高考一輪復習（人教A版）第五十講正態分布閱卷人一、選擇題得分1．某市共20000人參加一次物理測試，滿分100分，學生的抽測成績X服從正態分布N70,102，則抽測成績在[80,90]內的學生人數大約為（）（若ξ～NA．6828 B．5436 C．4773 D．27182．若隨機變量X～N6,1，且P5<X≤7=a，PA．b?a2 B．b+a2 C．1?b23．某網反隨機選取了某自媒體平臺10位自媒體人，得到其粉絲數據（單位：萬人）：1.7,2.3,1.9,2.1,2.2,2.1,1.9,1.7,2.2,1.9．若該平臺自媒體人的粉絲數X～Nμ,σ2（其中μ（1）這10位自媒體人粉絲數據的平均數為2.0；（2）這10位自媒體人粉絲數據的標準差為0.04；（3）這10位自媒體人粉絲數據的第25百分位數為1.8；（4）用樣本估計總體，該平臺自媒體人的粉絲數不超過2.2萬的概率約為0.84135．（附：若隨機變量X服從正態分布Nμ,σ2，則PA．1 B．2 C．3 D．44．某種品牌攝像頭的使用壽命(單位：年)服從正態分布，且使用壽命不少于2年的概率為0.8，使用壽命不少于6年的概率為0.2.某校在大門口同時安裝了兩個該種品牌的攝像頭，則在4年內這兩個攝像頭都能正常工作的概率為（）A．0.2 B．0.25 C．0.4 D．0.85．某次數學聯考成績的數據分析，20000名考生成績服從正態分布N72,A．3173 B．6346 C．6827 D．136546．正態分布在概率和統計中占有重要地位，它廣泛存在于自然現象、生產和生活實踐之中.在現實生活中，很多隨機變量都服從或近似服從正態分布.假設隨機變量X~Nμ,σ2通過對某次數學考試成績進行統計分析，發現考生的成績ξ基本服從正態分布ξ~N105,102A．341 B．477 C．498 D．6837．已知隨機變量X服從正態分布N2,σ2，且P(X<3)A．35 B．23 C．310閱卷人二、多項選擇題得分8．已知隨機變量X~N1,σ2A．P(X<3)=a B．a?b=C．E(2X?1)=2E(X) D．D(2X?1)=4D(X)9．已知變量X服從正態分布X～N(0,σ2)A．P(?12<X<12C．正態分布曲線的最高點下移 D．正態分布曲線的最高點上移10．下列論述正確的有（）A．若A,B兩組成對數據的樣本相關系數分別為rA=0.97,rB=?0.99B．數據49,21,32,29,38,65,30,50的第60百分位數為38C．若隨機變量X～N7,σ2，且D．若樣本數據x1,x11．已知隨機變是X服從正態分布N(0,1)，定義函數f(x)為X取值不超過x的概率，即f(x)=P(X≤x)，若x≥0，則下列說法正確的有（）A．f(0)=12 C．f(x)在(0,+∞)上是增函數 閱卷人三、填空題得分12．已知隨機變量X服從正態分布N3,σ2，若P(X>8)=0.2，則13．已知隨機變量X～Nμ,σ2,Y～B(6,p)，且P(X≥3)=14．某區學生參加模擬大聯考，假如聯考的數學成績服從正態分布，其總體密度函數為：fx=1σ2π15．若隨機變量ξ的數學期望和方差分別為Eξ，Dξ，則對于任意ε>0，不等式Pξ?Eξ≥ε≤Dξε2成立.在2023年湖南省高三九校聯考中，數學科考試滿分150閱卷人四、解答題得分16．某校擬對全校學生進行體能檢測，并規定：學生體能檢測成績不低于60分為合格，否則為不合格；若全年級不合格人數不超過總人數的5%（1）為準備體能檢測，甲、乙兩位同學計劃每天開展一輪羽毛球比賽以提高體能，并約定每輪比賽均采用七局四勝制（一方獲勝四局則本輪比賽結束）．假設甲同學每局比賽獲勝的概率均為23（2）經過一段時間的體能訓練后，該校進行了體能檢測，并從高二年級1000名學生中隨機抽取了40名學生的成績作分析．將這40名學生體能檢測的平均成績記為μ，標準差記為σ，高二年級學生體能檢測成績近似服從正態分布N(μ,σ2)．已知μ=74附：若隨機變量ξ~N(μ,σ2)，則P(μ?σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954517．