2024-2025學(xué)年江西省宜春市高安市九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共18分，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)）1．（3分）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列說法中正確的是（）A．“任意畫出一個(gè)等邊三角形，它是軸對(duì)稱圖形”是隨機(jī)事件 B．任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，正面向上的一定是5次 C．“概率為0.0001的事件”是不可能事件 D．“任意畫出一個(gè)平行四邊形，它是中心對(duì)稱圖形”是必然事件3．（3分）已知⊙O的半徑是6cm，點(diǎn)O到同一平面內(nèi)直線l的距離為5cm，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法判斷4．（3分）已知關(guān)于x的方程（c﹣2）x2﹣2x+1＝0有實(shí)數(shù)根，則c的取值范圍是（）A．c≥﹣3且c≠2 B．c≠2 C．c≤3 D．c≤3且c≠25．（3分）如圖，反比例函數(shù)y=kx在第二象限的圖象上有一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于B，且S△AOB＝2，則A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．46．（3分）如圖所示為拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象，其對(duì)稱軸為直線x＝1，且經(jīng)過點(diǎn)（3，0）．則下列結(jié)論：（1）abc＞0；（2）b2﹣4ac＞0；（3）a﹣b+c＜0；（4）9a+3b+c＝0其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（每小題3分，共18分）7．（3分）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)與點(diǎn)A（2，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是．8．（3分）如圖．已知AB是圓O的直徑，∠BOC＝80°，則∠BDC的度數(shù)為．9．（3分）已知x1，x2分別是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個(gè)根，則1x1+10．（3分）如圖，圓內(nèi)接正六邊形的半徑為2cm，則圖中陰影部分面積為．11．（3分）如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，將腰CD以D為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ED，連接AE，則△ADE的面積是．12．（3分）已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=12x（x＞0）的圖象上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，若△OAB為等腰三角形，且腰長(zhǎng)為5，則AB的長(zhǎng)為三、（本大題共五小題，每小題6分，共30分）13．（6分）（1）解方程：x（x﹣3）＝x﹣3；（2）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1），且圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，3）．求函數(shù)解析式．14．（6分）如圖，一個(gè)寬為2厘米的刻度尺（刻度單位：厘米），放在圓形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一邊與杯口外沿相切，另一邊與杯口外沿兩個(gè)交點(diǎn)處的讀數(shù)恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半徑為多少厘米？15．（6分）有四張卡片（背面完全相同），分別寫有數(shù)字1、2、﹣1、﹣2，把它們背面朝上洗勻后，甲同學(xué)抽取一張記下這個(gè)數(shù)字后放回洗勻，乙同學(xué)再從中抽出一張，記下這個(gè)數(shù)字，用字母b、c分別表示甲、乙兩同學(xué)抽出的數(shù)字．（1）用列表法求關(guān)于x的方程x2+bx+c＝0有實(shí)數(shù)解的概率；（2）求（1）中方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)解的概率．16．（6分）已知反比例函數(shù)y=kx的圖象與直線y＝ax+b相交于點(diǎn)A（﹣2，3），B（1，（1）求直線與反比例函數(shù)解析式；（2）若在x軸上有一點(diǎn)P，使得三角形PAB的面積是18，求P點(diǎn)坐標(biāo)．17．（6分）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，且∠ABC＝120°，請(qǐng)僅用無刻度的直尺，按照下列要求作圖．（保留作圖痕跡，不寫作法）（1）在圖（1）中，AB＞BC，作一個(gè)度數(shù)為30°的圓周角；（2）在圖（2）中，AB＝BC，作一個(gè)頂點(diǎn)均在⊙O上的等邊三角形．四、（本大題共三個(gè)小題，每小題8分，共24分）18．