加QQ309000116進百度群內容2000G分成20多類自動更新永久服務第16講指對混合問題參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）1．（2021秋?龍鳳區校級月考）已知，不等式對于任意恒成立，則的取值范圍是A．， B．， C． D．，【解答】解：不等式對于任意恒成立，則①對于任意恒成立，令，則在時恒成立，因為在恒成立，故在上單調遞增，而，故①式即為在上恒成立，即②在上恒成立，令，，令得，當，；當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，故（e），要使②式成立，只需，即．故選：．2．（2021秋?江西月考）對任意，，不等式恒成立，則實數的取值范圍為A． B．， C．， D．，【解答】解：因為對任意，，不等式恒成立，所以對任意，，不等式恒成立，令，，，，，，令，，，，在，上單調遞增，所以且，當時，，所以存在，，，即，所以，所以在，上，，單調遞減，在，上，，單調遞增，所以的最小值為，，，所以單調遞增，所以，所以，所以在，上，，單調遞增，所以，所以，故選：．3．（2021秋?鼓樓區校級月考）已知對任意的，不等式恒成立，則正數的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：由題意，當等式對恒成立，即對恒成立，即對恒成立，令，則有對恒成立，又，令，則，當時，，故單調遞增，所以（1），即，故在上單調遞增，所以對恒成立，即對恒成立，令，則，當時，，則單調遞減，當時，，則單調遞增，所以的最小值為（e），則，所以正數的取值范圍是．故選：．4．（2021春?東至縣校級期中）若對任意，不等式恒成立，則的范圍是A． B．， C．， D．【解答】解：由題意可得：，，由可得，即，令，可得，由可得，由可得，如圖：可得在單調遞增，若，則，可得，令，只需要，對于恒成立，所以在單調遞減，所以，所以，實數的范圍為，，故選：．5．（2021?蘇州模擬）已知函數，，函數，若，對恒成立，則實數的取值范圍為A．， B．， C． D．【解答】解：，對恒成立，即，化為：，令，，，，可得時，函數取得極小值即最小值，（1），恒成立，函數在上單調遞增，而，，，即，令，，，可得時，函數取得極大值即最大值．．故選：．6．（2021?九江二模）若不等式恒成立，則實數的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解答】解：不等式恒成立，令，則原不等式等價于恒成立．在上單調遞增，，令，則，可得：時函數取得極小值，即最小值．（1）．，令，．．（e），時，，在上單調遞增；時，，在上單調遞減．（e）．實數的取值范圍是，．故選：．7．（2021?四川模擬）若，則的最大值為A． B． C． D．【解答】解：因為，，，所以，即，令，則，所以在上單調遞增，由，可得，，則恒成立，所以，令，，令，得，當，，單調遞減，在，，單調遞增，所以（1），所以，解得，所以的最大值為．故選：．8．（2021?遵義一模），不等式恒成立，則的最大值為A． B．0 C． D．【解答】解：原不等式可化為，構造，，令，可得，時，，時，，所以是函數的最小值，所以，當且僅當時等號成立，有零點，所以．故選：．9．（2021?湖北模擬）已知函數，若，時，恒成立，則實數的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：令，，，則恒成立，，令，若，在，時，，則，此時函數單調遞減，則（1），不符合題意；若，，令，解得，①當，即時，在，時，，單調遞增，即（1），則，即在，單調遞增，則（1）恒成立，符合題意；②當，即時，在，時，單調遞減，在，，單調遞增，（1），則，時，，，令，得，函數中，，在上單調遞減，則的值域為，因為，所以存在解，即，，故，時，，，時，，即，只需即可，則，解得，故符合題意．綜上，當時，不等式恒成立．故選：．10．（2021春?淇濱區校級月考）已知函數，當時，恒成立，則的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：由題意，若顯然不是恒大于零，故．（由4個選項也是顯然，可得，則顯然在，上恒成立；當時，，令，，在上單調遞增．因為，，所以，即，再設，令，則，易得在上單調遞增，在上單調遞減，所以，故，所以的取值范圍為．