四、根的分布【例1】已知方程，在下列條件下，分別求的范圍．（1）有兩個不同的正根；（2）有兩個不同的負根；（3）一個根在內，另一個根在內；（4）兩個不同的根都大于；（5）兩個不同的根都小于1；（6）一個根大于1，一個根小于1；（7）兩個不同的根都在內；（8）有兩個不同的根，有且僅有一個根在內；（9）一個根小于2，一個根大于4；（10）一個根在內，另一個根在內；（11）一個正根，一個負根，且正根絕對值較大；（12）在內無實根．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12【解析】解法1：利用二次函數圖解對根進行分類討論，因為太繁，這里從略．解法2：參數分離法．，其中，由各小題的根的范圍，結合圖象，可以快速得到答案．變式訓練已知方程，在下列條件下，求的范圍．（1）有兩個不同的正根；（2）有兩個不同的負根；（3）一個根在內，另一個根在內；（4）兩個不同的根都大于；（5）兩個不同的根都小于1；（6）一個根大于1，一個根小于1；（7）兩個不同的根都在內；（8）有兩個不同的根，有且僅有一個根在內；（9）一個根小于2，一個根大于4；（10）一個根在內，另一個根在內；（11）一個正根，一個負根，且正根絕對值較大；（12）在內無實根．【例2】已知方程在上：（1）有解，求的范圍；（2）有一解，求的范圍；（3）有兩不同解，求的范圍；（4）無解，求的范圍．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】參數分離，得，結合圖象求的范圍．【例3】已知方程在上：（1）有解，求的范圍；（2）有一解，求的范圍；（3）有兩不同解，求的范圍；（4）無解，求的范圍．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】參數分離，得，結合圖象求的范．變式訓練1.已知方程在上：（1）有解，求的范圍；（2）有一解，求的范圍（3）有兩不同解，求的范圍；（4）無解，求的范圍．2.已知方程在上：（1）有解，求的范圍；（2）有一解，求的范圍；（3）有兩不同解，求的范圍;（4）無解，求的范圍.【例4】設為整數，方程在區間內有兩個不同的根，則的最小值為（）A.B.8C.12D.13【答案】D【解析】分離參數得，則有，從開始驗證符合題意，故選D.或化為，驗證得，故選D.【例5】已知二次函數，設方程的兩個實根為為和.(1)如果設函數的對稱軸為直線求證(2)如果求的取值范圍.【解析】(1)設且.由得且即故得,則有故.(2)由可知所以同號.①若則所以又得負根舍去),代入上式得解得；②若則,所以即同理可求得.故當時當時.【規律探究】若的解集為，求下列不等式的解集：(1)【答案】(2)(3)【解析】圖象分析即可秒殺.【例6】已知函數設方程的根為當時,求證.【解析】解法,所以解法2:由得即得為已知條件,得證.變式訓練已知實系數一元二次方程的兩個實根為并且則的取值范圍是（）A.B.C.D.【例7】已知二次函數方程有兩個小于1的不等正根,則的最小值為（）A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】解法1：由條件應有，由，得，所以，可得若當時矛盾；所以的最小值為5，故選D.解法2:極端原理,數形結合由得由得從而,此時,方程兩根是等根,所以故選D.解法3:由于方程有兩個小于1的不等正根,故設,又所以即.故所以故選【例8】已知為正整數,方程的兩實根為且，則的最小值為.【答案】11【解析】解法1:依題意,可知從而可知，所以有，即又為正整數,取則所以.從而所以又所以因此有最小值為11.下面可證時從而所以.又所以所以綜上可得,的最小估為11.解法2:用極端原理設由得所以故.若，則與兩根位置矛盾.故的最小值為$11.$【例9】已知函數且的最大值是$3,$求實數的范圍.【解析】根據題意,得,令則結合數軸即得變式訓練1.已知求實數的值.2.已知,求實數的值.【例10】若有實數根,求證.【解析】設的一個實效根為則令則所以.若則矛盾.所以.變式訓練若有實數根,則不可能是（）A.B.C.D.五、系數之放縮【例1】若求證:(1)且(2)方程在(0,1)內有兩個實根.【解析】（1）因為所以消去，得消去得故.(2)執物線的頂點坐標為,在的兩邊同乘以得.又因為而,所以方程在區間與內分別有一實根.故方程在(0,1)內有兩個實根.變式訓練已知二次函數和一次函數且（1）求證:兩函數有兩個不同的交點；（2）求線段在軸上的投影的長度的取值范圍.【例2】已知，且在上單調遞增，，求的最小值.【解析】由題意知恒成立,所以即,，故所求最小值為18.【例3】設函數，其圖象在點，處的切線的斜率分別為.(1)求證;(2)若函數的遞增區間為求的取值范圍；(2)當時是與無關的常數），恒有求的最小值.【解析】（1）,由題意及導數的幾何意義得①，②，又可得,即,故,由①得，代入，再由，得③，將代入②得即方程有實根.故由其判別式得或④，由③④得(2)由的判別式,知方程有兩個不等實根,設為又由知為方程的一個實根,則早根與系教的關系得當或時當時,故函數的遞增區間為由題設知.因此由(1)知得的取值范圍為[2,4).(3)由得即,因為則整理得，設可以看作是關于的一次函教，早題意知對于恒成立，故即得或,由題意知,故因此的最小做為.【例4】設，，，，若都為正整數，求的最小值.【解析】①②③，由①③得即④由②③得即⑤由④⑤得⑥由題意知代入②得所以,由⑤得,因為對稱軸,又且故方程在內有兩個不等實根.因為都為正整數,則都是正整數,即設是的兩根,則有又且則,所以又為正整數,所以,若取由⑥式得,因為為正整數,所以,即的兩根都在區間內，故的最小值為6.【評注】上述兩例都有對系數放縮的動作,破解秘招在于把等式分別代入兩個不等式中，從而得到系數的大小關系及的正負值,達到左右平衡，體現了對稱之美.六、可變之區間【例1】設函數，對于給定的負數，有一個最大的正數，使得在整個區間上，不等式恒成立.則為何值時,最大?證明你的結論.【解析】所以.（ⅰ）當即時,是方程的較小根,.（ⅱ）當即時,是方程的較大根,即,當且僅當時，等號成立.由于因此當且帆當時取最大值.【例2】集合是由符合下列性質的函數構成的:對于任意的且.都有設函數.(1)試求的取值范圍；（2）若，且對于滿足（1）的一切實數，存在最小的實數使得當時恒成立,試用表示.【解析】(1)因為屬于集合，所以任取且,則即①.設則上式化為②因為所以.①式對任意