（8分）如圖，△ADE由△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，且點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC的延長(zhǎng)線上，AD，EC相交于點(diǎn)P．（1）求∠BDE的度數(shù)；（2）F是EC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠CDF＝∠DAC．判斷DF和PF的數(shù)量關(guān)系，并證明．19．（8分）某商家銷售一種成本為20元的商品，銷售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)，每天的銷量y（件）與當(dāng)天的銷售單價(jià)x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，并且當(dāng)x＝25時(shí)，y＝550；當(dāng)x＝30時(shí)，y＝500．物價(jià)部門規(guī)定，該商品的銷售單價(jià)不能超過48元/件．（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）問銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商家銷售該商品每天獲得的利潤是8000元？（3）直接寫出商家銷售該商品每天獲得的最大利潤．20．（8分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD＝90°，AC為對(duì)角線，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且∠E＝∠BAC．（1）判斷DE所在直線與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．（2）若∠CDE＝25°，⊙O的半徑為3，求BC的長(zhǎng)．（結(jié)果保留π）五、（本大題共兩個(gè)小題，每小題9分，共18分）21．（9分）如圖，A、B為一次函數(shù)y＝﹣x+5的圖象與二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象的公共點(diǎn)，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為0、4．P為二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且位于直線AB的下方，連接PA、PB．（1）求b、c的值；（2）求△PAB的面積的最大值．22．（9分）如圖所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分線與AC，BC及AB的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，⊙O是△BEF的外接圓，∠EBF的平分線交EF于點(diǎn)G，交⊙O于點(diǎn)H，連接BD，若BC＝BF．（1）求證：△ABC≌△EBF．（2）試判斷DB與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．六、（本大題共1小題，共12分）23．（12分）如圖，拋物線y＝ax2+2ax（a＜0）位于x軸上方（包括x軸）的圖象記為F1，它與x軸交于P1、O兩點(diǎn)，圖象F2與F1關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，F(xiàn)2與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為P2，將F1與F2同時(shí)沿x軸向右平移P1P2的長(zhǎng)度即可得到F3與F4；再將F3與F4同時(shí)沿x軸向右平移P1P2的長(zhǎng)度即可得到F5與F6；…；按這樣的方式一直平移下去即可得到一系列圖象F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n．我們把這組圖象稱為“波浪拋物線”．（1）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，①求P1、P2及圖象F1的頂點(diǎn)坐標(biāo)；②點(diǎn)H（2015，﹣2）是否在“波浪拋物線”上，并說明理由；若圖象Fn的頂點(diǎn)Tn的橫坐標(biāo)為201，請(qǐng)求出圖象對(duì)應(yīng)的解析式，并寫出自變量x的取值范圍．（2）設(shè)圖象Fm、Fm+1的頂點(diǎn)分別為Tm、Tm+1（m為正整數(shù)），x軸上一點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（12，0）．試在圖中先標(biāo)出Q點(diǎn)所在的位置，再探究：當(dāng)a為何值時(shí)，以O(shè)、Tm、Tm+1、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？請(qǐng)直接寫出此時(shí)m的值．

