第10章平面彎曲10－1平面彎曲的概念彎曲變形

純彎曲：受一對轉向相反，大小相等，作用在桿件的縱向平面內的外力偶作用。MM橫力彎曲：梁在橫向力作用下的變形是純彎曲與剪切的組合。起重機大梁1目錄火車輪軸目錄以彎曲變形為主的桿件，都稱為梁AB對稱軸縱向對稱面梁變形后的軸線與外力在同一平面內梁的軸線非平面彎曲：梁不具有縱向對稱面，或具有縱向對稱面，但外力并不作用在縱向對稱面內這種彎曲稱為非平面彎曲。平面彎曲：作用于梁上的所有外力都在縱向對稱面內，彎曲變形后的軸線是一條在該縱向對稱面內的平面曲線，這種彎曲稱為平面彎曲。一.梁支座的簡化在梁的計算簡圖中用梁的軸線代表梁，關鍵是支座的簡化。II.梁的計算簡圖FyFx（1）固定端(a,d)10－2平面彎曲的內力FyFxF（2）固定鉸鏈支座(b,e)(3)可動鉸鏈支座（c,f)(a)懸臂梁二.梁的力學模型(b)簡支梁(C)外伸梁懸臂梁火車輪軸目錄aPAB(a)mmx

圖示受集中力P作用的簡支梁為例，來分析梁橫截面m-m上的內力。三、梁的內力的計算FS

用截面法因為在這段梁上有向上的外力FA所以在橫截面m－m上必有一個與FA平行而指向相反的內力FS。(b)xxmAmyCaPABmmx由平衡方程得可得FS=FAFS

稱為

剪力(b)xxmAmyCaPABmmxFS由于外力FA與剪力FS組成了一個力偶，因而在此橫截面上必頂還有一個與其平衡的力偶，設其矩為M。aPABmmx(a)FSM可得M=FAx由平衡方程(b)xxmAmyC此力偶稱為

彎矩FSMmmBPMFS取右段梁為研究對象。其上剪力的指向和彎矩的轉向則與取左段梁為研究對象所示相反。xxmAmyCdxmmFS和Ｍ的正負號的規定dxmmFSFS+剪力符號使dx微段有

左端向上而右端向下的相對錯動時，或使dx微段有順時針轉動趨勢的剪力為正。FSFS使dx微段有

左端向下而右端向上的相對錯動時，或使dx微段有逆時針轉動趨勢的剪力為負。-+_當dx微段上凹下凸的彎曲時，橫截面m-m上的彎矩為正；(上壓下拉為正）彎矩符號（受拉）MM（受壓）MM當dx微段上凸下凹的彎曲（即該段的下半部受拉壓）時，橫截面m-m上的彎矩為為負。Bd1DAabclC2

例題圖所示梁。已知P1、P2，，尺寸均為已知。試求梁在1、2橫截面處的剪力和彎矩。解得Bd1DAabclC2解：（1）求支座的約束力(2)求內力AECBd1DAabclC2（＋）（＋）FdB解得Bd1DAabclC2（－）（＋）橫截面上的

剪力

在數值上等于此橫截面的左側或右側

梁段上外力的代數和。向上的外力引起正值的剪力向下的外力引起負值的剪力向下的外力引起正值的剪力向上的外力引起負值的剪力求剪力和彎矩的簡便方法AECFdB橫截面上的彎矩

在數值上等于此橫截面的左側或右側梁段上的外力對該截面形心的力矩之代數和。求剪力和彎矩的簡便方法AECFdB不論在截面的左側或右側向上的外力均將引起正值的彎矩，而向下的外力則引起負值的彎矩。§10-3剪力圖和彎矩圖剪力方程和彎矩方程：用函數表達式表示沿梁軸線各橫截面上剪力和彎矩的變化規律，分別稱作剪力方程和彎矩方程。

彎矩圖為正值畫在x

軸上側，負值畫在x

軸下側剪力圖和彎矩圖剪力圖為正值畫在x

軸上側，負值畫在x

軸下側例：懸臂梁受均布載荷作用，試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。解：任選一截面

，寫出剪力和彎矩方程xl4目錄qxqABqx根據方程畫出剪力圖和彎矩圖l由剪力圖、彎矩圖可見。最大剪力和彎矩分別為目錄BAl例：圖示簡支梁C點受集中力作用。試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。CFab目錄解：1．求支座約束力FAy＝Fb/lFAYFBYFBy＝Fa/lBAl2．寫出剪力和彎矩方程x2x1AC段CB段CFab目錄FAYFBYBAlx2xxx1ACCB3.畫出剪力圖和彎矩圖。CFab目錄FAYFBY在集中荷載作用處的左，右兩側截面上剪力值有突變

