PAGE1第03講直角三角形課程標準學習目標①勾股定理及逆定理②直角三角形中HL1．學習并掌握勾股定理及其逆定理，能夠運用其解決問題．2．探索并掌握直角三角形全等的判定方法“HL”．3．會用直角三角形全等的判定方法“HL”判定兩個直角三角形全等．知識點01直角三角形的性質定理及推論定理1直角三角形的兩個銳角互余；定理2在直角三角形中，如果一個角等于300，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.推論1：在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于.【即學即練1】在中，，那么另一個銳角的度數是．【答案】/20度【分析】本題考查的是直角三角形的性質，掌握直角三角形兩銳角互余是解題的關鍵．根據直角三角形兩銳角互余進行計算即可．【詳解】解：在中，，．故答案為：．【即學即練2】如圖，在中，，，點D在斜邊上，且，則°．【答案】【分析】本題考查直角三角形性質、等腰三角的性質及三角形內角和定理，根據直角三角形的性質得到，根據等腰三角形的性質以及三角形內角和定理得出，即可求解，熟練掌握等腰三角的性質及三角形內角和定理是解答的關鍵．【詳解】解：∵在中，，，∴，，∴，∴，故答案為：．知識點02勾股定理及逆定理圖形名稱定理符號表示邊的定理在直角三角形中，斜邊大于直角邊.在中，勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方.在中，，勾股定理逆定理如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形.在中，，【即學即練1】在中，、、的對應邊分別是a、b、c，則不能確定是直角三角形的是（

）A． B．，C． D．【答案】D【分析】本題考查了直角三角形的性質、分別根據勾股定理的逆定理，三角形的內角和定理可以判斷出結果，熟練運用三角形的性質是解題的關鍵．【詳解】解：A、設，則，，，∵，∴是直角三角形，能確定，該選項不符合題意；B、∵，，，∴是直角三角形，能確定，該選項不符合題意；C、設，則，，∵，即，解得，則，∴是直角三角形，能確定，該選項不符合題意；D、∵，，∴即，此時不能確定或是否為，∴不確定是直角三角形，該選項符合題意；故選：D．【即學即練2】如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫格點，網格中有以格點A，B，C為頂點的，請根據所學的知識回答下列問題：(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)求的面積．【詳解】（1）解：是直角三角形，理由：，，，所以，所以是直角三角形；（2）的面積：．【即學即練3】如圖，學校有一塊三角形空地，計劃將這塊三角形空地分割成四邊形和，分別擺放“秋海棠”和“天竺葵”兩種不同的花卉，經測量，，，，，，，求四邊形的面積．【詳解】解：由題意得：，，在中，由勾股定理得：，，，是直角三角形，且，．答：四邊形的面積為18．知識點03直角三角形全等的判定HL法圖形定理符號如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應相等，那么這兩個直角三角形全等（簡記：H.L）在中，，【即學即練1】如圖，，垂足分別為．(1)求證：；(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)12【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，掌握直角三角形全等的判定方法是解題的關鍵．（1）根據“如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應相等，那么這兩個直角三角形全等”，即可證明；（2）利用全等三角形的對應邊相等，面積相等，即可求解．【詳解】（1）證明：在和中，，∴；（2）解：由（1）知：，∴，，∴，∴，∴．即四邊形的面積是12．題型01直角三角形的兩個銳角互余例題：如圖，在等腰中，，是邊上的高，若，則的度數為．【答案】【知識點】等邊對等角、三角形內角和定理的應用、直角三角形的兩個銳角互余【分析】本題考查了等腰三角形的性質及三角形的內角和，熟練掌握等邊對等角是解題的關鍵．利用等腰三角形的性質及三角形內角和即可求解．【詳解】解：是等腰三角形，且，，，又是邊上的高，，，，故答案為：．【變式訓練】1．如圖，直線于點A，若，則的度數．【答案】/58度【知識點】垂線的定義理解、根據平行線的性質求角的度數、直角三角形的兩個銳角互余【分析】本題主要考查了平行線的性質，垂線，直角三角形的性質等知識點，由平行線的性質可得，根據垂直定義可得，根據直角三角形的兩個銳角互余即可解答，熟練掌握平行線的性質，直角三角形的性質是解決此題的關鍵．【詳解】∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．2．在中，AD為邊上的高，，，則的度數為．【答案】或【知識點】直角三角形的兩個銳角互余【分析】本題考查了直角三角形的性質、角的和與差．