青龍縣2024—2025學年第一學期期末教學質量監測九年級數學試題本試卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ兩部分，卷Ⅰ為選擇題，卷Ⅱ為非選擇題．本試卷總分120分，考試時間120分鐘．本試卷答案一律寫在答卷紙上，考試結束后，只收答卷紙．卷Ⅰ一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請在答題卡上正確填涂）1.樣本數據2、、3、4的平均數是3，則的值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據平均數的公式計算出的值即可．本題考查了算術平均數，正確理解算術平均數的意義是解題的關鍵．【詳解】解：2、、3、4的平均數是3，，，故選：C．2.若（），則（）A.3 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了比例的性質，根據內項之積等于外項之積直接變形求解．【詳解】解：∵，∴，故選：D．3.已知反比例函數，下列結論正確的是（）A.圖象必經過點 B.圖象在第一、三象限內C.隨的增大而增大 D.若，則【答案】A【解析】【分析】此題主要考查了反比例函數的性質，關鍵是掌握反比例函數，當，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內y隨x的增大而減小，注意“在每一個象限”這幾個字．根據反比例函數的性質：反比例函數的圖象是雙曲線；當，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內y隨x的增大而減小；當，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內y隨x的增大而增大．凡是反比例函數圖象上的點，橫縱坐標之積進行分析即可．【詳解】解：A、因為，所以該反比例函數圖象必經過點，選項正確，故本選項符合題意；

B、反比例函數中的，則該函數圖象位于第二、四象限，選項錯誤，故本選項不符合題意；

C、反比例函數的圖象在每一個象限內，y隨x的增大而增大，故選項錯誤，不符合題意；

D、當時，y的取值范圍是，故選項錯誤，故本選項不符合題意；

故選：A．4.已知的半徑是一元二次方程的一個根，圓心到直線的距離，則直線與的位置關系是（）A.相切 B.相交 C.相離 D.平行【答案】B【解析】【分析】本題主要考查解一元二次方程以及直線和圓的關系，熟練掌握直線和圓的關系是解題的關鍵．先解一元二次方程，得到圓的半徑，比較半徑與圓心到直線的距離的大小，即可得到答案．【詳解】解：，，解得，的半徑是，，直線與的位置關系是相交．故選B．5.若關于x的一元二次方程的一個根是，則代數式的值為（）A. B.0 C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】本題考查一元二次方程的解，根據“能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解”，將代入可得答案．【詳解】解：將代入，得：，．故選C．6.二次函數的頂點坐標是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了二次函數的性質，把二次函數一般式化為頂點式，即可得到頂點坐標．【詳解】解：∵，把二次函數化為頂點式為：；∴頂點坐標為：；故選：A．7.如圖，，是的切線，，為切點，點為上一點，若，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了切線的性質，圓周角定理，多邊形內角和定理，掌握切線的性質，圓周角定理是解題的關鍵．如圖所示，連接，根據切線的性質可得，根據圓周角定理可得，根據多邊形的內角和定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵是的切線，為切點，∴，即，∵點為上一點，，∴，在四邊形中，，故選：D．8.如圖，邊長為1的小正方形網格中，的圓心在格點上，則的正切值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理，求一個角的正切值，圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．連接，根據為直徑，得出，根據勾股定理求出，根據等積法求出，根據勾股定理求出，根據同弧所對的圓周角相等得出，最后根據三角函數定義求出結果即可．【詳解】解：連接，如圖所示：∵為直徑，∴，∴，根據勾股定理得：，∴，∴根據勾股定理得：，∵，∴，∴．故選：B．9.如圖，在中，點，分別在，上，DE∥BC，若，，則的長為（）A.14 B. C.8 D.6【答案】C【解析】【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據得到，代入即可求解．【詳解】解：∵，∴，即，∴．故選：C10.某經濟技術開發區今年一月份工業產值達50億元，且一月份、二月份、三月份的總產值為175億元，若設平均每月的增長率為，根據題意可列方程（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．