PAGE1提能訓練練案[63]A組基礎鞏固一、單選題1．(2024·湖南部分重點中學聯考)在如圖所示的表格中填寫1,2,3三個數字，要求每一行、每一列均有這3個數字，則不同的填法種數為(C)A．6 B．9C．12 D．18[解析]第一行填數有Aeq\o\al(3,3)＝6種填法，第二行填數有2種填法，第三行填數只有1種填法，故總的填數方法有6×2×1＝12種．2．(2023·高考新課標Ⅱ卷)某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有(D)A．Ceq\o\al(45,400)·Ceq\o\al(15,200)種 B．Ceq\o\al(20,400)·Ceq\o\al(40,200)種C．Ceq\o\al(30,400)·Ceq\o\al(30,200)種 D．Ceq\o\al(40,400)·Ceq\o\al(20,200)種[解析]根據分層抽樣的定義知初中部共抽取60×eq\f(400,600)＝40人，高中部共抽取60×eq\f(200,600)＝20，根據組合公式和分步計數原理則不同的抽樣結果共有Ceq\o\al(40,400)·Ceq\o\al(20,200)種．故選D.3．(2024·黑龍江龍西北高中名校聯盟聯考)將編號為1、2、3、4、5、6的小球放入編號為1、2、3、4、5、6的六個盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數為(B)A．90 B．135C．270 D．360[解析]在6個盒子中任選2個，放入與其編號相同的小球，有Ceq\o\al(2,6)＝15種，剩下的4個盒子的編號與放入的小球編號不同，假設這4個盒子的編號為3,4,5,6，則3號小球可以放進4,5,6號盒子，有3種選法，剩下的3個小球放進剩下的3個盒子，有3種選法，所以不同的放法種數為15×3×3＝135種選法．故選B.4．(2023·黑龍江哈爾濱質檢)小張接到5項工作，要在下周一、周二、周三、周四這4天中完成，每天至少完成1項，且周一只能完成其中1項工作，則不同的安排方式有(A)A．180種 B．480種C．90種 D．120種[解析]由題意可知不同的安排方式有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝180種．故選A.5．(2023·江西省萍鄉市模擬)如圖，給7條線段的5個端點染色，要求同一條線段的兩個端點不能同色，現有4種不同的顏色可供選擇，則不同的染色方法種數有(C)A.24種 B．48種C．96種 D．120種[解析]由表端點ABECD涂法432與A同色12與A不同色12知不同的涂色方法共有4×3×2×1×(2＋2)＝96(種)，故選C.6．(2024·江蘇揚州模擬)重慶八中五四頒獎典禮上有A，B，C，D，E，F共6個節日，在排演出順序時，要求A，B相鄰，C，D不相鄰，則該典禮節目演出順序的不同排法種數為(B)A．288種 B．144種C．72種 D．36種[解析]A，B相鄰，捆綁作為一個節目與E、F進行全排列，然后把C、D插入其中的四個空檔中，排法總數為Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝144.故選B.7．(2024·江蘇南京六校聯考)從2位男生，3位女生中安排3人到三個場館做志愿者，每個場館各1人，且至少有1位男生入選，則不同安排方法有(C)A．16種 B．36種C．54種 D．96種[解析]當選擇一個男生，二個女生時，不同的安排方法有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36；當選擇二個男生，一個女生時，不同的安排方法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝18，所以不同安排方法有36＋18＝54種，故選C.8．(2024·湖南名校聯盟、河南焦作、陜西商洛階段測試)位于成都市龍泉驛區的東安湖體育公園是第31屆世界大學生夏季運動會的核心場館，它包含一座綜合運動場、一座多功能體育館、一座游泳跳水館和一座綜合小球館．現安排包含甲、乙在內的6名同學到這4個場館做志愿者，每人去1個場館，每個場館至少安排1個人，則甲、乙兩人安排在相同場館的方法種數為(C)A．96 B．144C．240 D．360[解析]先將6名同學分成4組：一種方式是甲、乙組成一組，再從另外4人任選2人組成一組，其余的一人一組，另一種方式是甲、乙與另外4人中的1人組成一組，其余的一人一組．再把4組人分到4個場館，所以安排方法種數為(Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(1,4))Aeq\o\al(4,4)＝240.故選C.9．(2024·河南洛陽創新發展聯盟階段測試)中國救援力量在國際自然災害中為拯救生命做出了重要貢獻，很好地展示了國際形象，增進了國際友誼．現有6支救援隊前往A，B，C三個受災點執行救援任務，若每支救援隊只能去其中的一個受災點，且每個受災點至少安排1支救援隊，其中A受災點至少需要2支救援隊，則不同的安排方法種數是(D)A．180 B．320C．345 D．360[解析]若6支救援隊按1,1,4分成3組，則不同的安排方法種數是eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,5),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(2,2)＝30，若6支救援隊按1,2,3分成3組，則不同的安排方法種數是Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝240，若6支救援隊按2,2,2分成3組，則不同的安排方法種數是eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝90，故不同的安排方法種數是360.二、多選題10．(2024·河北石家莊摸底)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說法正確的是(BD)A．若甲、乙、丙按從左到右的順序排列，則不同的排法有12種B．若甲、乙不相鄰，則不同的排法有72種C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，則不同的排法共有72種D．如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，則不同的排法有24種[解析]由eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(3,3))＝20(種)知A錯；由Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝72(種)知B正確；若甲在最右端有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)排法，若甲不在最右端有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝54種排法，54＋24＝78(種)知C錯；由Aeq\o\al(4,4)＝24(種)知D正確．故選BD.11．(2023·遼寧模擬)某中學為提升學生勞動意識和社會實踐能力，利用周末進社區義務勞動，高三一共6個班，其中只有1班有2個勞動模范，本次義務勞動一共20個名額，勞動模范必須參加并不占名額，每個班都必須有人參加，則下列說法正確的是(BD)A．若1班不再分配名額，則共有Ceq\o\al(4,20)種分配方法B．若1班有除勞動模范之外學生參加，則共有Ceq\o\al(5,19)種分配方法C．若每個班至少3人參加，則共有90種分配方法D．若每個班至少3人參加，則共有126種分配方法[解析]對于A，若1班不再分配名額，則20個名額分配到5個班級，每個班級至少1個，根據插空法，有Ceq\o\al(4,19)種分配方法，故A錯誤；對于B，若1班有除勞動模范之外學生參加，則20個名額分配到6個班級，每個班級至少1個，根據插空法，有Ceq\o\al(5,19)種分配方法，故B正確；對于C、D，若每個班至少3人參加，相當于16個名額被占用，還有4個名額需要分到6個班級，分5類：①4個名額到一個班，有6種；②一個班3個名額，一個班1個名額，有Aeq\o\al(2,6)＝30種；③兩個班都是2個名額，有Ceq\o\al(2,6)＝15種；④兩個班1個名額，一個班2個名額，有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)＝60；⑤四個班都是1個名額，有Ceq\o\al(4,6)＝15種，則共有126種，故C錯誤，D正確．