故選：．11．（2021?浙江模擬）已知函數，若，時，不等式恒成立，則實數的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【解答】解：由，且恒成立，得恒成立，即在，上恒成立．令，則．令，則，則在，上單調遞減，（3），（4），存在，使得，即，，當時，，即，單調遞增；當，時，，即，單調遞減．，又，，則，即．．，即實數的取值范圍為，．故選：．12．（2020?珠海三模）設函數恰有兩個極值點，則實數的取值范圍是A． B．， C． D．，【解答】解：求導得有兩個零點等價于函數有一個不等于1的零點，分離參數得，令，在遞減，在遞增，顯然在取得最小值，作的圖象，并作的圖象，注意到，，（原定義域，這里為方便討論，考慮，當時，直線與只有一個交點即只有一個零點（該零點值大于；當時在兩側附近同號，不是極值點；當時函數有兩個不同零點（其中一個零點等于，但此時在兩側附近同號，使得不是極值點不合．故選：．二．多選題（共3小題）13．（2021?沈河區校級開學）已知函數，，則A．函數在上無極值點 B．函數在上不存在極值點 C．若對任意，不等式恒成立，則實數的最小值 D．若，則的最大值為【解答】解：對于，則，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，故，故在遞增，故函數在上無極值點，故正確；對于，，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，故（1），故在遞增，函數在上無極值點，故正確；對于：由得：在遞增，不等式恒成立，則恒成立，故，設，則，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在遞減，故（e），故，故正確；對于：若，則，，，，且，時，，設，設，則，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在遞減，故（e），此時，故的最大值是，故正確；故選：．14．（2021?黃州區校級模擬）已知函數，的圖象與直線分別交于、兩點，則A． B．，曲線在處的切線總與曲線在處的切線相交 C．的最小值為1 D．，使得曲線在點處的切線也是曲線的切線【解答】解：對于，恒成立，要使函數與有交點，則，即正確；對于，設，的橫坐標分別為，，取，此時，，，，，，，（1），此時曲線在處的切線與曲線在處的切線斜率相等，兩條切線不相交，即錯誤；對于，，設，，則在上單調遞增，（1），當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，（1），的最小值為1，即選項正確；對于，函數在處的切線方程為，若此切線也是的切線，設切點為，，則，消去，得，設，，，（2），至少有兩個零點，有解，故的值存在，且大于0，即選項正確．故選：．15．（2021?重慶模擬）函數為常數）的圖象可能是A． B． C． D．【解答】解：令，解得，即函數有且只有一個零點，故不可能，，令，則，令，則，即函數在，上單調遞增，令，則，即函數在上單調遞減，當時，取得最小值，為，即，，且時，，時，，故當時，，單調遞增，選項可能，當時，存在兩個零點，，且，在和，上單調遞增，在，上單調遞減，選項可能，當時，存在唯一零點，且，在上單調遞增，在，上單調遞減，選項可能，故選：．三．填空題（共8小題）16．（2021秋?資中縣校級月考）已知，若不等式（2）對，恒成立，則實數的取值范圍是．【解答】解：函數，，因為，所以為上的偶函數，又因為，，所以，在上單調遞增，又，所以時，，所以在區間，單調遞增，不等式（2），由偶函數性質可得（2），即（2），由函數的單調性可得，所以，所以，，恒成立，令，則，當，時，，在，上單調遞增，當，時，，在，上單調遞減，所以當時，取極大值，即為的最大值，；令，，因為，，所以，故，所以在區間，單調遞減，所以在處取最小值，，所以，所以的取值范圍為．故答案為：．17．（2021春?浙江期中）設函數有兩個不同極值點，，則的取值范圍是，若，則的取值范圍是．【解答】解：函數，則，因為有兩個不同極值點，，則當時，有兩個不相等的實數根，，所以，解得，故的取值范圍是；因為，所以，，所以，令，故，則，所以，則在上單調遞增，所以，又當時，，所以，即，所以的取值范圍是．故答案為：；．