增長率問題，一般用增長后的量增長前的量（增長率），本題可先用x表示出二月份的產值，再根據題意表示出三月份的產值，然后將三個月的產值相加，即可列出方程．【詳解】解：二月份的產值為：，三月份的產值為：，故第一季度總產值為：．故選：D．11.如圖，正六角形螺帽的邊長為，則扳手的開口的長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了正多邊形以及解直角三角形，牢記正多邊形的內角度數是解題的關鍵．根據正六邊形的內角度數可得出，再通過含的直角三角形性質即可得出的值，進而可求出的值，此題得解．【詳解】解：如圖，過點A作平行于線段b的直線，分別交上下兩條射線于C、D兩點，由題意可得，，由圖形的對稱性可知：，正六邊形的內角和為，正六邊形的任一內角為，∴，，又邊長為，∴，，．故選：A．12.函數和函數（a是常數，且）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了一次函數和二次函數的圖象和性質，應該熟記一次函數在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數的有關性質：開口方向、對稱軸、頂點坐標等．可先根據一次函數的圖象判斷的符號，再判斷二次函數圖象與實際是否相符，判斷正誤．【詳解】解：、由一次函數的圖象可得：，此時二次函數的圖象應該開口向上，對稱軸在y軸右側，故選項錯誤；、由一次函數的圖象可得：，此時二次函數的圖象應該開口向下，故選項錯誤；、由一次函數的圖象可得：，此時二次函數的圖象應該開口向上，對稱軸在y軸右側，故選項正確；、由一次函數的圖象可得：，此時二次函數的象應該開口向上，故選項錯誤．故選：．卷Ⅱ（非選擇題，共84分）二、填空題（本大題共4個小題，每題3分，共12分）13.方程的兩根分別是，，則_____．【答案】4【解析】【分析】此題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，正確把握根與系數關系是解題關鍵；方程的兩根分別為和，則根與系數的關系，，據此直接計算即可．【詳解】解：∵方程的兩根分別是，，∴，故答案為：4．14.計算：_____．【答案】【解析】【分析】本題考查的知識點是三角函數的特殊值、實數的混合運算，解題關鍵是熟練掌握三角函數的特殊值．先將三角函數的特殊值代入，再根據實數的混合運算法則進行運算即可．【詳解】解：．故答案為：．15.把拋物線向右平移2個單位，再向上平移3個單位，得到的拋物線是_____．【答案】（或）【解析】【分析】本題考查了二次函數的圖象與幾何變換，根據“上加下減，左加右減”的規律進行解答即可，熟知函數圖象平移的規律是解題的關鍵．【詳解】解：由拋物線向右平移個單位，再向上平移個單位，根據“上加下減，左加右減”規律可得拋物線平移后是，故答案為：或．16.如圖，在鈍角三角形中，，，動點D從A點出發到B點止，動點E從C點出發到A點止．點D運動的速度為1cm/秒，點E運動的速度為2cm/秒．如果兩點同時運動，那么當以點A、D、E為頂點的三角形與相似時，運動的時間是___________．【答案】3秒或秒【解析】【分析】本題考查相似三角形性質．根據題意分情況討論列式求解即可求出本題答案．【詳解】解：如果兩點同時運動，設運動t秒時，以點A、D、E為頂點三角形與相似，則，①當D與B對應時，有．∴，∴，∴；②當D與C對應時，有．∴，∴，∴．故答案為：3秒或秒．三、解答題（本大題共8個小題，共72分，解答應寫出演算步驟、證明過程或文字說明）17.用適當的方法解方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，靈活選擇合適的方法是解答本題的關鍵．（1）用因式分解法求解即可；（2）移項后用因式分解法求解即可．【小問1詳解】解：即：或∴，；【小問2詳解】解：即：或∴，．18.如圖是一個半圓形橋洞截面示意圖，圓心為O，直徑AB是河底線，弦CD是水位線，CD∥AB，且CD=24m，OE⊥CD于點E．已測得sin∠DOE=．（1）求半徑OD；（2）根據需要，水面要以每小時0.5m的速度下降，則經過多長時間才能將水排干？【答案】10（小時）．【解析】【分析】根據三角函數可得到OD的值；再根據勾股定理求得OE的值，此時再求所需的時間就變得容易了．【詳解】（1）∵OE⊥CD于點E，CD=24，∴ED=CD=12，在Rt△DOE中，∵sin∠DOE=，∴OD=13（m）；（2）OE==5，∴將水排干需：5÷0.5=10（小時）．考點：1、垂徑定理的應用；2、勾股定理19.某海域有一小島P，在以P為圓心，半徑r為25海里的圓形海域內有暗礁．一海監船自西向東航行，它在A處測得小島P位于北偏東的方向上，當海監船行駛海里后到達B處，此時觀測小島P位于B處北偏東方向上．（1）求之間的距離；（2）若海監船由B處繼續向東航行是否有觸礁危險？請說明理由．【答案】（1）海里；（2）有觸礁危險，理由見解析．【解析】【分析】本題考查的是解直角三角形的應用——方向角問題，掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．