故選BD.12．(2024·云南曲靖一中月考)下列說法正確的是(BC)A．11×12×…×20可表示為Aeq\o\al(11,20)B．5個朋友聚會，見面后每兩人握手一次，一共握手10次C．若把英語單詞“happy”的字母順序寫錯，則可能出現的錯誤共有59種D．4名老師派到兩個學校支教，每個學校至少派1人，則共有8種不同的分派方法[解析]Aeq\o\al(11,20)＝10×11×12×13×…×20，故A錯誤；5人兩兩握手，共握Ceq\o\al(2,5)＝10(次)，故B正確；在5個位置中選3個位置填入h，a，y，剩下2個位置填入p，共有Aeq\o\al(3,5)＝60(種)，其中正確的只有1種，則可能出現的錯誤共有60－1＝59(種)，故C正確；將4人按3,1分派，共Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝8種；將4人按2,2分派，共有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(2,2)＝6種．故每個學校至少派1人，共有14種分派方法，故D錯誤．故選BC.三、填空題13．(2024·江蘇常州教育學會期中)將5本不同的書分發給4位同學，其中甲、乙兩本書不能同時發給某一位同學，每位同學都發到書，每本書只能給一位同學，則不同的分配方案數為216(用數字作答)[解析]5本書送4人共有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)＝240，甲，乙送一人有Aeq\o\al(4,4)＝24個結果，240－24＝216.14．(2024·浙江名校新高考研究聯盟聯考)杭州亞運會舉辦在即，主辦方開始對志愿者進行分配．已知射箭場館共需要6名志愿者，其中3名會說韓語，3名會說日語．目前可供選擇的志愿者中有4人只會韓語，5人只會日語，另外還有1人既會韓語又會日語，則不同的選人方案共有140種．(用數字作答)．[解析]若從只會韓語中選3人，則Ceq\o\al(3,4)(Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,1))＝4×20＝80種，若從只會韓語中選2人，則Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(3,5)＝6×10＝60種，故不同的選人方案共有60＋80＝140種．15．(2024·湖南衡陽名校月考)在數學中，有一個被稱為自然常數(又叫歐拉數)的常數e≈2.71828.小明在設置銀行卡的數字密碼時，打算將自然常數的前6位數字2,7,1,8,2,8進行某種排列得到密碼．如果排列時要求兩個2相鄰，兩個8不相鄰，那么小明可以設置的不同密碼共有36個．[解析]如果排列時要求兩個2相鄰，兩個8不相鄰，兩個2捆綁看作一個元素與7,1全排列，排好后有4個空位，兩個8插入其中的2個空位中，注意到兩個2，兩個8均為相同元素，那么小明可以設置的不同密碼共有Aeq\o\al(3,3)·Ceq\o\al(2,4)＝36.B組能力提升1．(2023·貴州遵義新高考協作體質檢)現有甲、乙、丙、丁四位同學要與兩位老師站成一排合影留念，則甲同學不站兩端且兩位老師必須相鄰的站法有(B)A．72種 B．144種C．288種 D．576種[解析]教師排兩端有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝72種排法，教師不排兩端有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝72種排法．故共有72＋72＝144種排法．選B.2．(多選題)(2024·廣東佛山S71聯考)現安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加2023年杭州亞運會志愿者服務活動，有翻譯、導游、禮儀、司機四項工作可以安排，則以下說法正確的是(AD)A．若每人都安排一項工作，則不同的方法數為45B．若每項工作至少有1人參加，則不同的方法數為Aeq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,4)C．如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排1人，則這5名同學全部被安排的不同方法數為(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3))Aeq\o\al(3,3)D．每項工作至少有1人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數是Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)[解析]每人都安排一項工作，每人有4種安排方法，則有45種安排方法，A正確；先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4項工作，有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)種安排方法，B錯誤；先將5人分為3組，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))))種分組方法，將分好的三組安排翻譯、導游、禮儀三項工作，有Aeq\o\al(3,3)種情況，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))))Aeq\o\al(3,3)種安排方法，C錯誤；①從丙，丁，戊中選出1人開車，②從丙，丁，戊中選出2人開車，則有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)種安排方法，D正確．故選AD.3．(2023·廣東茂名一中模擬)由數字0,1,2,3,4組成的各位上沒有重復數字的五位數中，從小到大排列第88個數為(C)A．42031 B．42103C．42130 D．42301[解析]由數字0,1,2,3,4組成的各位上沒有重復數字的五位數中，1在萬位的有Aeq\o\al(4,4)＝24(個)；2在萬位的有Aeq\o\al(4,4)＝24(個)；3在萬位的有Aeq\o\al(4,4)＝24(個)；4在萬位的有Aeq\o\al(4,4)＝24(個)；則從小到大排列第88個數為4在萬位的五位數.4在萬位0在千位的有Aeq\o\al(3,3)＝6(個)；4在萬位1在千位的有Aeq\o\al(3,3)＝6(個)；4在萬位2在千位的有Aeq\o\al(3,3)＝6(個)，則從小到大排列第88個數為4在萬位2在千位的五位數.4在萬位2在千位的五位數從小到大排列依次為：42013,42031,42103,42130,42301,42310則從小到大排列第88個數為42130.故選C.4．(2024·南京師大蘇州實驗學校調研)有8個座位連成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且僅有兩個空位相鄰且甲、乙兩人都在丙的同側，則共有480種不同的坐法．[解析]先排甲、乙、丙、丁4人就坐，不妨設為1,2,3,4號位置，因為甲、乙兩人都在丙的同側，當丙在1號位置有Aeq\o\al(3,3)＝6種排法，當丙在2號位置有Aeq\o\al(2,2)＝2種排法，當丙在3號位置有Aeq\o\al(2,2)＝2種排法，當丙在4號位置有Aeq\o\al(3,3)＝6種排法，共有16種排法；又因為有且僅有兩個空位相鄰，將兩個空位捆在一起，與剩余兩個空位插入甲、乙、丙、丁形成的5個空位中，有5Ceq\o\al(2,4)＝30種排法，所以共有16×30＝480種排法．5．(2024·浙江新陣地教育聯盟聯考)首個全國生態主場日活動于2023年8月15日在浙江湖州舉行，推動能耗雙控轉向碳排放雙控．有A，B，C，D，E，F共6項議程在該天舉行，每個議程有半天會期．現在有甲、乙、丙三個會議廳可以利用，每個會議廳每半天只能容納一個議程，若要求A，B兩議程不能同時在上午舉行，而C議程只能在下午舉行，則不同的安排方案一共有252種．(用數字作答)[解析]分兩種情況，第一種，A，B議程中只有一項在上午，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝216種選擇，第二種，A，B議程都安排在下午，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝36種選擇，綜上：不同的安排方案一共有216＋36＝252種選

