湖南省衡陽市蒸湘區2024年中考一模數學試題一、選擇題（每小題3分，10小題共30分，每小題只有一個正確答案）1．下列各式中，屬于最簡二次根式的是（）A．3 B．4 C．12 D．2．我市某一周的最高氣溫統計如下表：則這組數據的中位數與眾數分別是（）最高氣溫（℃）25262728天數1123A．27，28 B．27.5，28 C．28，27 D．26.5，273．已知點A是⊙O外一點，且⊙O的半徑為6，則OA的長可能為（）A．2 B．4 C．6 D．84．某學校每年抽出資金購買書籍用于擴充圖書室．已知2021年該校用于購買圖書的費用為10000元，2023年用于購買圖書的費用增加到14400元．設該校這兩年購買圖書的費用的年平均增長率為x，據題意可列方程為（）A．10000(1+x)C．10000(1+x)5．如圖，一架梯子斜靠在墻上，梯子AB的長為10米，梯子與地面形成的夾角為∠BAC=41°，則墻的高度BC為（）A．10cos41°米 B．10sin41°米 C．10cos6．如圖，點D在△ABC的邊AC上，若要添加一個條件使得△ADB∽△ABC，則下列條件中不能滿足要求的是（）A．∠ABD=∠C B．ABBC=ADDB C．7．如圖，在菱形ABCD中，E為邊CD上一點，AE、BD交于點O，若S△DOE:SA．4:9 B．2:3 C．8．已知拋物線y=(A．拋物線的開口向上B．拋物線的對稱軸為直線x=1C．當x<1時，y隨x的增大而減小D．將拋物線向右平移2個單位，再向上平移3個單位，則得到的拋物線解析式為y=9．如圖是二次函數y1=ax2+bx+c和一次函數yA．x<?1 B．x>2C．?1<x<2 D．x<?1或x>210．如圖，矩形ABCD中，AB=3,BC=5，點P是BC邊上的一個動點（點P不與點B、C重合），現將△PCD沿直線PD折疊，使點C落在點C1處；作∠BPC1的平分線交AB于點E．設BP=xA． B．C． D．二、填空題（每小題3分，8小題，共24分）11．若二次根式x?1有意義，則x的取值范圍是12．已知xy=5213．如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點．若DE=3，則BC=．14．一個底面半徑是8cm，母線長為9cm的圓錐的側面積為．15．如圖，河堤橫斷面迎水坡BC的坡比是1:3，堤高AC=5m，則坡面BC的長度是16．如圖，線段AB兩個端點的坐標分別為A(3,3)、B(4,1)，以原點O為位似中心，在第一象限內將線段AB放大到原來的2倍后得到線段CD，則端點17．如圖，點A、B、C、D都在⊙O上，OA⊥BC，∠CDA=25°，則∠AOB=18．在2023年中考體育考試前，小康對自己某次實心球的訓練錄像進行了分析，發現實心球飛行路線是一條拋物線，若不考慮空氣阻力，實心球的飛行高度y（單位：米）與飛行的水平距離x（單位：米）之間具有函數關系y=?116x三、解答題（8小題，共66分）19．解方程x20．計算：(?121．隨著移動互聯網的迅猛發展，人們購物的支付方式更加多樣、便捷．某商場想了解顧客支付方式的選擇情況，設計了一份問卷進行調查，要求被調查者選擇且只選擇一種最喜歡的支付方式．現將調查結果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統計圖．請結合圖中所給出的信息，解答下列問題：（1）扇形統計圖中m=，“其他”支付方式所對應的圓心角為度；（2）小明早上買早餐，若只能一種支付方式，剛好選擇現金支付的概率為；（3）甲乙兩人到商場購物，請用列表或畫樹狀圖的方法，求出兩人恰好都選擇微信支付的概率．22．關于x的一元二次方程x2?4x?2m+5=0有兩個實數根x1（1）求實數m的取值范圍；（2）滿足x1x223．為了增強學生體質、錘煉學生意志，某校組織二次定向越野拉練活動．如圖，A點為出發點，途中設置兩個檢查點，分別為B點和C點，行進路線為A→B→C→A．B點在A點的南偏東25°方向32km處，C點在A點的北偏東80°方向，行進路線AB和BC所在直線的夾角∠ABC為（1）求行進路線BC和CA所在直線的夾角∠BCA的度數；（2）求檢查點B和C之間的距離（結果保留根號）．24．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以邊AB為直徑的⊙O經過點C，E是⊙O上的一點，且∠BEC=45°．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若BE=8cm,sin∠BCE=4（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．（結果保留π）25．矩形ABCD在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點B、C在x軸上，AD交y軸于點E，連接OA，線段OC、OB的長是方程x2?11x+18=0的兩個根（1）求點B、C的坐標；（2）點F在邊CD上，且F點的縱坐標是3，連接OF，過點F作直線FG⊥OF，交AD于點G，若矩形ABCD的面積等于66，雙曲線y=kx的一個分支過點G，求（3）在（2）的條件下，在直線FG上并且在直線CD的右側是否存在點P，使得以O、F、P為頂點的三角形與△AOB相似．若存在，請求出點P坐標；若不存在，請說明理由．26．定義：在平面直角坐標系xOy中，當點N在圖形M的內部，或在圖形M上，且點N的橫坐標和縱坐標相等時，則稱點N為圖形M的“夢之點”．圖①圖②（1）如圖①，矩形ABCD的頂點坐標分別是A(?1,2),B(?1,?1),（2）如圖②，已知點A、B是拋物線y=?12x2+x+92（3）在（2）的條件下，點P為拋物線上一點，點Q為平面內一點，是否存在點P、Q，使得以AB為對角線，以A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出P點坐標；若不存在，請說明理由．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：