某市為了傳承發展中華優秀傳統文化，組織該市中學生進行了一次文化知識有獎競賽，競賽獎勵規則如下：得分在[70，80）內的學生獲三等獎，得分在[80，90）內的學生獲二等獎，得分在[90，100]內的學生獲一等獎，其他學生不得獎.為了解學生對相關知識的掌握情況，隨機抽取100名學生的競賽成績，并以此為樣本繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示.若該市所有參賽學生的成績X近似服從正態分布N(μ,σ2)（1）若該市共有10000名學生參加了競賽，試估計參賽學生中成績超過79分的學生數（結果四舍五入到整數）；（2）若從所有參賽學生中（參賽學生數大于10000）隨機抽取3名學生進行訪談，設其中競賽成績在64分以上的學生數為ξ，求隨機變量ξ的分布列和均值.附：若隨機變量X服從正態分布N(μ,σ2)，則P(μ?σ<X≤μ+σ)≈0.6826，P(μ?2σ<X≤μ+2σ)≈0.954418．在七一“建黨節”來臨之際，某省教育系統開展以“爭知識標兵，做奮斗先鋒”為主題的法規知識競賽活動.為了了解本次競賽成績情況，從參與者中隨機抽取容量為100的樣本數據（滿分為100分），均在區間[50,100]內，將樣本數據按參考數據：若X～N(μ,σ（1）求a的值，并估計抽取的100位參與者得分的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；（2）若本次活動共有5000人參加，用樣本平均值估計總體平均值μ.假設所有參與者得分X～N(μ,100)，試估計得分在19．面試是求職者進入職場的一個重要關口，也是機構招聘員工的重要環節.某科技企業招聘員工，首先要進行筆試，筆試達標者進入面試，面試環節要求應聘者回答3個問題，第一題考查對公司的了解，答對得2分，答錯不得分，第二題和第三題均考查專業知識，每道題答對得4分，答錯不得分．附：若X～N(μ,σ2)(σ>0)，則P(μ?σ<X<μ+σ)≈0.683，P(μ?2σ<X<μ+2σ)≈0.954（1）若一共有100人應聘，他們的筆試得分X服從正態分布N(60,144)，規定X?72為達標，求進入面試環節的人數大約為多少(結果四舍五入保留整數（2）某進入面試的應聘者第一題答對的概率為23，后兩題答對的概率均為45，每道題是否答對互不影響，求該應聘者的面試成績

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：學生的抽測成績X服從正態分布N70,P=1由于總人數為20000，則抽測成績在[80,90]內的學生人數大約為20000×0.1359=2718.故答案為：D.【分析】由題意，利用正態分布的對稱性求抽測成績在[80,90]內大約的學生人數即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：因為隨機變量X～N6,1，且P5<X≤7=a由正態密度曲線的對稱性可知，P4<X≤5所以P4<X≤7故答案為：B.【分析】利用正態密度曲線的圖象的對稱性結合已知條件，從而得出P4<X≤73．【答案】B【解析】【解答】解：對于（1），1.7+2.3+1.9+2.1+2.2+2.1+1.9+1.7+2.2+1.910對于（2），因為方差為1.7?2.02故標準差為0.04=0.2對于（3），因為從小到大排序為1.7,1.7,1.9,1.9,1.9,2.1,2.1,2.2,2.2,2.3，10×0.25=2.5，故從小到大，選擇第3個數作為第25百分位數，即1.9，所以（3）錯誤；對于（4），因為μ+σ=2.0+0.2=2.2，又Pμ?σ≤X≤μ+σ故用樣本估計總體，該平臺自媒體人的粉絲數不超過2.2萬的概率約為0.5+0.68272=0.84135故選：B.