2024-2025學(xué)年江西省宜春市高安市九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析題號(hào)123456答案BDACAB一、選擇題（每小題3分，共18分，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)）1．【解答】解：A．該圖形是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B．該圖既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；C．該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D．該圖形既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．2．【解答】解：“任意畫出一個(gè)等邊三角形，它是軸對(duì)稱圖形”是必然事件，A錯(cuò)誤；任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，正面向上的不一定是5次，B錯(cuò)誤；“概率為0.0001的事件”是隨機(jī)事件，C錯(cuò)誤；“任意畫出一個(gè)平行四邊形，它是中心對(duì)稱圖形”是必然事件，D正確，故選：D．3．【解答】解：設(shè)圓的半徑為r，點(diǎn)O到直線l的距離為d，∵d＝5，r＝6，∴d＜r，∴直線l與圓相交．故選：A．4．【解答】解：∵關(guān)于x的方程（c﹣2）x2﹣2x+1＝0有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4（c﹣2）≥0，（c≠2）解得c≤3，c≠2，當(dāng)c＝2時(shí)，則原方程為﹣2x+1＝0，x=1∴c的取值范圍為c≤3．故選：C．5．【解答】解：∵反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，∴k＜0，∵S△AOB＝2，∴|k|＝4，∴k＝﹣4，即可得雙曲線的表達(dá)式為：y=?4故選：A．6．【解答】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0．又∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x=?b∴b＝﹣2a＞0．又∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c＞0．∴abc＜0，故（1）錯(cuò)誤．∵拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故（2）正確．∵對(duì)稱軸為直線x＝1，且經(jīng)過點(diǎn)（3，0），∴拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為（﹣1，0）．∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＝0，故（3）錯(cuò)誤．∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（3，0），∴當(dāng)x＝3時(shí)，y＝9a+3b+c＝0，故（4）正確．綜上，正確的有（2）（4）共2個(gè)．故選：B．二、填空題（每小題3分，共18分）7．【解答】解：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)與點(diǎn)A（2，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣2，3）．故答案為：（﹣2，3）．8．【解答】解：∵∠BOC＝80°，∠BDC=12∠∴∠BDC＝40°，故答案為：40°．9．【解答】解：由題知，因?yàn)閤1，x2分別是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個(gè)根，所以x1+x2＝3，x1x2＝1，則1x故答案為：3．10．【解答】解：如圖，連接OA，OB，OC，∵圓內(nèi)接正六邊形的半徑為2cm，∴OA＝OB＝OC＝2cm，∠AOB＝∠BOC＝60°，∴△AOB與△BOC都是等邊三角形，∴OA＝AB＝OB＝BC＝OC，∴四邊形ABCO是菱形，∴S△ABC＝S△BOC=12S菱形∴圖中陰影部分面積＝S扇形OBC=60π×22360=故答案為：23πcm11．【解答】解：作DH⊥BC于H，EF⊥AD于F，如圖，易得四邊形ADHB為矩形，∴BH＝AD＝2，DH＝AB＝3，∴CH＝BC﹣BH＝3﹣2＝1，∵腰CD以D為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ED，∴DE＝DC，∠CDE＝90°，∵∠EDF+∠FDC＝90°，∠FDC+∠CDH＝90°，∴∠EDF＝∠CDH，在△EDF和△CDH中∠EFD=∠CHD∠EDF=∠CDH∴△EDF≌△CDH，∴EF＝CH＝1，∴△ADE的面積=12?AD?EF故答案為1．12．【解答】解：如圖1所示，當(dāng)A1O＝A1B1時(shí)，A1B1＝5；如圖2所示，當(dāng)A2B2＝OB2時(shí)，A2B2＝5；如圖3所示，當(dāng)OA＝OB時(shí)，設(shè)A（a，12a）（a因?yàn)镺A＝5，所以a2即a4﹣25a2+144＝0，令a2＝b，則b2﹣25b+144＝0，解得b＝16或9，則a2＝16或9．又因?yàn)閍＞0，所以a＝4或3，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4）或（4，3）．當(dāng)A（3，4）時(shí)，AB=(5?3當(dāng)A（4，3）時(shí)，AB=(5?4綜上所述，AB的長(zhǎng)為5或25或10故答案為：5或25或10三、（本大題共五小題，每小題6分，共30分）13．【解答】解：（1）x（x﹣3）＝x﹣3，∴x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x1＝1，x2＝3；（2）根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2﹣1，把（0，3）代入解析式得，3＝4a﹣1，解得a＝1，所以二次函數(shù)的解析式為y＝（x﹣2）2﹣1．