提能訓練練案[64]A組基礎鞏固一、單選題1．(2024·山西師大附中月考)二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,\r(x))))6展開式的常數項為(B)A．－160 B．60C．120 D．240[解析]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,\r(x))))6展開式的通項為：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)(2x)6－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))k＝Ceq\o\al(k,6)·26－k·(－1)k·，令6－eq\f(3,2)k＝0得k＝4，所以展開式的常數項為Ceq\o\al(4,6)×22×(－1)4＝60，故選B.2．(2024·江蘇鎮江一中學情檢測)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,\r(x))))8的展開式中含x5項的系數是(B)A．－112 B．112C．－28 D．28[解析]由題意可得，其通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)x8－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,\r(x))))r＝，0≤r≤8，r∈N，令8－eq\f(3,2)r＝5，可得r＝2，所以含x5項的系數是(－2)2Ceq\o\al(2,8)＝112.故選B.3．(2023·河南新鄉聯考)若二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,\r(x))))n(n∈N*)的展開式中只有第5項的二項式系數最大，則展開式中x2項的系數為(D)A．－1120 B．－1792C．1792 D．1120[解析]因為展開式中只有第5項的二項式系數最大，所以n＝8.通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(2x)8－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))r＝，令8－eq\f(3,2)r＝2，得r＝4，所以展開式中x2項的系數為Ceq\o\al(4,8)24(－1)4＝1120.故選D.4．(2024·山東新高考質檢聯盟聯考)設(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)7＋(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8，則a2＝(A)A．84 B．56C．36 D．28[解析]依題意，a2＝Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋…＋Ceq\o\al(2,8)＝Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋…＋Ceq\o\al(2,8)＝Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,8)＝…＝Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,8)＝Ceq\o\al(3,9)＝84，故選A.5．(2024·湖北武漢九所重點中學聯考)多項式(ax＋1)6的x2項系數比x3項系數多35，則其各項系數之和為(D)A．1 B．243C．64 D．0[解析]∵x2項系數比x3項系數多35，∴Ceq\o\al(4,6)a2－Ceq\o\al(3,6)a3＝35，即3a2－4a3＝7，解得：a＝－1.∴(－x＋1)6＝Ceq\o\al(0,6)x6－Ceq\o\al(1,6)x5＋Ceq\o\al(2,6)x4－Ceq\o\al(3,6)x3＋Ceq\o\al(4,6)x2－Ceq\o\al(5,6)x1＋Ceq\o\al(6,6)，令x＝1可得各項系數之和為Ceq\o\al(0,6)－Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)－Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(4,6)－Ceq\o\al(5,6)＋Ceq\o\al(6,6)＝0.故選D.6．(2023·河北示范性高中調研)關于二項式(1＋ax＋x2)(1－x)8，若展開式中含x2的項的系數為21，則a＝(C)A．3 B．2C．1 D．－1[解析](1－x)8的展開式的通項為Tr＋1＝(－1)rCeq\o\al(r,8)xr，x2的系數為1×Ceq\o\al(2,8)×(－1)2＋a×Ceq\o\al(1,8)×(－1)＋1×Ceq\o\al(0,8)＝21，解得a＝1，故選項C正確．7．(2022·北京高考)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則a0＋a2＋a4＝(B)A．40 B．41C．－40 D．－41[解析]令x＝1，則a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，令x＝－1，則a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－3)4＝81，故a4＋a2＋a0＝eq\f(1＋81,2)＝41，故選B.8．(2024·安徽屯溪一中模擬)已知f(x)＝(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，則下列描述正確的是(B)A．a1＋a2＋…＋a8＝1B．f(－1)除以5所得的余數是1C．|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38D．2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8[解析]令x＝1得：a0＋a1＋a2＋…＋a8＝1；令x＝0，得a0＝28，a1＋a2＋…＋a8＝1－28，因此A錯誤；f(－1)＝38＝94＝(10－1)4＝104－Ceq\o\al(1,4)103＋Ceq\o\al(2,4)102－Ceq\o\al(3,4)10＋1＝10×(103－Ceq\o\al(1,4)102＋Ceq\o\al(2,4)101－Ceq\o\al(3,4))＋1，因此B正確；因為(2－x)8二項展開式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)28－r(－x)r＝(－1)rCeq\o\al(r,8)28－rxr，由通項公式知，(2－x)8二項展開式中偶數項的系數為負數，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝－a1＋a2－a3＋…＋a8，由(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝0，得到a0＝28，令x＝－1，得到a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝38，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38－28，因此C錯誤；對原表達式的兩邊同時對x求導，得到－8×(2－x)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7，令x＝1，得到a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8，令x＝0，得a1＝－8×27，所以，2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8＋8×27＝8(27－1)，所以選項D錯誤．故選B.9．(2023·廣東廣州階段測試)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展開式中x2的系數是(C)A．45 B．84C．120 D．210[解析]解法一：(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展開式中，含x2項的系數為Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,9)＝Ceq\o\al(3,10)＝120，故選C.