本題分為銳角三角形和為鈍角三角形兩種情況，畫出相應的圖形再根據三角形的高以及直角三角形兩銳角互余，由圖形中角的和差關系進行計算即可．【詳解】解：如下圖所示，當為銳角三角形時，，，，，又，；如下圖所示，當為鈍角三角形時，，，，，又，．故答案為：或．題型02銳角互余的三角形是直角三角形例題：如圖，在中，，點在邊上（不與點，點重合）．(1)若點在邊上，且，求證：；(2)請用尺子在圖中畫出的邊上的高，若，，，求的長度．【答案】(1)證明見解析；(2)的長為．【知識點】畫三角形的高、直角三角形的兩個銳角互余、銳角互余的三角形是直角三角形【分析】（）由，則，故有，從而可得，根據直角三角形的判定方法即可求證；（）先畫出圖形，再根據即可求解；本題考查了直角三角形的性質和判定，等面積法，掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：如圖，∵，∴，∴∴的長為．【變式訓練】1．如圖，在中，是上一點，延長至點，使得，連接．(1)求證：；(2)若，求的面積．【答案】(1)見解析；(2)．【知識點】垂線的定義理解、直角三角形的兩個銳角互余、全等的性質和SAS綜合（SAS）、銳角互余的三角形是直角三角形【分析】（1）延長交CD于點，證明，得，由，，得，進而，即可得證；（2）根據，，得，從而，，進而利用面積公式即可得解．【詳解】（1）解：如圖，延長交CD于點，∵，∴，，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴，，∴．【點睛】本題主要考查了鄰補角的性質，全等三角形的判定及性質，垂線定義，直角三角形的兩銳角互余，熟練掌握全等三角形的判定及性質是解題的關鍵．2．如圖，在中，D為上一點，，．(1)判斷的形狀；(2)判斷是否與垂直．【答案】(1)是直角三角形(2)【知識點】銳角互余的三角形是直角三角形、三角形內角和定理的應用【分析】本題考查了直角三角形的性質，三角形內角和定理，垂直的定義，熟練掌握三角形內角和定理是解題的關鍵，（1）證出即可得到結論，（2）求出，可得出．【詳解】（1）解：是直角三角形，理由如下：∵，，∴，∴，∴，∴是直角三角形．（2）解：，理由如下：∵，，∴，∴，∴．題型03判斷三邊能否構成直角三角形例題：由下列條件不能判定為直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】三角形內角和定理的應用、判斷三邊能否構成直角三角形【分析】本題考查勾股定理的逆定理的應用，三角形的內角和定理的應用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．由勾股定理的逆定理，三角形的內角和定理逐一分析判斷即可．【詳解】解：A、∵，，∴，是直角三角形，不符合題意；B、∵，，∴，是直角三角形，不符合題意；C、∵，∴故不能判定是直角三角形，符合題意；D、∵，∴，即，故是直角三角形，不符合題意；故選：C．【變式訓練】1．下列說法中，正確的是（

）A．若，則是直角三角形B．若三角形是直角三角形，三角形的三邊為a，b，c，則有C．以三個連續自然數為三邊長一定能構成直角三角形D．在中，若，則是直角三角形【答案】A【知識點】三角形內角和定理的應用、用勾股定理解三角形、判斷三邊能否構成直角三角形【分析】本題主要考查了直角三角形的性質和判定，三角形內角和定理應用，勾股定理及其逆定理，注意在敘述命題時要敘述準確．根據直角三角形的判定進行分析，從而得到答案．【詳解】解：A、∵，∴，∴，∴是直角三角形，故A正確；B、三角形是直角三角形，當直角邊分別為a、b，斜邊為c時，則有，故B錯誤；C、以三個連續自然數為三邊長不一定能構成直角三角形，如：邊長分別為4，5，6時，因為，所以此時不能構成直角三角形，故C錯誤；D、在中，若，則,，，因此不是直角三角形，故D錯誤．故選：A．2．中，的對邊分別為a、b、c，下列條件中，不能判斷是直角三角形的是（）A． B．C． D．【答案】C【知識點】三角形內角和定理的應用、判斷三邊能否構成直角三角形【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的內角和定理，解題的關鍵在于能夠熟練掌握勾股定理的逆定理．利用勾股定理的逆定理可以判斷AD；根據即可推出即可判斷B；利用三角形內角和等于180度，即可求出，即可判斷C．【詳解】解：A、∵在中，、、的對邊分別為、、，∴當，，時，，∴此時是直角三角形，故本選項不符合題意；B、∵，∴即，∴此時是直角三角形，故本選項不符合題意；C、∵，，∴，∴此時不是直角三角形，故本選項符合題意；D、∵，，，∴，∴此時是直角三角形，故本選項不符合題意；故選：C．題型04在網格中判斷直角三角形例題：如圖，網格中每個小正方形的邊長都為，的頂點均在網格的格點上．(1)，，；(2)是直角三角形嗎？請作出判斷并說明理由．【答案】(1)，，(2)是直角三角形，理由見解析【知識點】勾股定理與網格問題、在網格中判斷直角三角形【分析】（）利用勾股定理計算即可；（）利用勾股定理的逆定理判斷即可；本題考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解題的關鍵．【詳解】（1）解：由網格得，，，，故答案為：，，；（2）解：是直角三角形，理由如下：∵，，∴，∴是直角三角形．