A、3是最簡二次根式，A符合題意；

B、4=2，B不符合題意；

C、12=22，C不符合題意；

D、82．【答案】A【解析】【解答】解：因為這組數據中出現次數最多是28℃，一共出現了3次，所以這組數據的眾數是28℃，將這組數據從小到大排列為：25，26，27，27，28，28，28，所以這組數據的中位數為27，即這組數據的中位數為27℃．故答案為：A．【分析】根據眾數和中位數的定義求解即可。注意：求中位數時一定要排序。3．【答案】D【解析】【解答】∵⊙O的半徑為6，點A是⊙O外一點，

∴OA的長大于半徑6，

故答案為：D.

【分析】根據“若點在圓的外部，則點到原心的距離大于半徑”分析求解即可.4．【答案】A【解析】【解答】解：由題意可得，10000(故答案為：A．【分析】基本關系：初量×（1+增長率）2=末量，據此列出相應的方程即可．5．【答案】B【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB=10米，∠BAC=41°，∵sin∴BC=AB?sin∠BAC=10sin故答案為：B．【分析】正弦就是對邊與斜邊的比值，據此求解。6．【答案】B【解析】【解答】解：A．若∠ABD=∠C，∠A=∠A，則△ADB∽△ABC，故此選項不符合題意；B．若ABBC=ADC．若∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，則△ADB∽△ABC，故此選項不符合題意；D．若ADAB=ABAC，故答案為：B．【分析】根據相似三角形的判定方法依次判斷即可．7．【答案】B【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=AD，∴∠EDO=∠ABO，∠DEO=∠BAO，∴△DOE∽△BOA，∴S△DOE∴DEAB則DE:故答案為：B．【分析】根據菱形的性質證明△DOE∽△BOA，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解即可．8．【答案】D【解析】【解答】解：拋物線y=(x?1)2+2由解析式得，拋物線的對稱軸為直線x=1，B選項說法正確，不符合題意；當x<1時，y隨x的增大而減小，C選項說法正確，不符合題意；將拋物線向右平移2個單位，再向上平移3個單位，則得到的拋物線解析式為y=(x?1?2)2+2+3故答案為：D．【分析】根據二次函數的開口方向、對稱軸、增減性以及二次函數的平移的規律逐一判斷即可．二次函數平移的規律：左加右減，上加下減。9．【答案】D【解析】【解答】解：根據圖像，函數y1和y2的圖像的兩交點的橫坐標為2和∵當x<?1或x>2時，二次函數圖象在直線的下方，∴當y1<y2時，x的取值范圍是故答案為：D．【分析】先確定二次函數圖象在直線下方部分，再確定這部分圖象對應的x的取值范圍即可。10．【答案】D【解析】【解答】由翻折的性質得，∠CPD=∠C'PD，∵PE平分∠BPC1，∴∠BPE=∠C1PE，∴∠BPE+∠CPD=90°，∵∠C=90°，∴∠CPD+∠PDC=90°，∴∠BPE=∠PDC，又∵∠B=∠C=90°，∴△PCD∽△EBP，