解法二：(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9＝eq\f(1＋x2[1－1＋x8],1－1＋x)＝eq\f(1＋x10－1＋x2,x).∴x2的系數為Ceq\o\al(3,10)＝120.故選C.二、多選題10．(2024·山東青島調研)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))n的展開式的各二項式系數的和為256，則(ABD)A．n＝8B．展開式中x－2的系數為－448C．展開式中常數項為16D．展開式中所有項的系數和為1[解析]由二項式系數之和為2n＝256，可得n＝8，A選項正確；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))8展開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(2x)8－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝Ceq\o\al(r,8)(－1)r·28－r·x8－2r,8－2r＝－2時，r＝5，展開式中x－2的系數為Ceq\o\al(5,8)(－1)5·28－5＝－448，B選項正確；8－2r＝0時，r＝4，展開式中常數項為Ceq\o\al(4,8)(－1)4·28－4＝1120，C選項錯誤；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))8中，令x＝1，得展開式中所有項的系數和為(2－1)8＝1，D選項正確．故選ABD.11．(2024·河北師大附中期中)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,\r(x))))9的展開式中，下列結論正確的是(BC)A．第6項和第7項的二項式系數相等B．奇數項的二項式系數和為256C．常數項為84D．有理項有2項[解析]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,\r(x))))9的展開式中共有10項，由二項式系數的性質可得展開式中的第5項和第6項的二項式系數相等，故A錯誤；由已知可得二項式系數之和為29，且展開式中奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和相等，所以奇數項的二項式系數和為28＝256，故B正確；展開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)x9－r.，0≤r≤9，r∈N，令9－eq\f(3,2)r＝0，解得r＝6.故常數項為Ceq\o\al(6,9)＝Ceq\o\al(3,9)＝84，故C正確；有理項中x的指數為整數，故r＝0,2,4,6,8，故有理項有5項，故D錯誤．故選BC.三、填空題12．(2024·安徽江淮十校聯考)若(2x－1)6＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a6(x－1)6，則a0＋a2＋a4＋a6＝365.(用數字作答)[解析]令x＝0，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝1，令x＝2則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝36＝729，兩式相加得：2(a0＋a2＋a4＋a6)＝730，∴a0＋a2＋a4＋a6＝365.13．(2024·南京師大蘇州實驗學校調研改編)若二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2·\r(4,x))))n展開式的前三項的系數成等差數列，則展開式的中間項為eq\f(35,8)x.[解析]二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2·\r(4,x))))n通項為：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(eq\r(x))n－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2·\r(4,x))))r＝，所以第一項的系數為：Ceq\o\al(0,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0＝1，第二項的系數為：Ceq\o\al(1,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＝eq\f(n,2)，第三項的系數為：Ceq\o\al(2,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(n2－n,8)，由于前三項的系數成等差數列，所以2×eq\f(n,2)＝1＋eq\f(n2－n,8)，解得n＝8，或n＝1，因為至少有前三項，所以n＝1(舍)，故n＝8，所以展開式有9項，中間一項為T5＝Ceq\o\al(4,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4x1＝eq\f(35,8)x.14．(2024·廣西“貴百河”調研)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(2,x)))n的二項式中，所有的二項式系數之和為64，則各項的系數的絕對值之和為729.[解析]由題意知2n＝64，∴n＝6，設eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(2,x)))6的各項的系數為a0，a1，a2，…，a6，則各項的系數的絕對值之和為|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|，即為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)＋\f(2,x)))6中各項的系數的和，令x＝1，|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝(1＋2)6＝36，即各項的系數的絕對值之和為36＝729.15．(2023·河南駐馬店期末)若x7＋(x－2)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9＋a10(x－1)10，則a5＝－231.[解析]x7＋(x－2)10＝[(x－1)＋1]7＋[(x－1)－1]10，因為[(x－1)＋1]7展開式的通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,7)(x－1)7－r，令7－r＝5，得r＝2，則T3＝Ceq\o\al(2,7)(x－1)5＝21(x－1)2.因為[(x－1)－1]10展開式的通項T′r′＋1＝Ceq\o\al(r′,10)(x－1)10－r′·(－1)r′，令10－r′＝5，得r′＝5，則T′6＝Ceq\o\al(5,10)(x－1)5·(－1)5＝－252(x－1)5，故a5＝21－252＝－231.B組能力提升1．(2024·遼寧朝陽聯考)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2x,y)))(x－y)6的展開式中x4y2的系數為(A)A．55 B．60C．65 D．70[解析](x－y)6的展開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－r(－y)r＝Ceq\o\al(r,6)(－1)rx6－ryr，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2x,y)))(x－y)6＝(x－y)6－eq\f(2x,y)(x－y)6，(x－y)6的展開式中x4y2的系數為Ceq\o\al(2,6)(－1)2＝15，eq\f(2x,y)(x－y)6的展開式中x4y2的系數為2Ceq\o\al(3,6)(－1)3＝－40，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2x,y)))(x－y)6展開式中x4y2的系數為Ceq\o\al(2,6)(－1)2－2Ceq\o\al(3,6)(－1)3＝55.