10.3頻率與概率10.3.1頻率的穩定性10.3.2隨機模擬「學習目標」1.通過運用恰當的例子抽象出頻率的穩定性,理解頻率與概率之間的聯系與區別,培養數學抽象、邏輯推理的核心素養.2.通過了解隨機數的意義及用模擬的方法估計概率,培養數學抽象、數據分析及數學建模的核心素養.知識梳理自主探究「知識探究」1.頻率的穩定性大量試驗表明,在任何確定次數的隨機試驗中,一個隨機事件A發生的頻率具有

性.一般地,隨著試驗次數n的增大,頻率偏離概率的幅度會縮小,即事件A發生的頻率fn(A)會逐漸

于事件A發生的概率P(A).我們稱頻率的這個性質為頻率的穩定性.因此,我們可以用頻率fn(A)估計概率

.隨機穩定P(A)2.隨機數與偽隨機數像彩票搖獎那樣,把10個質地和大小相同的號碼球放入搖獎器中,充分攪拌后搖出一個球,這個球上的號碼就稱為

.計算器或計算機產生的隨機數是按照確定的算法產生的,具有周期性(周期很長),它們具有類似隨機數的性質.因此,計算器或計算機產生的隨機數不是真正的隨機數,我們稱它們為

.隨機數偽隨機數3.產生隨機數的常用方法(1)用計算器產生;(2)用

產生;(3)

法.4.隨機模擬方法(蒙特卡洛方法)利用計算機或計算器產生的隨機數來做模擬試驗,通過模擬試驗得到的

來估計

,這種用計算機或計算器模擬試驗的方法稱為隨機模擬方法或蒙特卡洛方法.計算機抽簽頻率概率師生互動合作探究探究點一頻率與概率的關系[例1](1)下列命題中正確的是(

)A.有一批產品的次品率為0.05,則從中任意取出200件產品中必有10件是次品B.拋100次硬幣,結果51次出現正面,則出現正面的概率是0.51C.隨機事件發生的概率就是這個隨機事件發生的頻率D.擲骰子100次,得點數為6的結果有20次,則出現6點的頻率為0.2√(2)對某電視機廠生產的電視機進行抽樣檢測的數據如下:抽取臺數501002003005001000優等品數4092192285478954①根據表中數據分別計算6次試驗中抽到優等品的頻率;(2)解:①抽到優等品的頻率分別為0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.②該廠生產的電視機為優等品的概率約是多少?解:②由表中數據可估計優等品的概率為0.95.方法總結頻率是事件A發生的次數m與試驗總次數n的比值,利用此公式可求出事件發生的頻率.頻率本身是隨機變量,當n很大時,頻率總是在一個穩定值附近擺動,這個穩定值就是概率.[針對訓練]一個地區從某年起4年之內的新生嬰兒數及其中的男嬰數如下表所示:時間范圍1年內2年內3年內4年內新生嬰兒數n554496071352017190男嬰數m2883497069948892(1)計算男嬰出生的頻率(保留4位小數);(2)這一地區男嬰出生的概率約是多少?解:(2)隨著新生嬰兒數的增多,男嬰出生的頻率接近0.5173,因此,這一地區男嬰出生的概率約為0.5173.探究點二游戲公平性的判斷[例2]某校高二年級(1)(2)班準備聯合舉行晚會,組織者欲使晚會氣氛熱烈、有趣,策劃整場晚會以轉盤游戲的方式進行,每個節目開始時,兩班各派一人先進行轉盤游戲,勝者獲得一件獎品,負者表演一個節目.(1)班的文娛委員利用分別標有數字1,2,3,4,5,6,7的兩個轉盤(如圖所示),設計了一種游戲方案:兩人同時各轉動一個轉盤一次,將轉到的數字相加,和為偶數時(1)班代表獲勝,否則(2)班代表獲勝.該方案對雙方是否公平?為什么?解:該方案是公平的,理由如下:各種情況如表所示.轉盤2和轉盤145671567826789378910方法總結游戲規則是否公平的判斷標準在各類游戲中,如果每人獲勝的概率相等,那么游戲就是公平的,這就是說是否公平只要看游戲各方獲勝的概率是否相等.例如:體育比賽中決定發球權的方法應該保證比賽雙方先發球的概率相等,這樣才是公平的;每個人購買彩票中獎的概率應該是相等的,這樣才是公平的;抽簽決定某項事務時,任何一支簽被抽到的概率也是相等的,這樣才是公平的,等等.[針對訓練]有一個轉盤游戲,轉盤被平均分成10等份(如圖所示),轉動轉盤,當轉盤停止后,指針指向的數字即為轉出的數字.游戲規則如下:兩個人參加,先確定猜數方案,甲轉動轉盤,乙猜,若猜出的結果與轉盤轉出的數字所表示的特征相符,則乙獲勝,否則甲獲勝.猜數方案從以下兩種方案中選一種:A.猜“是奇數”或“是偶數”;B.猜“是4的整數倍數”或“不是4的整數倍數”.請回答下列問題:(1)如果你是乙,為了盡可能獲勝,你將選擇哪種猜數方案,并且怎樣猜?為什么?解:(1)A方案中,“是奇數”和“是偶數”的概率都為0.5;B方案中,“是4的整數倍數”的概率為0.2,“不是4的整數倍數”的概率為0.8,為了盡可能獲勝,應選擇B方案,猜“不是4的整數倍數”獲勝的概率最大.(2)為了保證游戲的公平性,你認為應選哪種猜數方案?為什么?解:(2)為了保證游戲的公平性,應當選擇方案A.因為方案A猜“是奇數”或“是偶數”的概率均為0.5,從而保證了該游戲是公平的.探究點三隨機模擬法估計概率[例3]一袋子中裝有除顏色外完全相同的4個白球和5個黑球,從中有放回地摸球3次,每次摸1個球.用模擬試驗的方法,讓計算機產生1～9的隨機數,若1～4代表白球,5～9代表黑球,每3個為一組,產生如下20組隨機數:917966191925271932735458569683431257393627556488812184537989則3次摸出的球中恰好有2次是白球的概率近似為(