【變式訓練】1．如圖，每個格子都是邊長為1的小正方形，，四邊形的四個頂點都在格點上．(1)求四邊形的周長；(2)連結，試判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)(2)是直角三角形【知識點】等腰三角形的定義、在網格中判斷直角三角形、勾股定理與網格問題【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定義，正確計算是解題的關鍵．（）利用網格和勾股定理求出四邊形的各邊長即可求解；（）利用勾股定理的逆定理和等腰三角形的定義可得是等腰直角三角形．【詳解】（1）解：，，，，∴；（2）解：是等腰直角三角形，理由如下，∵，，，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，．2．如圖，正方形網格的每個小方格的邊長均為1，的頂點在格點上．(1)直接寫出______，______，______；(2)判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)13、52、65；(2)是直角三角形，證明見解析．【知識點】在網格中判斷直角三角形、勾股定理與網格問題【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解題的關鍵．（1）利用勾股定理，進行計算即可解答；（2）利用勾股定理的逆定理，進行計算即可解答．【詳解】（1）解：由題意得：，，，故答案為：13、52、65；（2）解：是直角三角形．證明：，，，是直角三角形，且．題型05利用勾股定理的逆定理求解例題：如圖，△ABC中，，，邊上的中線．(1)與互相垂直嗎？為什么？(2)求的長．【答案】(1)與互相垂直，理由見解析(2)．【知識點】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，關鍵是利用勾股定理的逆定理證得．（1）先根據三角形中線的定義得出，然后在中，根據勾股定理的逆定理即可證明；（2）由（1）可得，再根據勾股定理即可求出的長．【詳解】（1）解：與互相垂直，證明：∵是邊上的中線，，∴，∵，，∴，∴是直角三角形，且，∴；（2）解：∵，∴，在中，．【變式訓練】1．如圖，中，，，，B是延長線上的點，連接，若，(1)說明為直角，(2)求的長．【答案】(1)(2)【知識點】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解【分析】本題考查勾股定理定理及逆定理，根據逆定理得到是直角三角形，利用勾股定理求出是解題關鍵．（1）根據勾股定理逆定理確定即可得出結果；（2）利用勾股定理得出，結合圖形即可求解．【詳解】（1）解：∵，，，∴，，∴，∴；（2）∵，∴，∵，，∴，∴．2．如圖，在四邊形中，已知，，，．(1)求的長；(2)證明．【答案】(1)(2)證明見解析【知識點】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解【分析】此題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．（1）利用勾股定理即可求出的長；（2）利用勾股定理的逆定理即可判斷是直角三角形，是斜邊，即可證明結論成立．【詳解】（1）解：在中，，．∴．（2）在中，，，∴，∴是直角三角形，是斜邊，∴．題型06勾股定理逆定理的實際應用例題：號臺風“煙花”風力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞力．如圖，臺風“煙花”中心沿東西方向由向移動，已知點為一海港，且點與直線上的兩點、的距離分別為，，又，經測量，距離臺風中心及以內的地區會受到影響．(1)海港受臺風影響嗎？為什么？(2)若臺風中心的移動速度為千米/時，則臺風影響該海港持續的時間有多長？【答案】(1)受影響，理由見解析(2)小時【知識點】用勾股定理解三角形、判斷是否受臺風影響(勾股定理的應用)、勾股定理逆定理的實際應用【分析】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關鍵是構造出直角三角形，再利用勾股定理解答．（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，進而得出的度數；利用三角形面積得出的長，進而得出海港是否受臺風影響；（2）利用勾股定理得出以及的長，進而得出臺風影響該海港持續的時間【詳解】（1）解：海港受臺風影響，理由：，，，，是直角三角形，；過點作于，是直角三角形，，，，以臺風中心為圓心周圍以內為受影響區域，海港C受臺風影響；（2）解：當時，正好影響港口，，，臺風的速度為千米/小時，(小時)．答：臺風影響該海港持續的時間為小時．【變式訓練】1．如圖，某中學有一塊四邊形的空地，學校計劃在空地上種植草皮，經測量，，，，．(1)求四邊形的面積；(2)若每平方米草皮需要元，問學校需要投入多少資金買草皮？