故選A.2．(2024·河北滄州聯考)在(x＋y＋2)5的展開式中，xy3的系數是(D)A．24 B．32C．36 D．40[解析]解法一：相當于在5個因式中有1個因式選x，有Ceq\o\al(1,5)種選法，余下的4個因式中有3個因式選y，有Ceq\o\al(3,4)種選法，最后余下1個因式中選2，所以xy3的項為Ceq\o\al(1,5)xCeq\o\al(3,4)y3Ceq\o\al(1,1)×2＝40xy3，故選D.解法二：(x＋y＋2)5＝[x＋(y＋2)]5，故所求系數為x·Ceq\o\al(4,5)(y＋2)4中xy3的系數即Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(1,4)·2＝40.故選D.3．(2024·湖湘名校教育聯合體聯考)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－2x))n的展開式中第3項與第7項的二項式系數相等，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－2x))n的展開式中系數最大的項的系數為1792.[解析]由Ceq\o\al(2,n)＝Ceq\o\al(6,n)有n＝8，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－2x))n的展開式的通項為Ceq\o\al(r,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))8－r(－2x)r，當展開式的項的系數最大時，r為偶數，比較得當r＝6時，展開式中項的系數最大，該項系數為1792.4．(2024·浙江名校聯盟高考研究卷)若(2x－5)n＝a0＋a1(x－1)＋…＋an(x－1)n，且奇數項二項式系數之和為512，則a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝－20.[解析]由題意知2n－1＝512，則n＝10，∴(2x－5)10＝a0＋a1(x－1)＋…＋a10(x－1)10，兩邊求導得20(2x－5)9＝a1＋2a2(x－1)＋…＋10a10(x－1)9，令x＝2得a1＋2a2＋…＋10a10＝－20.5．(2024·山東省實驗中學診斷)二項式(5＋x)2023展開式的各項系數之和被7除所得余數為6.[解析]令x＝1得(5＋1)2023＝62023，由于62023＝(－1＋7)2023＝－1＋Ceq\o\al(1,2023)7－Ceq\o\al(2,2023)72＋Ceq\o\al(3,2023)73＋…＋72023＝6－7＋Ceq\o\al(1,2023)7－Ceq\o\al(2,2023)72＋Ceq\o\al(3,2023)73＋…＋72023，而－7＋Ceq\o\al(1,2023)7－Ceq\o\al(2,2023)72＋Ceq\o\al(3,2023)73＋…＋72023均能被7整除，所以余數為

提能訓練練案[65]A組基礎鞏固一、單選題1．(2022·湖北十市聯考)從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是(D)A．“至少有一個黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“都是紅球”C．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”D．“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”[解析]A中的兩個事件是包含關系，不是互斥事件；B中的兩個事件是對立事件；C中的兩個事件都包含“一個黑球一個紅球”的事件，不是互斥關系；D中的兩個事件是互斥而不對立的關系．2．(2024·陜西寶雞金臺區質檢)甲乙兩人在一座7層大樓的第一層進入電梯，假設每人從第二層開始在每一層離開電梯是等可能的，則甲乙兩人離開電梯的樓層數的和是6的概率是(C)A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,9)C．eq\f(1,12) D．eq\f(7,36)[解析]將甲乙兩人離開電梯的樓層數配對，組成6×6＝36種等可能的結果，記事件A＝“甲乙兩人離開電梯的樓層數的和是6”，則事件A的可能結果有3種，即A＝{(2,4)，(4,2)，(3,3)}，所以事件A的概率為：P(A)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)，故選C.3．(2024·遼寧部分學校摸底)某商家為了吸引顧客，促銷商品，推出消費滿額砸金蛋的活動．某顧客共獲得2次砸金蛋的機會，若該顧客砸金蛋時還剩9個金蛋，其中只有3個金蛋有獎券，則該顧客砸出獎券的概率為(D)A.eq\f(2,3) B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,12) D．eq\f(7,12)[解析]所求概率為1－eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,9))＝eq\f(7,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或P＝\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,6)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,9))＝\f(7,12))).故選D.4．(2024·湖南長沙名校質檢)某校4名同學參加數學和物理兩項競賽，每項競賽至少有1名同學參加，每名同學限報其中一項，則兩項競賽參加人數不相等的概率為(D)A.eq\f(3,8) B．eq\f(3,7)C．eq\f(5,8) D．eq\f(4,7)[解析]記“兩項競賽參加人數不相等”為事件A，則P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),24－2)＝eq\f(4,7).故選D.5．(2024·云南楚雄州質檢)口袋中有5個白球，3個紅球和2個黃球，小球除顏色不同，大小形狀均完全相同，現從中隨機摸出2個小球，摸出的2個小球恰好顏色相同的概率為(A)A.eq\f(14,45) B．eq\f(2,3)C．eq\f(2,9) D．eq\f(1,3)[解析]所求概率P＝eq\f(C\o\al(2,5)＋C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,10))＝eq\f(14,45).故選A.6．(2023·廣東惠州調研)我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．下圖是在“趙爽弦圖”的基礎上創作出的一個“數學風車”，其中正方形ABCD內部為“趙爽弦圖”，正方形ABCD外部四個陰影部分的三角形稱為“風葉”．現從該“數學風車”的8個頂點中任取2個頂點，則2個頂點取自同一片“風葉”的概率為(A)A.eq\f(3,7) B．eq\f(4,7)C．eq\f(3,14) D．eq\f(11,14)[解析]從“數學風車”的八個頂點中任取兩個頂點的基本事件有Ceq\o\al(2,8)＝28種，其中這兩個頂點取自同一片“風葉”的基本事件有4Ceq\o\al(2,3)＝12種，故所求概率P＝eq\f(12,28)＝eq\f(3,7).故選A.7．(2023·河北保定模擬)三位同學參加某項體育測試，每人要從100m跑、引體向上、跳遠、鉛球四個項目中選出兩個項目參加測試，則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是(C)A.eq\f(1,12) B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,12) D．eq\f(7,12)[解析]三個同學選擇兩個項目的試驗的基本事件數有(Ceq\o\al(2,4))3個，它們等可能，有且僅有兩人選擇的項目完全相同的事件A含有的基本事件數有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,4)(Ceq\o\al(2,4)－1)個，所以有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率P(A)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,4)C\o\al(2,4)－1,C\o\al(2,4)3)＝eq\f(5,12).