（1）過點P作交的延長線于C，設海里，根據等腰直角三角形的性質用x表示出，根據正切的定義用x表示出，根據題意列出方程，解方程求出x，進而求出；（2）比較與半徑的大小，得到答案．【小問1詳解】解：過點P作交AB的延長線于C，設海里，在中，，則海里，在中，，則海里，(海里)，由題意得：，即，解得：，則海里，答：A、P之間的距離為海里；【小問2詳解】解：海監船由B處繼續向東航行有觸礁危險，理由如下：，∴，∴海監船由B處繼續向東航行有觸礁危險．20.“每天鍛煉一小時，健康工作五十年，幸福生活一輩子”．為增強學生身體素質，教育行政部門規定學生每天參加戶外活動的平均時間不少于1小時．為了了解學生參加戶外活動的情況，某校對部分學生參加戶外活動的時間進行抽樣調查，并將調查結果繪制作成如下兩幅不完整的統計圖，請你根據圖中提供的信息解答下列問題：（1）在這次調查中共調查了多少名學生？（2）求戶外活動時間為小時的人數，并補充頻數分布直方圖；（3）求表示戶外活動時間1小時的扇形圓心角的度數；（4）本次調查中學生參加戶外活動的平均時間是否符合要求？(說明理由)【答案】（1）50（2）12（3）（4）符合要求，理由詳見解析【解析】【分析】此題考查了條形統計圖與扇形統計圖，（1）根據戶外活動時間為小時的人數和所占的百分比即可求出這次調查中共調查的學生數；（2）用50乘以戶外活動時間為小時的人數所占的百分比即可求出人數，再補全統計圖即可；（3）用乘以戶外活動時間1小時的人數所占的百分比即可；（4）根據加權平均數的計算公式列式求出本次調查中學生參加戶外活動的平均時間是，再與1小時比較即可．【小問1詳解】解：根據題意得：（名），答：在這次調查中共調查了50名學生；【小問2詳解】解：戶外活動時間為小時的人數是：（人），補充頻數分布直方圖如圖所示；【小問3詳解】解：戶外活動時間1小時的扇形圓心角的度數為；【小問4詳解】解：本次調查中學生參加戶外活動的平均時間是：，∴本次調查中學生參加戶外活動的平均時間符合要求．21.如圖，一次函數的圖像與反比例函數（為常數且）的圖像交于，兩點．（1）求反比例函數的解析式；（2）連接，，求的面積．【答案】（1）反比例函數解析式為；（2）的面積為．【解析】【分析】（1）將代入一次函數解析式求出該點具體坐標，再將其代入反比例函數解析式即可得解；（2）聯立一次函數解析式和反比例函數解析式求出點坐標，再借助一次函數解析式求出一次函數與軸交點點的坐標，則根據求解即可．【小問1詳解】解：把代入得，所以點坐標為，把代入（為常數且）得，反比例函數解析式．【小問2詳解】解：聯立得，解得或，，如圖，一次函數的圖像與軸交于點，在中，令，則，，，．【點睛】本題考查的知識點是求一次函數與反比例函數的交點問題、反比例函數解析式、反比例函數與幾何綜合—求三角形面積，解題關鍵是熟練掌握一次函數與反比例函數的交點問題．22.如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸為直線x＝－1，且經過A(1,0)，C(0，3)兩點，與x軸的另一個交點為B.(1)若直線y＝mx＋n經過B，C兩點，求直線BC和拋物線解析式；(2)在拋物線的對稱軸x＝－1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求點M的坐標．【答案】（1）y＝－x2－2x＋3，y＝x＋3；（2）M(－1，2)．【解析】【詳解】試題分析：（1）根據題意得出關于a、b、c的方程組，求得a、b、c的值，即可得出拋物線的解析式，根據拋物線的對稱性得出點B的坐標，再設出直線BC的解析式，把點B、C的坐標代入即可得出直線BC的解析式；（2）點A關于對稱軸的對稱點為點B，連接BC，設直線BC與對稱軸x=-1的交點為M，則此時MA+MC的值最小，再求得點M的坐標．試題解析：（1）依題意得：，解之得：，∴拋物線解析式為y=-x2-2x+3，∵對稱軸為x=-1，且拋物線經過A（1，0），∴B（-3，0），∴把B（-3，0）、C（0，3）分別代入直線y=mx+n，得，解得：，∴直線y=mx+n的解析式為y=x+3；（2）設直線BC與對稱軸x=-1的交點為M，則此時MA+MC的值最小．把x=-1代入直線y=x+3得，y=2∴M（-1，2）．即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標為（-1，2）．考點：1.拋物線與x軸的交點；2.軸對稱-最短路線問題．23.某公司生產一種建筑材料，生產費用y（萬元）由材料費用、人工費用和制造費用三部分組成，已知該公司每年的材料費用（萬元）與生產噸數x（噸）成正比，制造費用（萬元）與生產噸數（噸）的平方成正比，人工費用為固定費用1000萬元，試行中得到了下表中的數據．生產噸數（噸）5070生產費用（萬元）15001840（1）求y與x的函數解析式；（2）已知賣出x噸該建筑材料的單價為P萬元/噸，其中（a為常數）．設出售x噸時的利潤為w萬元．①求w與x的函數解析式；②如果生產出來的產品全部賣掉，并且當生產噸數是150噸時，所獲利潤最大，求此時P的值．【答案】（1）（2）40【解析】【分析】本題考查函數的應用，根據題意找到各個量之間的關系，建立正確的函數解析式并把問題轉化成對應的數學模型再準確計算是正確解決本題的關鍵．（1）根據題意可設材料費用為，制造費用為，則，把，代入解析式中，建立方程組