)√方法總結隨機數模擬試驗估計概率時,要明確以下三點:(1)確定隨機數的范圍和用哪些數代表不同的試驗結果.(2)研究等可能事件的概率時,用按比例分配的方法確定表示各個結果的數字個數及總個數.(3)當每次試驗結果需要n個隨機數表示時,要把n個隨機數作為一組來處理,此時一定要注意每組中的隨機數字能否重復.[針對訓練]天氣預報說,在今后的三天中,每一天下雨的概率均為40%,用隨機模擬的方法估計這三天中恰有兩天下雨的概率.可利用計算機產生0到9之間的整數值的隨機數,如果我們用1,2,3,4表示下雨,用5,6,7,8,9,0表示不下雨,順次產生的隨機數如下:907

966

191

925

271

932

812

458

569

683

631

257

393

027

556

488

730

113

137

989則這三天中恰有兩天下雨的概率約為(

)√「當堂檢測」1.拋擲一枚質地均勻的硬幣,設事件A=“正面向上”,則下列說法正確的是(

)A.拋擲硬幣10次,事件A必發生5次B.拋擲硬幣100次,事件A不可能發生50次C.拋擲硬幣1000次,事件A發生的頻率一定等于0.5D.隨著拋擲硬幣次數的增多,事件A發生的頻率逐漸穩定在0.5附近√解析:不管拋擲硬幣多少次,事件A發生的次數是隨機事件,故A,B,C錯誤;隨著拋擲硬幣次數的增多,事件A發生的頻率在0.5附近波動的幅度較大的可能性小.故選D.2.用隨機模擬方法估計概率時,其準確程度取決于(

)A.產生的隨機數的大小

B.產生的隨機數的個數C.隨機數對應的結果

D.產生隨機數的方法√解析:隨機數容量越大,所估計的概率越接近實際數.故選B.3.已知某運動員每次投籃命中的概率都為50%,現采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃都命中的概率:先由計算機產生0到9之間取整數值的隨機數,指定1,2,3,4,5表示命中,6,7,8,9,0表示不命中,再以每三個隨機數為一組,代表三次投籃的結果.經隨機模擬產生了如下20組隨機數:162

966

151

525

271

932

592

408

569

683471

257

333