故選C.8．(2022·湖北武漢質檢)從3雙不同的鞋子中隨機任取3只，則這3只鞋子中有兩只可以配成一雙的概率是(C)A.eq\f(2,5) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,5) D．eq\f(2,3)[解析]所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5).故選C.二、多選題9．(2024·湖北部分學校期中聯考)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為AB，A1D1的中點．取點B1，C，E，F，若一條直線過其中兩點，另一條直線過另外兩點，則(ABD)A．兩條直線為異面直線是必然事件B．兩條直線互相垂直的概率為eq\f(1,3)C．兩條直線互相平行與互相垂直是對立事件D．兩條直線都與直線AC1垂直是不可能事件[解析]因為點B1，C，E，F不共面，所以兩條直線為異面直線，故A正確；過四點的兩條直線共有3種情況，其中僅當一條直線過B1，F，另一條直線過C，E時，這兩條直線相互垂直，故相互垂直的概率為eq\f(1,3)，故B正確；兩條直線互相平行的概率為0，而兩條直線互相垂直的概率小于1，故兩條直線互相平行與互相垂直不是對立事件，C錯誤；B1C，B1E，B1F中，只有B1C與AC1垂直，且當B1C⊥AC1時，EF與AC1不垂直，故D正確．10．將4男、4女共8位同學隨機地分成人數相等的甲、乙兩組，則下列說法正確的是(AB)A．4位女同學分到同一組的概率為eq\f(1,35)B．男生甲和女生乙分到甲組的概率為eq\f(3,14)C．有且只有3位女同學分到同一組的概率為eq\f(32,35)D．4位男同學不同時分到甲組的概率為eq\f(34,35)[解析]8位同學隨機地分成人數相等的甲、乙兩組的不同分法為Ceq\o\al(4,8)·Ceq\o\al(4,4)＝70，A選項，4位女同學分到同一組的不同分法只有2種，其概率為eq\f(2,70)＝eq\f(1,35)，對；B選項，男生甲和女生乙分到甲組的不同分法為Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(4,4)＝15，其概率為eq\f(15,70)＝eq\f(3,14)，對；C選項，有且只有3位女同學分到同一組Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,4)·2＝32種，則有且只有3位女同學分到同一組的概率為eq\f(32,70)＝eq\f(16,35)，錯；D選項，4位男同學同時分到甲組只有1種，其概率為eq\f(1,70)，則4位男同學不同時分到甲組的概率為1－eq\f(1,70)＝eq\f(69,70)，錯，故選AB.11．高中某學校對一次高三聯考物理成績進行統計分析，隨機抽取100名學生成績得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區間為[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，同時計劃從樣本中隨機抽取個體進行隨訪，若從樣本隨機抽取個體互不影響，把頻率視為概率，則下列結論正確的是(AB)A．學生成績眾數估計為75分B．考生成績的第75百分位成績估計為80分C．在[90,100]內隨機抽取一名學生訪談，則甲被抽取的概率為0.01D．從[40,50)和[90,100]內各抽1名學生，[70,80)抽2名學生調研，又從他們中任取2人進行評估測試，則這2人來自不同組的概率為0.13[解析]由頻率分布直方圖得，成績在[70,80)的頻率最高，所以估計成績的眾數為75分，故A正確；因為0.010×10＋0.015×10＋0.020×10＋0.030×10＝0.75，所以估計第75百分位成績為80分，故B正確；因為成績在[90,100]內的人數為100×0.010×10＝10，所以隨機抽取一名學生訪談，甲被抽取的概率為0.1，故C錯誤；由P＝eq\f(2C\o\al(1,2)＋1,C\o\al(2,4))＝eq\f(5,6)知，D錯誤．故選AB.12．(2024·遼寧鞍山質檢)甲盒中有3個白球，2個黑球，乙盒中有2個白球，3個黑球，則下列說法中正確的是(BCD)A．若從甲盒中一次性取出2個球，記X表示取出白球的個數，則P(X＝1)＝eq\f(3,10)B．若從甲盒和乙盒中各取1個球，則恰好取出1個白球的概率為eq\f(13,25)C．若從甲盒中連續抽取3次，每次取1個球，每次抽取后都放回則恰好得到2個白球的概率為eq\f(54,125)D．若從甲盒中取出1球放入乙盒中，再從乙盒中取出1球，記B：從乙盒中取出的1球為白球，則P(B)＝eq\f(13,30)[解析]P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)，A錯；從甲、乙盒中各取一球恰好取出一個白球的概率為P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)C\o\al(1,5))＝eq\f(13,25)，B正確；P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)C\o\al(1,5)C\o\al(1,5))＝eq\f(54,125)，C正確；P(B)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)C\o\al(1,6))＝eq\f(13,30)，D正確．故選BCD.三、填空題13．(2022·全國甲卷)從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為eq\f(6,35).[解析]從正方體的8個頂點中任取4個，有n＝Ceq\o\al(4,8)＝70個結果，這4個點在同一個平面的有m＝6＋6＝12個，故所求概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(12,70)＝eq\f(6,35).14．(2024·陜西漢中聯考)根據歷史記載，早在春秋戰國時期，我國勞動人民就普遍使用算籌進行計數．算籌計數法就是用一根根同樣長短和粗細的小棍子以不同的排列方式來表示數字，如圖所示．如果用算籌隨機擺出一個不含數字0的兩位數，個位用縱式，十位用橫式，則個位和十位上的算籌不一樣多的概率為eq\f(64,81).縱式：橫式：[解析]用算籌隨機擺出一個不含數字0的兩位數，個位用縱式，十位用橫式，共可以擺出9×9＝81個兩位數，其中個位和十位上的算籌都為1的有1×1＝1種；個位和十位上的算籌分別都為2或3或4或5的各有2×2＝4種；共有4＋4＋4＋4＋1＝17種；所以，個位和十位上算籌不一樣多的概率為P＝eq\f(81－17,81)＝eq\f(64,81).15．(2024·廣東湛江摸底)某學校準備舉辦一場運動會，其中運動會開幕式安排了3個歌舞類和3個語言類節目，所有節目依次出場，則恰有兩個語言類節目相鄰的概率為eq\f(3,5).[解析]節目出場順序總數為Aeq\o\al(6,6)，兩個語言類節目相鄰的安排數：Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4).所以恰有兩個語言類節目相鄰的概率為P＝eq\f(A\o\al(3,3)A\o\al(2,3)A\o\al(2,4),A\o\al(6,6))＝eq\f(3,5).B組能力提升1．(2024·云南大理統測)云南省大理州于2023年5月4日至10日成功舉辦了三月街民族節活動．在活動期間，有6名志愿者報名參加了三月街民族節志愿服務活動，活動結束后6名志愿者排成一排合影，則甲志愿者不在兩邊，乙、丙志愿者相鄰的概率為eq\f(1,5).[解析]6名志愿者排成一排合影共有Aeq\o\al(6,6)種排法，而乙、丙志愿者相鄰，甲志愿者不在兩邊的排法有：Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)種排法，故甲志愿者不在兩邊，乙、丙志愿者相鄰的概率為eq\f(C\o\al(1,3)·A\o\al(4,4)·A\o\al(2,2),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,5).2．(2024·四川成都名校聯考)2025年四川省新高考將實行3＋1＋2模式，即語文、數學、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學、生物四選二，共有12種選課模式．