《高等數學》課程教案課題：無窮級數教學目的：1．了解常數項級數的概念與性質2．掌握冪級數的性質及運算方法課型：新授課課時：本章安排4個課時。教學重點：重點：冪級數的性質及運算方法教學難點：難點：冪級數的性質及運算方法教學過程：教學形式：講授課，教學組織采用課堂整體講授和分組演示。教學媒體：采用啟發式教學、案例教學等教學方法。教學手段采用多媒體課件、視頻等媒體技術。板書設計：本課標題無窮級數課次2授課方式理論課□討論課□習題課□其他□課時安排4學分共2分授課對象普通高等院校學生任課教師教材及參考資料1.《高等數學》；電子工業出版社。2.本教材配套視頻教程及學習檢查等資源。3.與本課程相關的其他資源。教學基本內容教學方法及教學手段課程引入銜接導入前幾章的主要研究對象是初等函數。初等函數可以由基本初等函數經過有限次四則運算得到，因此它是由有限個函數相加而成的函數。在數學和其他學科中還會涉及無窮多個數或無窮多個函數相加的問題，因此，本章引入無窮級數的概念。無窮級數也是高等數學的重要組成部分，它在自然科學、工程技術和數學的許多分支中都有廣泛的應用。參考以下形式：1.銜接導入2.懸念導入3.情景導入4.激疑導入5.演示導入6.實例導入7.其他形式本章基本知識匯總第一節常數項級數的概念與性質一、常數項級數的基本概念定義1設a1a1稱為常數項級數，簡稱級數，記作n=1∞n=1∞ 數列a1,a將等比數列a,aq,aqn=1∞該級數稱為等比級數或幾何級數，其中q稱為等比級數的公比。級數n=1∞ansns1,s式（10-2）稱為級數n=1∞an定義2若級數n=1∞an的部分和數列sn當limn→∞則稱該級數收斂于s，s稱為該級數的和，記作n=1∞an=s；若部分和數列s由定義2可知，研究級數的斂散性問題實際上是研究它的部分和數列的斂散性問題。二、級數收斂的性質性質1（級數收斂的必要條件）若級數n=1∞an證明：設n=1∞an=s，由limn→∞性質2級數n=1∞kan（常數k≠0）與性質3若級數n=1∞an與n=1∞bn=1∞性質4在級數前加上有限項、去掉有限項或改變有限項，均不會影響級數的斂散性（在收斂的情形下級數的和可能會發生改變）。性質5收斂級數任意加括號后得到的新級數仍然收斂，且與原級數有相同的和。由性質5可知，發散級數去括號后必是發散級數，但應該注意，發散級數加括號后得到的新級數可能收斂?；蛘哒f，一個級數加括號后得到的新級數收斂，而原來的級數不一定收斂。例如，級數(1-1)+(1-1)+收斂，且其和等于0，但去括號得到的級數1-1+1-1+發散。第二節常數項級數斂散性判別法一、正項級數及其斂散性判別法定義3若級數n=1∞an中的每項a定理1正項級數n=1∞an證明:（1）必要性。若正項級數n=1∞an收斂，則它的部分和數列s（2）充分性。由于正項級數的每項an≥0，而sn+1=sn+an，因此s應用定理1，可以證明p級數n=1∞1np，當p>1時收斂，當p≤1時發散；特別地，當定理2（比較判別法）設n=1∞an和n=1（1）若級數n=1∞bn（2）若級數n=1∞anSn和?Tn分別表示n=1∞an和（1）（2）分析例7和例8不難發現，若正項級數的通項an是分式，并且分子分母都是n比較判別法需要建立兩個正項級數的一般項之間的不等式關系，這有一定難度。下面給出比較判別法的極限形式。定理3（比較判別法的極限形式）設n=1∞an與n=1∞bn均為正項級數，bn（1）當0<l<+∞時，級數n=1∞an（2）當l=0時，若級數n=1∞bn（3）當l=+∞時，若級數n=1∞bn定理4（比值判別法）設n=1∞an（1）當ρ<1時，級數n=1∞（2）當ρ>1時，級數n=1∞（3）當ρ=1時，本判別法失效。二、任意項級數及其斂散性判別法若一個級數n=1∞an1.交錯級數設an>0?（n=1,2,???）定理5（萊布尼茨定理）設交錯級數n=1∞(-1)n-1an滿足條件（1）an≥a例13討論下列交錯級數的斂散性：（1）n=1∞(-1（2）n=1∞（1）由于an又limn→∞因此根據萊布尼茨定理可知該級數收斂。