【答案】(1)(2)學校需要投入元買草皮【知識點】勾股定理逆定理的實際應用、用勾股定理解三角形、有理數乘法的實際應用【分析】此題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的應用，通過勾股定理由邊與邊的關系也可證明直角三角形是解題的關鍵．（1）連接，利用勾股定理求出，由、AB、的長度關系可得三角形為一直角三角形，用即可解答；（2）根據總價單價數量計算即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接，，，，在中，，，，∴，∴，∴是直角三角形，且，∴四邊形的面積為：，；（2）解：根據題意：（元）答：學校需要投入元買草皮．2．如圖，某居民小區有一塊四邊形空地，小道和CE把這塊空地分成了和三個區域，分別擺放三種不同的花卉．已知米，米，米，米．(1)求四邊形的面積；(2)小明和小林同時以相同的速度同時從點出發，分別沿和兩條不同的路徑散步，結果兩人同時到達點，求線段DE的長度．【答案】(1)平方米(2)線段DE的長度為米【知識點】勾股定理逆定理的實際應用、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理的應用；（1）根據勾股定理求得，進而根據勾股定理的逆定理證明是直角三角形，再根據三角形的面積公式，即可求解；（2）根據題意得出米，設米，則米，在中，根據勾股定理建立方程，解方程，即可求解．【詳解】（1）解：∵米，米∴米∵∴是直角三角形，且∴四邊形的面積為平方米（2）解：由（1）可得是直角三角形，依題意，米，設米，則米在中，∴解得：，即線段DE的長度為米．題型07利用HL判定直角三角形全等例題：如圖，在中，平分，于，于，且，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【知識點】三角形角平分線的定義、根據三線合一證明、用HL證全等（HL）、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，等腰三角形的三線合一性質，（1）根據角平分線的定義得，證明，由全等三角形的性質即可得證；（2）根據等腰三角形的三線合一性質得，繼而得到，利用證明全等即可；解題的關鍵是掌握全等三角形的判定的一般方法：、、、、（僅用于證明直角三角形全等）．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）∵，，，∴，∵，∴，在和中，，∴．【變式訓練】1．已知，如圖，點在同一條直線上，．求證：；【答案】見解析【知識點】用HL證全等（HL）【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關鍵，先證，再證即可．【詳解】證明：，和是直角三角形，，，即，在和中，，．2．如圖，，是的高，且．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，，求的高．【答案】(1)見解析；(2)．【知識點】用HL證全等（HL）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定義【分析】（）由“”可證，可得，再根據等腰三角形的定義即可求解；（）由直角三角形的性質可求的長，最后由勾股定理可求解；本題考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質和勾股定理，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：∵，是的高，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：∵，，∴，∴，∴．題型08直角三角形全等的性質和HL綜合例題：如圖，在中，，D為延長線上一點，點E在邊上，且，．(1)求證：；(2)若，求的度數．【答案】(1)證明見解析；(2)【知識點】等邊對等角、用HL證全等（HL）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．（1）由全等三角形的判定定理證得結論；（2）利用①中全等三角形的對應角相等，等腰直角三角形的性質可以求得【詳解】（1）證明：∵，為延長線上一點，∴在和中，，∴()．（2）∵，∴∵，，∴∴，∴【變式訓練】1．如圖，，，垂足分別為B，E，且，．(1)求證：；(2)若，，，求的長．【答案】(1)見解析；(2)．【知識點】用HL證全等（HL）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質和勾股定理．（1）利用證明即可；（2）利用全等三角形的性質求得，再利用含30度角的直角三角形的性質和勾股定理求得，據此求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，即．∵，，．在和中，，∴；（2）解：由（1）知，∴．∵，∴，∴，∵，∴．2．如圖，在四邊形中，，是上的一點，且，連接，，．(1)求證：；(2)求的度數．【答案】(1)見解析(2)【知識點】等邊對等角、全等的性質和HL綜合（HL）、用HL證全等（HL）【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，關鍵是掌握全等三角形的判定定理．（1）根據證明直角三角形全等的“”定理，證明即可．（2）根據全等三角形的性質，對應角相等求值即可．【詳解】（1），和均為直角三角形．在和中，，．（2），，，，，，，在中，，．一、單選題1．（24-25八年級上·江蘇無錫·階段練習）下列條件中，不能判斷為直角三角形的是（