假若今年高一的小明與小芳都對所選課程沒有偏好，則他們所選六科中恰有四科相同的概率是(B)A.eq\f(1,36) B．eq\f(5,12)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,12)[解析]兩人所選六科的情況共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝144種情況，由于語文、數學、英語必選，故所選六科中恰有四科相同的情況，包含以下情況，第一，物理、歷史有一科相同，政治、地理、化學、生物不相同，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12種情況．第二，物理、歷史不相同，政治、地理、化學、生物有一科相同，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝48種情況，所以所求概率P＝eq\f(12＋48,144)＝eq\f(5,12).故選B.3．(2023·福建漳州質檢)漳州某校為加強校園安全管理，欲安排12名教師志愿者(含甲、乙、丙三名教師志愿者)在南門、北門、西門三個校門加強值班，每個校門隨機安排4名，則甲、乙、丙安排在同一個校門值班的概率為(D)A.eq\f(1,312) B．eq\f(1,311)C．eq\f(1,55) D．eq\f(3,55)[解析]將12個人平均分為3組，有eq\f(C\o\al(4,12)·C\o\al(4,8)·C\o\al(4,4),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝Ceq\o\al(4,12)·Ceq\o\al(4,8)種方法，將甲乙丙分在同一組有eq\f(C\o\al(1,9)·C\o\al(4,8)·C\o\al(4,4),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝3Ceq\o\al(1,9)·Ceq\o\al(4,8)種方法，所以甲乙丙在同一校門的概率P＝eq\f(3C\o\al(4,8)·C\o\al(1,9),C\o\al(4,12)·C\o\al(4,8))＝eq\f(3,55)；故選D.4．(2024·江蘇南通如皋診斷)15個人圍坐在圓桌旁，從中任取4人，他們兩兩互不相鄰的概率是(A)A.eq\f(30,91) B．eq\f(25,91)C．eq\f(15,91) D．eq\f(10,91)[解析]15個人圍坐在圓桌旁從中任取4人，他們兩兩互不相鄰，則可先把11個人入坐好，再讓其余4人插空，共有eq\f(A\o\al(11,11),11)·Aeq\o\al(4,11)種不同的圍坐方法，所以所求概率是eq\f(\f(A\o\al(11,11),11)·A\o\al(4,11),\f(A\o\al(15,15),15))＝eq\f(30,91)，故選A.5．(2024·江蘇蘇州中學期初考試)樹人學校為推動學校的大課間運動，開始在部分班級中使用一套新的大課間運動體操(記為A類體操)，原來的大課間運動體操記為B類體操，為了了解學生對大課間運動的喜愛程度與使用大課間運動體操類型是否有關，分別對A類體操與B類體操的學生進行了問卷調查，現分別隨機抽取了100個學生的問卷調查情況，得到如下數據：喜愛不喜愛A類體操7030B類體操4060(1)請根據小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，能否認為大課間運動程度與A類體操和B類體操有關？(2)從樣本的喜愛大課間運動的學生中，按A，B類分層抽取11名學生參加一個座談會，再從中抽取3名學生在學生大課間運動會上發言，求參加發言的學生既有喜愛A類體操也有喜愛B類體操的概率．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)α0.050.010.001xα3.8416.63510.828[解析](1)零假設為：H0：是否喜愛大課間運動程度與A類體操和B體操無關．根據列聯表中的數據，得到χ2＝eq\f(200×70×60－30×402,100×100×110×90)＝eq\f(200,11)≈18.182>10.828，根據概率值α＝0.001的獨立性檢驗，推斷H0不成立，即認為是否喜愛大課間運動程度與A類體操和B類體操有關．(2)由樣本中的數據可知，抽取11名學生中，其中喜愛A類體操有7名學生，喜愛B類體操有4名學生，從11名學生抽取3名學生的所有情況有Ceq\o\al(3,11)＝165，而3名發言的學生中既有喜愛A類體操也有喜愛B類體操的情況有Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(1,4)＝126種，所以P＝eq\f(126,165)＝eq\f(42,55)，所以參加發言的學生既有喜愛A類體操也有喜愛B類體操的概率為

提能訓練練案[66]A組基礎鞏固一、單選題1．(2024·重慶質檢)某高鐵動車檢修基地庫房內有A～E共5條并行的停車軌道線，每條軌道線只能停一列車，現有動車01,02、高鐵01,02,03共五列車入庫檢修，若已知兩列動車安排在相鄰軌道，則動車01停放在A道的概率為(C)A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,8) D．eq\f(1,10)[解析]記M＝“兩動車相鄰”，N＝“動車01停在A道”，則P(N|M)＝eq\f(nMN,nM)＝eq\f(A\o\al(3,3),A\o\al(2,2)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,8).故選C.2．(2024·廣西柳鐵一中、南寧二中摸底調研)2023年3月13日第十四屆全國人民代表大會第一次會議在北京勝利閉幕，某中學為了貫徹學習“兩會”精神，舉辦“學兩會，知國事”知識競賽．高二學生代表隊由A，B，C，D，E共5名成員組成，現從這5名成員中隨機抽選3名參加學校決賽，則在學生A被抽到的條件下，學生B也被抽到的概率為(B)A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,8)[解析]記事件A：學生A被抽到，事件B：學生B被抽到，所以P(A)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2).3．(2024·山東新高考質檢聯盟聯考)已知事件A，B滿足P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，則(B)A．若B?A，則P(AB)＝0.5B．若A與B互斥，則P(A＋B)＝0.7C．若A與B相互獨立，則P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝0.9D．若P(B|A)＝0.2，則A與B不相互獨立[解析]若B?A，則P(AB)＝P(B)＝0.2，所以A錯誤；若A與B互斥，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7，所以B正確；若A與B相互獨立，可得eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))相互獨立，所以P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝(1－0.5)(1－0.2)＝0.4，所以C錯誤；由P(B|A)＝0.2，可得P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(PAB,0.5)＝0.2，所以P(AB)＝0.1，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以A與B相互獨立，所以D錯誤．故選B.4．(2024·安徽A10聯盟聯考)2023年7月28日晚，第31屆世界大學生夏季運動會在成都盛大開幕．為宣傳成都大運會，某大學團委開展了“陽光燦爛青春與共”大運會知識競賽活動，各班以團支部為單位參加比賽，某班團支部在6道題中(包含4道圖片題和2道視頻題)，依次不放回地隨機抽取2道題作答，設事件A為“第1次抽到圖片題”，事件B為“第2次抽到視頻題”，則P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))＝(C)A.eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,5) D．