（2）令f(x)=2x-1x2，則f'(x)=2(1-x)x3<0an又有limn→∞因此根據萊布尼茨定理可知該級數收斂。2.絕對收斂和條件收斂設n=1∞an是任意項級數，若級數n=1∞an收斂，則稱級數n=1∞定理6若級數n=1∞an證明：令pn則an=pn-由于pn假設n=1∞an收斂，因此由定理2知，n=1∞p對于任意項級數n=1∞an斂散性的判斷，可以先考慮其絕對值級數n=1∞an的斂散性（它是正項級數，可以用正項級數斂散性的判別法來判別），若對于級數n=1∞用上述方法容易得出：當p>1時，絕對收斂；當0<p≤1時，條件收斂。第三節冪級數一、冪級數及其收斂性設有函數序列f1(x),f2(x),f3現在考察形如n=0∞an的級數，式中x是自變量，a0,?a任取一實數x=xn=0∞ （10-4）若式（10-4）收斂，則稱冪級數在點x0處收斂，點x0稱為收斂點；若式（10-4）發散，則稱冪級數在點x0處發散，點式（10-3）對其收斂域上的每個x值都有和，記為s(x)，即s(x)=a 顯然s(x)是定義在冪級數的收斂域上的函數，稱為冪級數的和函數。定理7（阿貝爾定理）若冪級數n=0∞anxn在點x0（x0≠0）處收斂，則對于滿足x對于任何冪級數n=0∞an若一個冪級數n=0∞anxn除了原點再也沒有收斂點，則它的收斂域是0；若一個冪級數n=0若一個冪級數n=0∞anxn除了原點還有收斂點x0（x0≠0），則由阿貝爾定理知在區間(-x0,x0)內的每點x，n=0∞anxn都絕對收斂；再若n=0∞anxn還有發散點x1（它必在區間[-x0,x0]外），則它在區間(-∞,-x1]∪[x1,+∞)上發散。在區間(x根據上述分析，可以得到以下結論。設冪級數n=0∞anxn不是僅在x=0（1）當x∈(-R,R)時，冪級數n=0∞（2）當x∈(-∞,-R)∪(R,+∞)時，冪級數n=0∞（3）當x=R或x=-R時，冪級數n=0∞這樣的正數R稱為冪級數n=0∞anxn的收斂半徑，(-R,R)稱為收斂域。若冪級數n=0∞anxn在x=R及x=-R時均發散，則它的收斂域為(-R,R)；若冪級數n=0∞anxn在x=R若冪級數n=0∞anxn僅在點x=0處收斂，則規定它的收斂半徑R=0，此時收斂域為0；若冪級數n=0∞a定理8設式（10-3）所示冪級數的所有系數an都不為0limn→∞則（1）當ρ∈(0,+∞)時，該冪級數的收斂半徑R=1（2）當ρ=0時，該冪級數的收斂半徑R=+∞；（3）當ρ=+∞時，該冪級數的收斂半徑R=0。二、冪級數的運算性質及和函數的求法設有兩個冪級數n=0∞ann=0n=0記R=min性質6n=0∞性質7n=0∞性質8若冪級數n=0∞anxn性質9若冪級數n=0∞anxn的收斂半徑為RS所得冪級數仍在(-R,R)內收斂，但在收斂域端點處的收斂性可能會發生改變。性質10若冪級數n=0∞anxn的收斂半徑為R0x所得冪級數仍在(-R,R)內收斂，但在收斂域端點處的收斂性可能會發生改變。由等比級數得到的一些求和公式如下。根據等比級數n=1∞有：n=1∞-1<x<1；n=1∞xnn=1∞(-1) 利用這些公式可求一些有關級數的和函數。三、將初等函數展開為冪級數（1）Taylor）函數f(x)在點x=x0處有任意階導數flimn→∞其中ξ在x與x0之f(x)==f(x 上式稱為f(x)在x=x0處展開的泰勒級數，或者稱為f(x)展開注意，級數n=0收斂且其和為f(x)的充分必要條件是limn→∞（2）麥克勞林（Maclaurin）級數。若f(x)在點x=0處展開，則有 f(x)=n=0 上式稱為f(x)的麥克勞林級數，或者稱為f(x)展開為x的冪級數。根據麥克勞林級數，可以得到幾個常用的初等函數的冪級數展開式：11-x=n=011+x=n=0ln(1+x)=n=1ln(1-x)=-n=1ex=n=0n=0∞(-1)nn=0∞(-1)n利用上面這些函數的冪級數展開式，通過恒等變形、變量替換及逐項求導、逐項積分等，可以將其他函數形式展開為冪級數。1．教學以學生學習教材的基本內容為主，系統全面地講解無窮級數。2．整個教學過程中，各教學點