14．【解答】解：∵杯口外沿兩個(gè)交點(diǎn)處的讀數(shù)恰好是3和9，∴AC＝9﹣3＝6，過點(diǎn)O作OB⊥AC于點(diǎn)B，則AB=12AC=1設(shè)杯口的半徑為r，則OB＝r﹣2，OA＝r，在Rt△AOB中，OA2＝OB2+AB2，即r2＝（r﹣2）2+32，解得r=134答：玻璃杯的杯口外沿半徑為13415．【解答】解：（1）列表得：（1，﹣2）（2，﹣2）（﹣1，﹣2）（﹣2，﹣2）（1，﹣1）（2，﹣1）（﹣1，﹣1）（﹣2，﹣1）（1，2）（2，2）（﹣1，2）（﹣2，2）（1，1）（2，1）（﹣1，1）（﹣2，1）∴一共有16種等可能的結(jié)果，∵關(guān)于x的方程x2+bx+c＝0有實(shí)數(shù)解，即b2﹣4c≥0，∴關(guān)于x的方程x2+bx+c＝0有實(shí)數(shù)解的有（1，﹣1），（1，﹣2），（2，1），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，﹣2），（﹣2，1），（﹣2，﹣1），（﹣2，﹣2）共10種情況，∴關(guān)于x的方程x2+bx+c＝0有實(shí)數(shù)解的概率為：1016（2）（1）中方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)解的有（﹣2，1），（2，1），∴（1）中方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)解的概率為：21616．【解答】解：（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入y=kk＝﹣2×3＝﹣6，所以反比例函數(shù)的解析式為y=?6將點(diǎn)B坐標(biāo)代入y=?6m＝﹣6，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，﹣6）．將點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式得，?2a+b=3a+b=?6解得a=?3b=?3所以一次函數(shù)的解析式為y＝﹣3x﹣3．（2）令直線AB與x軸的交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，0）．因?yàn)槿切蜳AB的面積是18，所以12解得PM＝4，則﹣1﹣4＝﹣5，﹣1+4＝3，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣5，0）或（3，0）．17．【解答】解：（1）如圖1中，∠CAD即為所求；（2）如圖2中，△ACE即為所求．四、（本大題共三個(gè)小題，每小題8分，共24分）18．【解答】解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AB＝AD，∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，∴∠ADE＝∠B＝45°，∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．（2）DF＝PF．理由如下：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，即∠FPD＝∠FDP，∴DF＝PF．19．【解答】解：（1）設(shè)y＝kx+b，根據(jù)題意可得25k+b=55030k+b=500解得：k=?10b=800則y＝﹣10x+800，0＜x≤48；（2）根據(jù)題意，得：（x﹣20）（﹣10x+800）＝8000，整理，得：x2﹣100x+2400＝0，解得：x1＝40，x2＝60，∵銷售單價(jià)最高不能超過48元/件，∴x＝40，答：銷售單價(jià)定為40元/件時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤8000元；（3）利潤w＝（x﹣20）（﹣10x+800）＝﹣10（x﹣80）（x﹣20），∵﹣10＜0，故w有最大值，當(dāng)x＝48時(shí)，w最大值為8960．20．【解答】解：（1）DE所在直線與⊙O相切．如圖，連接BD，∵∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣90°＝90°，∴∠CDE+∠E＝90°，∵∠E＝∠BAC，∠BDC＝∠BAC，∴∠E＝∠BDC，∴∠CDE+∠BDC＝90°，即∠BDE＝90°，∵∠BAD＝90°，∴BD為⊙O的直徑，∴DE所在直線與⊙O相切；（2）如圖，連接OC，∵∠CDE+∠BDC＝90°，∴∠BDC＝90°﹣∠CDE＝90°﹣25°＝65°，∴∠BOC＝2∠BDC＝2×65°＝130°，∴BC的長(zhǎng)為130π×3180五、（本大題共兩個(gè)小題，每小題9分，共18分）21．【解答】解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x+5＝5；當(dāng)x＝4時(shí)，y＝﹣x+5＝1，則A（0，5），B（4，1），則c=516+4b+c=1解得：c=5b=?5（2）由（1）可得：y＝x2﹣5x+5，設(shè)P（m，m2﹣5m+5），作PE∥OA，交AB于E，則E（m，﹣m+5），則PE＝4m﹣m2，∴S△ABP當(dāng)m＝2時(shí)，最大值為8．22．【解答】（1）證明：∵∠ABC＝90°，∴∠EBF＝90°，∵DF⊥AC，∴∠ADF＝90°，∴∠C+∠A＝