【分析】利用平均數的公式計算即可判斷（1）；先計算出方差，再開方得到標準差，從而判斷出（2）；對數據從小到大排列，再利用百分位數的定義進行求解，從而判斷出（3）；計算出μ+σ的值，再利用正態分布的對稱性得到相應的概率，從而判斷出（4），進而找出說法正確的個數.4．【答案】B【解析】【解答】因為某種品牌攝像頭的使用壽命(單位：年)服從正態分布，Pξ≥2=0.8，Pξ≥6所以正態分布曲線的對稱軸為ξ=4，即Pξ≤4即一個攝像頭在4年內能正常工作的概率為12所以兩個該品牌的攝像頭在4年內都能正常工作的概率為12故答案為：B.【分析】根據正態分布的對稱性得到對稱軸為ξ=4，得到攝像頭在4年內能正常工作的概率為125．【答案】A【解析】【解答】解：20000名考生成績服從正態分布N72,82，則80=μ+σ，

因為P則80分以上的人數大約是20000×PX>80故答案為：A.【分析】利用正態分布的概率的對稱性以及3σ原則計算即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：由題意，可知考生的成績ξ基本服從正態分布ξ~N105,則考試成績在(105,125)的考生人數，即為考試成績在(μ,μ+2σ)的人數，因為共有1000名考生參加這次考試，所以考試成績在(105,125)的考生人數大約為1000×0.9545故答案為：B.【分析】利用正態分布的性質計算求解即可.7．【答案】C【解析】【解答】解：因為隨機變量X服從正態分布N2,σ2，且P(X<3)P(X<1)=4又因為正態分布的對稱軸為2，所以PX≥3所以4P則P2<X<3故答案為：C.【分析】根據正態分布對稱性求解即可.8．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、由題意可知：μ=1，且?1+32=μ，則B、P(1<X<3)=P(?1<X<1)=P(X>?1)?12，即b=a?1CD、根據期望和方差的性質可知：E(2X?1)=2E(X)?1，D(2X?1)=4D(X)，故C錯誤，D正確.故答案為：ABD.【分析】根據正態分布的性質即可判斷AB；根據期望和方差的性質即可判斷CD.9．【答案】A,C【解析】【解答】解；變量X服從正態分布X～N(0,σ2)，當σ變大時，峰值逐漸變小，正態曲線逐漸變“矮胖”，隨機變量X故答案為：AC.【分析】根據已知條件，利用正態曲線的性質逐項判斷即可.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】A，若A,B兩組成對數據的樣本相關系數分別為rA=0.97,rB=?0.99，因為rB，數據排序21,29,30,32,38,49,50,65，共8個數據，則8×0.6=4.8，所以數據的第60百分位數為38，B正確；C，若隨機變量X～N7,σ2，且P(X>9)=0.12，根據正態分布的對稱性，P(X<5)=0.12D，樣本數據x1,x2,?,故答案為：B、C、D.【分析】結合相關性的含義，可判定A.根據百分位數的概念及求法，可判定B；根據正態分布曲線的對稱性，可判定C；根據數據的方差性質的計算公式，可判定D.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A選項，由X~N(0,1)，得f(0)=P(X≤0)=1B選項，由f(2x)=P(X≤2x)，2f(x)=2P(X≤x)，而當x>0時，f(x)=P(X≤x)>12，則2f(x)>1，又f(2x)=P(X≤2x)<1，所以C選項：x>0，當x增大時，f(x)=P(X≤x)也增大，所以f(x)在(0,+∞D選項：P(X故選：ACD.【分析】由正態分布的性質可得f(0)=P(X≤0)=12，可判斷A；當x>0時，2f(x)>1，f(2x)<1，判斷B；易得f(x)在(0,+∞12．【答案】0.3【解析】【解答】解：PX>8故答案為：0.3.【分析】根據正態分布的對稱性求解即可.13．【答案】1【解析】【解答】解：因為隨機變量X～Nμ,σ2，且P(X≥3)=12又因為Y～B(6,p)，所以E(Y)=6p，又因為E(X)=E(Y)，所以3=6p，解得p=1故答案為：12【分析】根據正態分布的對稱性求得μ=3，則E(X)=3，再由二項分布可知E(Y)=6p，最后根據E(X)=E(Y)列式求解即可.14．