。突變

值于集中荷載F。彎矩圖形成尖角，該處彎矩為極值

。BAlx2xx1CFabFAYFBYx突變值＝FBAl例：圖示簡支梁C點受集中力偶作用。試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。CMab目錄解：1．求支座約束力FBy＝-M/lFAYFBYFAy＝M/lBAl2．寫出剪力和彎矩方程x2x1AC段CB段CMab目錄FAYFBYBAlx2x1ACCB3.畫出剪力圖和彎矩圖。CMab目錄FAYFBYxx梁上集中力偶作用處左、右兩側橫截面上的彎矩值(圖）發生突變，其突變值等于集中力偶矩的數值。此處剪力圖沒有變化BAlx2x1CMabFAYFBYxx突變值＝MBAlqFAYFBY例：簡支梁受均布載荷作用試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。解：1．求支座約束力FAy＝FBy＝ql/2目錄BAlFAYqFBY2．寫出剪力和彎矩方程Cx3.畫出剪力圖和彎矩圖。目錄xxBAlFAYqFBYCx目錄xx梁上均布荷載段，彎矩為曲線，其極值處剪力為零例已知q=3KN/m,m=3KN.m列內力方程并畫內力圖。ACBDqm2m2m4m(6<x<8)BmxxxACDq2m2m4m解（1）求支座約束力FA=14.5KNFB=3.5KNCA:FS(x)=-qx=-3x(0<x<2)(0<x<2)AD:(2<x<6)(2<x<6)DB:(6<x<8)(6<x<8)（2）寫出剪力和彎矩方程BACDqm2m2m4m畫剪力圖8.5+--63.5x=4.83x=4.83為彎矩的極值點CA:FS(x)=-qx=-3x(0<x<2)AD:DB:ACDqmx=4.83畫彎矩圖66.04(0<x<2)AD:(2<x<6)DB:(6<x<8)+--63.547+-xyq(x)Pm彎矩、剪力與分布荷載集度間的關系及其應用

彎矩、剪力與分布荷載集度間的關系q=q(x)規定：q(x)向上為正。設梁上作用有任意分布荷載其集度FS(x)M(x)假想地用坐標為x和x+dx的兩橫截面m-m和n-n從梁中取出dx段。xyq(x)Pmxmmnndxmmnnq(x)C得到

平衡方程略去二階無窮小量即得mmnnq(x)CFS(x)M(x)得到

mmnnq(x)CFS(x)M(x)常見荷載下FS，M圖的一些特征剪力方程剪力圖彎矩方程彎矩圖

或FS=0FS=0集中力FC集中力偶MC在C處有突變F在C處有尖角或在C處無變化C在C處有突變M一段梁上的外力情況剪力圖的特征彎矩圖的特征幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征微分關系繪制剪力圖與彎矩圖的方法：

根據載荷及約束力的作用位置，確定控制面。

應用截面法確定控制面上的剪力和彎矩數值。

建立FS一x和M一x坐標系，并將控制面上的剪力和彎矩值標在相應的坐標系中。

應用平衡微分方程確定各段控制面之間的剪力圖和彎矩圖的形狀，進而畫出剪力圖與彎矩圖。目錄例題

簡支梁受力的大小和方向如圖示。試畫出其剪力圖和彎矩圖。

BA1.5m1.5m1.5m1kN.m2kN目錄BA1.5m1.5m1.5m1kN.m2kNEDCFFAFB解：1．求支座約束力FB＝1.11kN2．確定控制截面的內力

在集中力和集中力偶作用處的兩側截面以及支座反力內側截面均為控制面。即A、C、D、E、F、B截面。

目錄FA＝0.89kN(+)(-)x

3．根據微分關系作內力圖0.891.111.3351.67(-)(-)0.335x目錄FSMA+CDEFB--0.890-0.89-1.335-0.89-0.335-0.89-1.671.11-1.671.110FS圖(kN)M圖(kN.m)BA1.5m1.5m1.5m2kNEDCFFAFB1kN.m例題：試畫出梁剪力圖和彎矩圖。

目錄qBADa4aqaqBADa4aqaFAFB解：1．求支座約束力2．確定控制截面的內力

由于AB段上作用有連續分布載荷，故A、B兩個截面為控制面，約束力FB右側的截面，以及集中力qa左側的截面，也都是控制面。目錄（+）（-）（+）qBADa4aFAFBqaOxOx目錄FSMA+B-B+D-00

3．根據微分關系作內力圖AB段彎矩有極大值FS圖M圖例題簡支梁受均布荷載作用，其集度q=100KN/m,