）A．，， B．C． D．【答案】D【知識點】三角形內角和定理的應用、判斷三邊能否構成直角三角形【分析】本題考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理，三角形內角和定理是解題的關鍵．利用勾股定理的逆定理，三角形內角和，直角三角形兩個銳角互余，逐項分析即可．【詳解】解：A．，，故該選項能判斷為直角三角形，不符合題意；B．，設，則，，故該選項能判斷為直角三角形，不符合題意；C．，，，故該選項能判斷為直角三角形，不符合題意；D．，設，，解得故該選項不能判斷為直角三角形，符合題意；故選：D．2．（24-25八年級上·安徽安慶·階段練習）如圖所示的網格是正方形網格，圖形的各個頂點均為格點，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】等邊對等角、勾股定理與網格問題、用HL證全等（HL）【分析】本題考查了網格與勾股定理，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，掌握網格的特點，全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．根據題意可證，得到，則有，由網格的性質可得是等腰直角三角形，，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵網格是正方形網格，∴，，，∴，∴，∴，∴，在中，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故選：A．3．（24-25八年級上·山東淄博·期中）若，，是直角三角形的三邊長，且，則斜邊上的高為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】因式分解的應用、判斷三邊能否構成直角三角形【分析】本題考查因式分解的應用，非負數的性質，勾股定理的逆定理的應用；先利用完全平方式進行變形求a，b，c的值，再證明進而根據等面積法，即可求解．【詳解】解：∵．∴．∴．∴，，．∴，，．∴斜邊上的高為4．（24-25八年級上·河北廊坊·期末）如圖，在中，，點在邊上，點在邊上，于點，連接，若，則線段的長是（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【知識點】用HL證全等（HL）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，掌握其判定的方法和性質是解題的關鍵．根據題意，可證，得到，則有，再證，得到，由，即可求解．【詳解】解：在和中，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故選：B．5．（24-25八年級上·遼寧·階段練習）如圖，是直角三角形，，，過邊上一點剪下，點在上，當是直角三角形時，則的度數是（

）A． B． C． D．或【答案】D【知識點】直角三角形的兩個銳角互余【分析】本題主要考查了三角形內角和定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握三角形內角和為．分兩種情況討論：當點為直角頂點時，當點D為直角頂點時，分別求出結果即可．【詳解】解：當點D為直角頂點時，如圖所示：則，∵，∴；當點E為直角頂點時，如圖所示：則；綜上分析可知：或．故選：D．二、填空題6．（24-25八年級上·貴州畢節·階段練習）若的三邊分別是a．b．c，且a，b，c滿足，則【答案】B【知識點】判斷三邊能否構成直角三角形【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，解題的關鍵是熟練掌握，如果一個三角形的三條邊a、b、c滿足，那么這個三角形為直角三角形．根據勾股定理的逆定理進行判斷即可．【詳解】解：∵，∴為直角三角形，．故答案為：7．（2024·北京東城·一模）在中，，點D在上，于點E，且，連接．若，則的度數為．【答案】35【知識點】用HL證全等（HL）【分析】本題考查了直角三角形的兩個銳角互余、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握以上知識點，學會通過全等三角形證明角相等是解題的關鍵．由，，求得，然后證明，推導出，即可求解．【詳解】解：，，，于點E，，在和中，，，，．故答案為：35．8．（24-25八年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，等腰中底邊，D是腰上一點，且，，則的長為．【答案】/【知識點】用勾股定理解三角形、判斷三邊能否構成直角三角形【分析】本題考查了勾股定理的逆定理、勾股定理等知識點，能根據勾股定理的逆定理求得是正確解決本題的關鍵．