法。代入法求極限代入法定義適用于連續函數在定義點處的極限計算。適用范圍需驗證代入后的表達式是否存在確定的值。注意事項在一定條件下，通過求導數的極限來確定原函數的極限。洛必達法則定義適用于“0/0”型或“∞/∞”型的極限計算。適用范圍需驗證洛必達法則的適用條件，如分子分母同時趨于0或同時趨于無窮大。注意事項洛必達法則應用010203夾逼準則與單調有界準則夾逼準則定義通過構造兩個逼近的函數，將原函數夾在中間，從而確定原函數的極限。單調有界準則定義如果一個數列或函數在某個區間內單調且有界，則它必定有極限。適用范圍夾逼準則適用于不易直接求解的極限問題；單調有界準則適用于證明數列或函數的極限存在性。注意事項夾逼準則需要找到合適的逼近函數；單調有界準則需要證明數列或函數的單調性和有界性。將函數在某點展開為冪級數，通過截斷誤差項來逼近原函數。泰勒公式定義適用于在已知函數在某點的各階導數信息時，求解該點附近的函數值或極限。適用范圍需要選擇合適的展開點和截斷階數，以保證足夠的精度；同時需驗證泰勒公式的余項是否趨于0。注意事項泰勒公式在求極限中的應用04微分中值定理與導數應用CHAPTER羅爾定理若函數在閉區間上連續，在開區間內可導，且區間端點對應的函數值相等，則存在區間內至少一點使得函數在該點的導數為零。拉格朗日中值定理若函數在閉區間上連續，在開區間內可導，則存在區間內至少一點使得函數在該點的導數等于函數在該區間的平均變化率。羅爾定理、拉格朗日中值定理若兩個函數在閉區間上連續，在開區間內可導，則存在區間內至少一點使得兩個函數在該點的導數之比等于兩個函數在區間端點對應函數值之差比。柯西中值定理用參數方程表示的曲線上至少有一點，它的切線平行于兩端點所在的弦。幾何意義柯西中值定理及其幾何意義洛必達法則的推導通過對分子分母同時求導，將極限形式轉化為可求的形式。證明通過嚴格的數學推導，證明在一定條件下，洛必達法則是有效的。洛必達法則的推導與證明通過二階導數的符號判斷函數的凹凸性。凹凸性通過一階導數的零點及二階導數的符號確定函數的極值點。極值點01020304通過一階導數的符號判斷函數的單調性。單調性通過二階導數的零點及三階導數的符號確定函數的拐點。拐點利用導數研究函數性態05不定積分與定積分概念CHAPTER如果存在一個可導函數F(x)，其導數為f(x)，那么F(x)稱為f(x)的原函數。原函數求一個函數的原函數的過程，其結果是一個函數族（含有一個常數C）。不定積分不定積分是原函數的一個表示方法，原函數是不定積分的逆運算。關系原函數與不定積分關系01定積分定義定積分是函數在區間上的一種特殊積分，其結果是一個數，表示函數在該區間上的累積效果。定積分定義及性質02性質線性性、可加性、積分區間可變性、積分值與原函數的關系等。03幾何意義定積分表示曲線在區間上與x軸所圍成的面積。重要性牛頓-萊布尼茨公式為定積分的計算提供了一個有效而簡便的方法，大大簡化了計算過程。注意事項在應用牛頓-萊布尼茨公式時，需要找到被積函數的原函數，并正確計算原函數在積分區間的增量。應用條件被積函數必須連續或存在有限個間斷點，且積分區間[a,b]必須有限。公式內容一個連續函數在區間[a,b]上的定積分等于它的任意一個原函數在區間[a,b]上的增量。牛頓-萊布尼茨公式定積分可以用來計算平面圖形的面積，如曲邊梯形、圓、橢圓等；還可以用來計算空間幾何體的體積，如旋轉體、柱體等。幾何應用定積分在物理學中有廣泛應用，如計算物體的質量、質心、轉動慣量等；還可以用來計算功、能量等物理量。物理應用定積分在工程技術、經濟、管理等領域也有廣泛應用，如計算總量、平均值、累積量等。實際應用定積分在幾何、物理中的應用06微分方程基本概念與解法CHAPTER微分方程的定義微分方程是含有未知函數及其導數的關系式。微分方程的分類根據微分方程的階數、線性、齊次等特性進行分類，如一階線性微分方程、高階微分方程等。微分方程定義及分類通解公式通過分離變量法或者積分因子法，可以求解一階線性微分方程的通解。初值問題一階線性微分方程解法給定初始條件，利用通解公式求解一階線性微分方程的特解。0102VS通過變量替換或者積分，將高階微分方程轉化為低階微分方程進行求解。齊次型通過變量代換，將齊次高階微分方程轉化為可分離變量的微分方程進行求