18．（2021春?江西期中）若對任意，恒有為自然對數的底數），則實數的最小值為1．【解答】解：因為對任意恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則，，當時，，則單調遞減，當時，，則單調遞增，所以（1），故函數在上單調遞增，因為對任意恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立，所以對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則，令，解得，令，解得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，故（e），則，所以實數的最小值為1．故答案為：1．19．（2021?沙坪壩區校級開學）已知函數，若函數有唯一極值點，則實數的取值范圍是，．【解答】解：函數的定義域是，．函數有唯一極值點，則是函數的唯一一個極值點．是導函數的唯一根．在無變號零點，令，，①時，恒成立．在時單調遞增的的最小值為，無解，符合題意．②時，有解為：，時，，單調遞減時，，單調遞增的最小值為，由和圖象，它們切于，綜上所述，．故答案為：，．20．（2021春?南陽期末）若，不等式在上恒成立，則實數的取值范圍是．【解答】解：設，求導可得，在單調遞增，，，，，，，，，，，又在單調遞增，，即，，，設，，求導可得，令，解得，，解得，在單調遞增，在單調遞減，在取得極小值點，也為的最小值點，（e），即，可得則實數的取值范圍是．故答案為：．21．（2021春?萊州市期末）已知函數，，若，則的最大值是．【解答】解：設，則，，所以；構造函數，；又因為，所以在上單調遞減，所以當時，；當時，；所以在上單調遞增，在單調遞減，最大值為（2）；故答案為：．22．（2021春?上高縣校級月考）已知函數，，若存在，，使得成立，則的最小值為．【解答】解：函數的定義域為，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，又（1），所以時，；時，；時，，同時注意到，所以若存在，，使得成立，則且，所以，所以，所以構造函數，而，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以，即．故答案為：．23．（2021?茂名模擬）已知，，，若恒成立，則實數的取值范圍是，．【解答】解：恒成立恒成立恒成立，令，則，再令，則恒成立，在上單調遞增，又（1）（1），當時，，即，在上單調遞減；當時，，即，在上單調遞增；（1），，解得：，故答案為：，．四．解答題（共11小題）24．（2021秋?南明區校級月考）已知函數，（其中為自然對數的底數，為常數）．（1）討論函數的單調性；（2）證明：當函數有極大值，且極大值為時，恒成立．【解答】解：（1），，當時，，單調遞減；當時，令得，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，綜上，當時，在上單調遞減；當時，在單調遞增，在單調遞減；（2）證明：由（1）知，當時，取得極大值，函數的極大值為，，．令，要證明恒成立，只需．在上為減函數，且，（1），，，使得，即，①恒成立（當且僅當時取等號），②由①②得，，，（理由是：在上為增函數），即，故結論成立．25．（2021秋?金安區校級月考）已知函數（其中，為自然對數的底數）．（1）當時，討論函數的單調性；（2）當時，，求的取值范圍．【解答】解：（1）由題意知，，當時，由得，，，①若，即時，恒成立，故在上單調遞增；②若，即時，易得在和上單調遞增，在上單調道減；③若，即時，易得在和上單調遞增，在上單調遞減；綜上：當時，在上單調遞增；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減．（2）由題意知，對任意的恒成立，即對任意的恒成立，令，則，令，則在上顯然單調遞減，又（1），（e），故在上有唯一的實根，不妨設該實根為，則為的極大值點，故，又，代入上式得，故的取值范圍為．26．（2021秋?巴中月考）已知，．（1）討論函數的單調性；（2）當時，若對任意，恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（1）因為，則，①當時，恒成立，所以函數在上單調遞增；②當時，令，解得，令，解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減．