根據勾股定理的逆定理求出，即，設，在中，由勾股定理得出，求出即可．【詳解】解：設，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，，，故答案為：．9．（23-24八年級上·四川成都·期中）如圖，在中，，，是邊上的動點，點關于直線的對稱點為，連接交于，當為直角三角形時，的長是．【答案】或【知識點】用勾股定理解三角形、根據成軸對稱圖形的特征進行求解、直角三角形的兩個銳角互余、三線合一【分析】分兩種情況討論：當時，由三線合一可得，由勾股定理可得，由軸對稱的性質可得，，進而可得，設，則，在中，根據勾股定理可得，即，解方程即可求出的長；當時，作于點，利用鄰補角互補可得，由軸對稱的性質可得，利用鄰補角互補可得，由直角三角形的兩個銳角互余可得，進而可得，由等角對等邊可得，根據即可求出的長；綜上，即可得出答案．【詳解】解：分兩種情況討論：當時，如圖，，，，，，，由軸對稱的性質可得：，，，設，則，在中，根據勾股定理可得：，即：，解得：，；當時，如圖，作于點，，，，由軸對稱的性質可得：，，，，，；綜上，的長是或，故答案為：或．【點睛】本題主要考查了三線合一，勾股定理，軸對稱的性質，線段的和與差，解一元一次方程，垂線的性質，利用鄰補角互補求角度，直角三角形的兩個銳角互余，等角對等邊等知識點，運用分類討論思想是解題的關鍵．10．（24-25八年級上·遼寧沈陽·期中）如圖，點為直線上的一個動點，于點，于點，點在點右側，并且點、在直線同側，，當長為時，為直角三角形．【答案】或或【知識點】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形【分析】本題考查的是勾股定理及其逆定理，作于，根據矩形的性質得到，，根據勾股定理用CD表示出、，分類討論，根據勾股定理的逆定理列式計算，得到答案．【詳解】解：作于，則四邊形為矩形，∴，，∴，由勾股定理得，

當為直角三角形時，即解得，，同理可得：當時，由勾股定理得，

∴∴解得：當時，由得：解得：綜上：的長為：或或．故答案為：或或．三、解答題11．（24-25八年級上·湖北荊州·期中）如圖，，垂足為，交于，，．(1)求證：；(2)求的度數．【答案】(1)見解析(2)【知識點】全等的性質和HL綜合（HL）、全等三角形的性質【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質，掌握斜邊直角判定兩個三角形全等是解題的關鍵．（1）根據題意證明即可求解；（2）由，得到，，再根據三角形內角和定理即可求解．【詳解】（1）證明：，，在和中，，，；（2）解：，，，，，．12．（24-25八年級上·廣西南寧·階段練習）如圖，，．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)2【知識點】用HL證全等（HL）、根據等角對等邊證明等腰三角形、全等三角形的性質【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的判定等知識；熟練掌握等腰三角形的判定，證明三角形全等是解題的關鍵．（1）由證明即可；（2）由全等三角形的性質得，再由等腰三角形的判定得，即可得出結論．【詳解】（1）證明：∵，∴和是直角三角形，在和中，，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴．13．（24-25八年級上·廣西南寧·階段練習）如圖所示，已知，且點，，在同一條直線上，延長交于點F．(1)若，，求的長度；(2)①求的度數；②求證：．【答案】(1)；(2)①；②見解析【知識點】直角三角形的兩個銳角互余、全等三角形的性質【分析】本題考查三角形全等的性質．掌握兩個全等三角形的對應角相等和對應邊相等是解題關鍵．（1）由三角形全等的性質可得出，，從而可求出；（2）①由三角形全等的性質可得出，．根據點B，C，D在同一條直線上，即可求出；②由①得．由對頂角相等即得出，從而即可求出，即可證明．【詳解】（1）解；∵，∴，，∴；（2）證明：①∵，∴，．∵點B，C，D在同一條直線上，∴；②∵，∴．∵，∴，∴，即．14．（24-25八年級上·貴州畢節·期中）數學課上，老師拿了一張如圖所示的等腰三角形紙片．已知底邊，為上一點，且，．(1)試判斷的形狀，并說明理由；(2)求的長．【答案】(1)直角三角形(2)【知識點】等腰三角形的定義、判斷三邊能否構成直角三角形、用勾股定理解三角形【分析】本題主要考查等腰三角形的性質，勾股定理的逆定理應用，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．（1）根據勾股定理逆定理得到，即可證明結論；（2）設，根據等腰三角形的性質得到，由勾股定理列出等式計算即可得到答案．【詳解】（1）證明：直角三角形，理由如下：，，，，，故是直角三角形；（2）解：設，，等腰三角形紙片，，是直角三角形，，是直角三角形，，，解得，故．15．（24-25八年級上·山西晉中·期中）如圖，某濕地公園有一塊四邊形草坪，公園管理處計劃修一條A到的小路，經測量，，，，，．

(1)求小路的長；(2)淇淇帶著小狗在草坪上玩耍，淇淇站在點處，小狗從點開始以的速度在小路