eq\f(2,5)[解析]因為P(A)＝eq\f(A\o\al(1,4),A\o\al(1,6))＝eq\f(2,3)，故P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，事件eq\o(A,\s\up6(－))B表示兩次均抽到視頻題，故P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,6))＝eq\f(1,15)，由條件概率求解公式可得P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(P\o(A,\s\up6(－))B,P\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(1,5).故選C.5．(2024·河南部分學校摸底)現有同副牌中的5張數字不同的撲克牌，其中紅桃1張、黑桃2張、梅花2張，從中任取一張，看后放回，再任取一張．甲表示事件“第一次取得黑桃撲克牌”，乙表示事件“第二次取得梅花撲克牌”，丙表示事件“兩次取得相同花色的撲克牌”，丁表示事件“兩次取得不同花色的撲克牌”，則(D)A．乙與丙相互獨立 B．乙與丁相互獨立C．甲與丙相互獨立 D．甲與乙相互獨立[解析]依題意可得，事件甲的概率P1＝eq\f(2,5)，事件乙的概率P2＝eq\f(2,5).有放回地取撲克牌兩次的試驗的基本事件總數是52＝25，顯然事件丙與丁是對立事件，兩次取出的撲克牌花色相同包含的基本事件數為12＋22＋22＝9，則事件丙的概率P3＝eq\f(9,25)，事件丁的概率P4＝eq\f(16,25).事件乙與丙同時發生所包含的基本事件數為4，其概率P5＝eq\f(4,25)≠P2·P3，故乙與丙不相互獨立，A錯誤；事件乙與丁同時發生所包含的基本事件數為6，其概率P6＝eq\f(6,25)≠P2·P4，故乙與丁不相互獨立，B錯誤；事件甲與丙同時發生所包含的基本事件數為4，其概率P7＝eq\f(4,25)≠P1·P3，故甲與丙不相互獨立，C錯誤；事件甲與乙同時發生所包含的基本事件數為4，其概率P8＝eq\f(4,25)＝P1·P2，故甲與乙相互獨立，D正確．故選D.6．(2024·湖北高中名校聯盟聯考)某人從A地到B地，乘火車、輪船、飛機的概率分別為0.3,0.3,0.4，乘火車遲到的概率為0.2，乘輪船遲到的概率為0.3，乘飛機遲到的概率為0.4，則這個人從A地到B地遲到的概率是(B)A．0.16 B．0.31C．0.4 D．0.32[解析]設事件A表示“乘火車”，事件B表示“乘輪船”，事件C表示“乘飛機”，事件D表示“遲到”，則P(A)＝0.3，P(D|A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(D|B)＝0.3，P(C)＝0.4，P(D|C)＝0.4，D＝(D|A)∪(D|B)∪(D|C)，由全概率公式得：P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝0.3×0.2＋0.3×0.3＋0.4×0.4＝0.31.選B.7．(2023·江蘇無錫等四地模擬)已知A，B為兩個隨機事件，P(B)＝0.3，P(B|A)＝0.9，P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))＝0.2，則P(A)＝(B)A．0.1 B．eq\f(1,7)C．0.33 D．eq\f(3,7)[解析]P(B|A)＝eq\f(PBA,PA)＝0.9，所以P(BA)＝0.9P(A)，P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(PB\o(A,\s\up6(－)),P\o(A,\s\up6(－)))＝0.2，所以P(Beq\o(A,\s\up6(－)))＝0.2P(eq\o(A,\s\up6(－)))，所以P(BA)＋P(Beq\o(A,\s\up6(－)))＝0.2P(eq\o(A,\s\up6(－)))＋0.9P(A)，即P(BA)＋P(Beq\o(A,\s\up6(－)))＝0.2[1－P(A)]＋0.9P(A)，所以P(B)＝0.2[1－P(A)]＋0.9P(A)，即0.3＝0.7P(A)＋0.2，解得P(A)＝eq\f(1,7)，故選B.二、多選題8．(2024·江蘇基地大聯考)已知事件A，B，且P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，則(ABD)A．如果B?A，那么P(AB)＝0.3B．如果B?A，那么P(A∪B)＝0.4C．如果A與B相互獨立，那么P(A∪B)＝0.7D．如果A與B相互獨立，那么P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝0.42[解析]由B?A，則P(AB)＝P(B)＝0.3，A正確；由B?A，則P(A∪B)＝P(A)＝0.4，B正確；如果A與B相互獨立，則P(AB)＝P(A)P(B)＝0.12，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.58，C錯誤；由C分析及事件關系知：P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(A∪B)＝0.42，D正確．故選ABD.9．(2024·福建寧德一中檢測)一個袋中有大小、形狀完全相同的3個小球，顏色分別為紅、黃、藍，從袋中先后無放回地取出2個球，記“第一次取得紅球”為事件A，“第二次取到黃球”為事件B，則(AC)A．P(A)＝eq\f(1,3) B．A，B為互斥事件C．P(B|A)＝eq\f(1,2) D．A，B相互獨立[解析]P(A)＝eq\f(1,3)，A正確；A，B可同時發生，即“第一次取紅球，第二次取黃球”，A，B不互斥，B錯誤；在第一次取到紅球的條件下，第二次取到黃球的概率為eq\f(1,2)，C正確；P(B)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，P(AB)≠P(A)P(B)，∴A，B不獨立，D錯誤．故選AC.10．(2024·河北石家莊二中實驗學校調研)投擲一枚質地均勻的骰子，事件A＝“朝上一面點數為奇數”，事件B＝“朝上一面點數不超過2”，則下列敘述正確的是(BD)A．事件A，B互斥 B．事件A，B相互獨立C．P(A∪B)＝eq\f(5,6) D．P(B|A)＝eq\f(1,3)[解析]若朝上一面的點數為1，則事件A，B同時發生，∴事件A，B不互斥，A錯誤；∵事件A不影響事件B的發生，∴事件A，B相互獨立，B正確；P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq\f(3,6)＋eq\f(2,6)－eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)，C錯誤；∵P(AB)＝eq\f(1,6)，P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,6),\f(1,2))＝eq\f(1,3)，D正確．故選BD.11．(2024·江蘇鎮江一中階段測試)隨著春節的臨近，小王和小張等4位同學準備互相送祝福．他們每人寫了一個祝福的賀卡，這四張賀卡收齊后讓每人從中隨機抽取一張作為收到的新春祝福，則(BC)A．小王和小張恰好互換了賀卡的概率為eq\f(1,6)B．已知小王抽到的是小張寫的賀卡的條件下，小張抽到小王寫的賀卡的概率為eq\f(1,3)C．恰有一個人抽到自己寫的賀卡的概率為eq\f(1,3)D．每個人抽到的賀卡都不是自己寫的概率為eq\f(5,8)[解析]四個人每人從中隨機抽取一張共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)種抽法，其中小王和小張恰好互換了賀卡的抽法有Ceq\o\al(1,2)種，故小王和小張恰好互換了賀卡的概率為eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,12)，A錯誤；設小王抽到的是小張寫的賀卡為事件A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,4)，小張抽到小王寫的賀卡為事件B，則已知小王抽到的是小張寫的賀卡的條件下，小張抽到小王寫的賀卡的概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,12),\f(1,4))＝eq\f(1,3)，B正確；恰有一個人抽到自己寫的賀卡的抽法有