PEPC=PBCD，∴y=13x（5﹣x）=﹣13（x﹣52）2∴函數圖象為D正確．故答案為：D．【分析】根據矩形的性質、角平分線的性質、折疊的性質準備條件，利用兩個角對應相等證明△PCD∽△EBP，根據相似三角形對應邊成比例建立二次函數，利用二次函數的性質求解即可。11．【答案】x≥1【解析】【解答】解：根據二次根式有意義的條件，x﹣1≥0，∴x≥1．故答案為：x≥1．【分析】根據二次根式的性質可知，被開方數大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范圍．此題考查了二次根式有意義的條件，只要保證被開方數為非負數即可．12．【答案】7【解析】【解答】解：∵xy∴設x＝5a，則y＝2a，那么x+yy故答案為：72【分析】設x＝5a，則y＝2a，代入原式即可求解.13．【答案】6【解析】【解答】解：∵點D、E分別是AB、AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴BC=2DE=2×3=6．故答案為：6．【分析】根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半解答即可．14．【答案】72π【解析】【解答】解：圓錐的側面積=1故答案為：72π．【分析】圓錐的側面展開圖為扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，結合扇形的面積公式計算求解即可．15．【答案】10m【解析】【解答】解：∵∴AB=5∴BC=故答案為：10m．【分析】坡比就是坡角的正切值，即豎直高度與水平距離的比值，據此求解。16．【答案】(6【解析】【解答】解：∵以原點O為位似中心，在第一象限內將線段AB放大到原來的2倍后得到線段CD，∴A點與C點時對應點，∵A點的坐標為(3，3)，位似比為：1:∴點C的坐標為：(6，6)，故答案為：(6，6)．【分析】根據位似圖形的性質，結合對應點坐標與位似比的關系求解即可．17．【答案】50【解析】【解答】解：∵AO⊥BC∴∵∠CDA=25°∴∠AOB=2∠CDA=50°故答案為：50