【答案】1200【解析】【解答】因為總體密度函數為：fx=1由P70≤X≤100=0.7得所以超過100分人數大約為：8000×0.15=1200人，故答案為：1200.【分析】本題考查正態分布的對稱性.根據總體密度函數可推出μ=85，利用正態分布的對稱性可求出P(X>100)，進而可求出數學成績超過100分的人數.15．【答案】10【解析】【解答】解：取ε=20，P(|ξ?80|≥20)≤16202，所以又因為E(ξ)=80，所以P(不超過500×0.故答案為：10.【分析】可令ε=20，由題意得出P(|ξ?80|≥20)≤16202=0.0416．【答案】（1）解：設“甲在一輪比賽中至少打了五局并獲勝”為事件A，“甲以4:1或4:2或4:3獲勝”分別記為事件A1，A2，A3，

“甲前3局比賽均獲勝”為事件B．

則P(A1)=C41×13×(23)4=6435（2）解：設該校高二年級學生體能檢測的成績為X，則X~N74,P(60<X≤88)=Pμ-2σ<X≤μ+2σ所以P(X<60)=P(X>88)=1所以高二年級學生體能檢測不合格的人數約為1000×0.02275≈23人，而231000【解析】【分析】（1）利用條件概率計算公式即可求得甲在一輪比賽中至少打了五局并獲勝的條件下，前3局比賽均獲勝的概率；（2）利用正態分布的性質即可求得全年級不合格人數總人數的百分比，與5%（1）設“甲在一輪比賽中至少打了五局并獲勝”為事件A，“甲以4:1或4:2或4:3獲勝”分別記為事件A1，A2，“甲前3局比賽均獲勝”為事件B．則P(AP(AP(AP(A)=P(AP(AB)=(P(B|A)=P(AB)所以甲在一輪比賽中至少打了五局并獲勝的條件下，前3局比賽均獲勝的概率1386（2）設該校高二年級學生體能檢測的成績為X，則X~N74,P(60<X≤88)=Pμ-2σ<X≤μ+2σ所以P(X<60)=P(X>88)=1所以高二年級學生體能檢測不合格的人數約為1000×0.02275≈23人，而23100017．【答案】（1）解：由頻率分布直方圖知，各小矩形面積從左到右依次為0.06,0.12,0.18,0.34,0.16,0.08,0.06，樣本平均數的估計值μ=0.06×35+0.12×45+0.18×55+0.34×65+0.16×75+0.08×85+0.06×95=64，則所有參賽學生的成績X近似服從正態分布N(64,152)因此P(X>79)=P(X>μ+σ)=所以參賽學生中成績超過79分的學生數約為0.1587×10000=1587.（2）解：由（1）知，μ=64，P(X>64)=1即從所有參賽學生中隨機抽取1名學生，該學生競賽成績在64分以上的概率為12因此隨機變量ξ服從二項分布ξ～B(3,12)則P(ξ=0)=C30(12)所以隨機變量ξ的分布列為：ξ0123P1331數學期望E(ξ)=0×1【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖求出μ，再由正態分布的對稱性求出P(X>79)，進而求出學生數.（2）由（1）求出P(X>64)，再利用二項分布求出分布列及期望.（1）由頻率分布直方圖知，各小矩形面積從左到右依次為0.06,0.12,0.18,0.34,0.16,0.08,0.06，樣本平均數的估計值μ=0.06×35+0.12×45+0.18×55+0.34×65+0.16×75+0.08×85+0.06×95=64，則所有參賽學生的成績X近似服從正態分布N(64,152)因此P(X>79)=P(X>μ+σ)=所以參賽學生中成績超過79分的學生數約為0.1587×10000=1587.（2）由（1）知，μ=64，P(X>64)=1即從所有參賽學生中隨機抽取1名學生，該學生競賽成績在64分以上的概率為12因此隨機變量ξ服從二項分布ξ～B(3,12)則P(ξ=0)