綜上所述，當時，函數在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減；（2）當且時，恒成立，即對于恒成立，等價于對于恒成立，令，則問題轉化為對于恒成立，因為對于恒成立，所以在上單調遞增，則對于恒成立，等價于對于恒成立，故對于恒成立，令，則，當時，，則單調遞增，當時，，則單調遞減，所以當時，取得最大值（1），則，所以的取值范圍為．27．（2021秋?湖北月考）（1）已知函數，求證：；（2）若函數在，上為減函數，求實數的取值范圍．【解答】解：（1）證明：．（1分）因為，所以，，所以，所以在，上為減函數，（3分）于是（1），（e），故．（4分）（2）解：設，則，從而在，上為增函數，由，得（1）（e），即．（5分）當時，，則，從而，因為函數在，上為減函數，所以，即對，恒成立，即對，恒成立，根據（1），，所以，再結合，此時，．（7分）當時，，則，從而，因為函數在，上為減函數，所以，即對，恒成立，即對，恒成立，根據（1），，所以．再結合，此時．（9分）當時，則存在唯一的，使得，從而．當，時，，即存在，，且，使得，這與“在，上為減函數”矛盾，此時不合題意．（11分）綜上，實數的取值范圍是，，．（12分）28．（2021秋?重慶月考）已知函數有三個不同的極值點，，，且．（1）求實數的取值范圍；（2）若，求的最大值．【解答】解：（1），，由題意，，則或，所以有兩個等于1的正實根，令，則，即當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，因為（1），，，所以，的取值范圍為；（2）由題意可知，有三個極值點，，所以可轉化為，由單調性可知，隨著的增大，逐漸減小，而逐漸增大，令，當取最大，取最小值時，取最大值，所以，所以，則，所以，令，則，令，，當，，單調遞增，（1），所以，所以，，單調遞增，因為（3），所以，所以的最大值為3．29．（2021秋?龍巖月考）已知函數且為常數）．（Ⅰ）討論函數的極值點個數；（Ⅱ）若對任意的恒成立，求實數的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）由題設知：的定義域為，，令，在上恒成立，函數在上單調遞增，且值域為，①當時，在上恒成立，即，故在上單調遞增，無極值點；②當時，方程有唯一解為，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，是函數的極小值點，沒有極大值點．綜上，當時，無極值點，當時，函數只有1個極值點；（Ⅱ）不等式對任意的恒成立，即對任意的恒成立，對任意的恒成立記，則，記，則，易知在上恒成立，在上單調遞增，且，（1），存在，使得，且當時，即，函數在上單調遞減；當，時，即，故在，上單調遞增，，即，又，故，即，即，由（Ⅰ）知函數在上單調遞增，，，．綜上，實數的取值范圍是，．30．（2021春?浦城縣期中）已知函數，，．（1）寫出函數在，的零點個數，并證明；（2）當時，函數有零點，記的最大值為，證明：．【解答】（1）解：在，上有唯一零點．證明如下：由，得，，，在，上單調遞減，又（1），在，上恒成立，則在，上單調遞減，（2），（e），函數在，上有唯一零點；（2）證明：令，得，，由（1）可知，在，上有唯一零點，且在，上單調遞增，在，上單調遞減，的最大值．下面再證明．一方面（2）；另一方面，要證，即證，又，則只需證明，記，則，由（1）可知在上恒成立，在上單調遞減，即（2）．綜上所述，．31．（2021春?東城區校級期中）已知函數，其中為常數．（1）當時，求的最大值；（2）若在區間，上的最大值為，求的值；（3）求證：．【解答】（1）解：函數的定義域為，當時，，則，令，解得，當時，，當時，，所以在上為單調遞增函數，在上為單調遞減函數，故當時，取得最大值（1），所以當時，求的最大值為；（2）解：函數，則，，，，①若，則，所以在，上單調遞增，故（e），不符合題意；②若，令，可得，結合，，解得；令，可得，結合，，解得，所以在上為單調遞增函數，在，上為單調遞減函數，則，令，可得，解得，因為，所以符合題意，故的值為；（3）證明：函數，，要證，即證，令，則，所以恒成