【分析】根據垂徑定理可得AC?=AB18．【答案】12米【解析】【解答】解：當y=0時，?1整理，得x2解得x1=12，所以小康這次實心球訓練的成績是12米．故答案為：12．【分析】令y=0，建立一元二次方程求出x的值，再判斷即可．19．【答案】解：x2-4x+1=0，x2-4x=-1，x2-4x+4=-1+4，（x-2）2=3，x-2=±3，解得x1=2-3，x2=2+3；【解析】【分析】在本題中，把常數項1移項后，應該在左右兩邊同時加上一次項系數-4的一半的平方；20．【答案】解：原式=?1?=?1?3+2=?4?【解析】【解答】解：原式=(?1)?(3?2=?1?3+2=?4?2【分析】先將特殊角的三角函數值，二次根式，絕對值和乘方化簡，再進行計算即可．21．【答案】（1）25；54（2）1（3）解：方法一：列表將“支付寶”支付記為A，“微信”支付記為B，“現金”支付記為C，“其它”支付記為D．列表如下：乙甲ABCDA(A(A(A(AB(B(B(B(BC(C(C(C(CD(D(D(D(D∵共有16種選擇的結果，其中兩人恰好都選擇微信支付方式的只有1種∴兩人恰好都選擇微信支付的概率為1方法二：畫樹狀圖將“支付寶”支付記為A，“微信”支付記為B，“現金”支付記為C，“其它”支付記為D．畫樹狀圖如下：∵共有16種選擇的結果，其中兩人恰好都選擇微信支付方式的只有1種∴兩人恰好都選擇微信支付的概率為1【解析】【解答】解：（1）調查總人數為60÷30%∴m即m=25；“其他”支付方式所對應的圓心角的度數為：360°×30故答案為：25，54；（2）共有4種支付方式，∴只能一種支付方式，剛好選擇現金支付的概率為1故答案為：14（3）方法二：畫樹狀圖將“支付寶”支付記為A，“微信”支付記為B，“現金”支付記為C，“其它”支付記為D．畫樹狀圖如下：∵共有16種選擇的結果，其中兩人恰好都選擇微信支付方式的只有1種∴兩人恰好都選擇微信支付的概率為116【分析】（1）基本關系：部分=總數×部分所占的百分率，扇形圓心角的度數=360°×部分所占的百分率，據此求解即可。（2）利用概率公式直接求解．（3）先畫出樹狀圖，確定所有等可能的結果的數量和兩人恰好都選擇微信支付的結果的數量，再根據概率公式求解．22．【答案】（1）解：∵方程有兩個實數根x1,∴Δ=∴m>（2）解：∵x∴∵∴?2m+5+4=解得：m=?3或m=1又∵m>∴m=1【解析】【分析】（1）一元二次方程有兩個不相等的實數根，判別式b2-4ac的值大于零，據此求解；（2）根據根與系數的關系得到x1+x2=423．【答案】（1）解：∵∠NAC=80°，∠SAB=25°∴∠CAB=180°?∠NAC?∠SAB=75°又∵∠ABC=45°∴在△ABC中∠BCA=180°?∠ABC?∠CAB=60°所以行進路線BC和CA所在直線的夾角∠BCA的度數為60°（2）解：過點A作AD⊥BC，垂足為D在Rt△ABD中，AB=3∴AD=AB?BD=AB?在Rt△ADC中，∠ACB=60°∴CD=∴BC=BD+CD=∴檢查點B和C之間的距離為(【解析】【分析】（1）利用方位角可得∠MAC=80°，∠SAB=25°，再利用三角形內角和定理求解即可；（2）過點A作AD⊥BC，垂足為D，由等角對等邊得出AD=BD，再由正弦函數及正切函數的定義式求解即可．24．【答案】（1）證明：連接OC．∵∠BEC=45°∴∠BOC=90°又∵四邊形ABCD為平行四邊形∴AB∥DC∴∠OCD=∠BOC=90°∴OC⊥CD又∵點C在⊙O上∴CD是⊙O的切線（2）解：連接AE∵AB為⊙O的直徑∴∠AEB=90°又∵∠EAB=∠BCE∴∴又∵BE=8cm∴AB=10cm∴AO=∴⊙O的半徑為5cm（3）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD又∵⊙O的半徑為5cm∴AB=10又∵OC⊥AB∴SS∴【解析】【分析】（1）連接OC，根據圓周角定理求出∠BOC的度數，由平行線的性質可得∠OCD=90°，根據切線的判定定理求證即可；（2）連接AE，由直徑所對的圓周角是直角得到∠AEB=90°，再利用正弦的定義式求出AB的長，進一步求出圓的半徑；（3）分別求出平行四邊形ABCD的面積、三角形BOC的面積，扇形AOC的面積，再根據S陰影25．【答案】（1）解：解方程x解得x=2或x=9∵OC>OB∴OC=9∴B點的坐標為(?2,（2）解：∵∴CD=又∵F點的縱坐標是3∴CF=3∵FG⊥OF∴∠GFO=90°∴∠GFD+∠OFC=90°又∵在Rt△OFC中∠FOC+∠OFC=90°∴∠GFD=∠FOC又∵∠GDF=∠FCO=90°∴△OFC∽△FGD∴∴DG=又∵四邊形ABCD為矩形∴ED=OC=9∴EG=ED?GD=8∴G點的坐標為(8將G(8,6)代入到雙曲線方程y=∴解得k=48（3）解：存在，理由如下由題意得：AB=6在Rt△OFC中O∵F∴直線GF的方程為x?8即y=?3x+30設P點坐標為(①△AOB∽△OPF則AB∴F∴OP=∴解得m=10或m=8又因為P點在直線CD的右側∴m=10∴P點坐標為(②△AOB∽△POF則AB∴F∴