專題01集合-2025年高考數學一輪復習講義（新高考專用）考試要求：1.了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關系，能在自然語言、圖形語言的基礎上，用符號語言刻畫集合.2.理解集合間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.3.在具體情境中，了解全集與空集的含義.4.理解兩個集合的并集、交集與補集的含義，會求兩個簡單集合的并集、交集與補集.5.能使用Venn圖表達集合間的基本關系與基本運算.1.元素與集合(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于，表示符號分別為∈和?.(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.(4)常用數集及記法名稱自然數集正整數集整數集有理數集實數集記法NN*或N＋ZQR2.集合間的基本關系(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集.記作A?B(或B?A).(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA).(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.(4)空集的性質：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集符號表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補集為?UA圖形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}4.集合的運算性質(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A.1.若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個.2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.3.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.4.?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).1．設集合A={0，?a}，B={1，a?2，A．2 B．1 C．23 D．2．已知集合M=?2,?1,0,1,2，A．?2,?1,0,1 B．0,1,2 C．?23．設集合U=R，集合M={x|x<1}，N={x|?1<x<2}，則{x|x≥2}=（）A．?U(M∪N) B．N∪?UM 4．已知等差數列{an}的公差為2π3，集合S={cosaA．－1 B．?12 C．0 5．設全集U=Z，集合M={x∣x=3k+1,A．{x|x=3kC．{x∣x=3k?2,k∈Z6．若集合M={x∣xA．{x|0≤x<2} B．{x|C．{x|3≤x<16} D．{x|7．設全集U={1，2，3，4，5}，集合M滿足?UA．2∈M B．3∈M C．4?M D．5?M8．設全集U={?2，?1，0，1，2，3}，集合A={?1，2}，B={x∣x2?4x+3=0}A．{1，3} B．{0，3} C．{?2，1} D．{?2，0}9．已知集合A={?1，1，2，4}，B={x||x?1|≤1}，則A∩B=（）A．{?1，2} B．{1，2} C．{1，4} D．{?1，4}10．設集合A={x|?2<x<4}，B={2，3，A．{2} B．{2，3} C．{3，11．設集合M=｛x|0＜x＜4｝，N=｛x|13A．｛x|0＜x≤13｝ B．｛x|1C．｛x|4≤x＜5｝ D．｛x|0＜x≤5｝12．已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，則S∩T=（）A．? B．S C．T D．Z一、【考點1】集合的基本概念13．設集合A={x|3x<27,x∈N}A．{?1,0,C．{0,1} 14．已知集合x|x?A．{0} B．{1}C．{－1，1} D．{0，-1，1}15．下列命題正確的是（）A．{1B．集合{(0,C．不等式x2?6x+5<0D．2x?1x+3≥0的解集是{x16．已知集合A={A．A∩B={1B．A∪B=(?1C．12?{x?y∣x∈AD．?a∈A17．已知集合S={a2,a,0}18．已知集合A={?1,2,4}，B={2,m2反思提升：1.研究集合問題時，首先要明確構成集合的元素是什么，即弄清該集合是數集、點集，還是其他集合；然后再看集合的構成元素滿足的限制條件是什么，從而準確把握集合的含義.2.利用集合元素的限制條件求參數的值或確定集合中元素的個數時，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.二、【考點2】集合間的基本關系19．滿足M?{a,b,c,A．1 B．2 C．3 D．420．已知集合A={x|log2x2≤2}，B={m}A．(?∞,2] C．(?∞,2)∪(2,21．設集合A={x∣xA．A∩B=B B．B∩Z的元素個數為16C．A∪B=B D．A∩Z的子集個數為6422．下列說法正確的是（）A．集合M={?2，3x2+3x?4，x2B．設全集為R，若A?B，則?C．集合{x|x=3n+1D．“x和y都是無理數”是“x+y是無理數”的必要不充分條件23．已知全集U=R，集合A={x|x?ax?1≤0}，B={x||x+2|<3}．若A∪B=A，則a24．已知數列{an}為等差數列，數列{bn}為等比數列．若集合A={a1,a2,a3反思提升：1.若B?A，應分B＝?和B≠?兩種情況討論.2.已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將兩個集合間的關系轉化為元素或區間端點間的關系，進而求得參數范圍.注意合理利用數軸、Venn圖幫助分析及對參數進行討論.求得參數后，一定要把端點值代入進行驗證，否則易增解或漏解.三、【考點3】集合的運算25．已知集合A={x|x<1}，B={x|loA．(0,14) B．[0,126．已知集合A={x|x?66x?1≤0}，B={x||6?x|>A．(6,376C．(?∞,6)∪(3727．設A,B是R中兩個子集，對x∈R，定義：m=0,x?A1,A．B=?RA B．B=?R(A∩B)28．已知Z(A)表示集合A的整數元素的個數，若集合M={xA．Z(M)C．Z(N)29．建黨百年之際，影片《1921》《長津湖》《革命者》都已陸續上映，截止2021年10月底，《長津湖》票房收入已超56億元，某市文化調查機構，在至少觀看了這三部影片中的其中一部影片的市民中隨機抽取了若干人進行調查，得知其中觀看了《1921》的有51人，觀看了《長津湖》的有60人，觀看了《革命者》的有50人，數據如圖，則圖中a=；b=；c=.30．設Nm*={1,2,?,m}表示不超過m(m∈N?)的正整數集合，Ak表示k反思提升：1.進行集合運算時，首先看集合能否化簡，能化簡的先化簡，再研究其關系并進行運算.2.數形結合思想的應用：(1)離散型數集或抽象集合間的運算，常借助Venn圖求解；(2)連續型數集的運算，常借助數軸求解，運用數軸時要特別注意端點是實心還是空心.四、【基礎篇】31．若集合A={x∈N|y=3?x}，B={0,A．0 B．1 C．2 D．332．集合A={?2,?1,0,A．4 B．8 C．16 D．233．如圖所示的Venn圖中，A、B是非空集合，定義集合A?B為陰影部分表示的集合．若A={x∈Z|x2?3x?4<0}，B={x∈Z||x|≤2}A．{?1,0,C．{?2,?1,34．對于任意集合M，N，下列關系正確的是A．M∪B．?C．M∩D．?35．若對任意x∈A，1x∈A，則稱A．{?1,1} B．{12,2}36．若集合M和N關系的Venn圖如圖所示，則M,A．M={0B．M={x∣C．M={x∣y=lgx}D．M={(x37．已知集合A={x|x≤3}，集合B={x|x≤m+1}，能使A∩B=A成立的充分不必要條件有（）A．m>0 B．m>1 C．m>3 D．m>438．已知集合A={?2,?1,0,1,39．已知集合A={x∈N|13<3x+1<27}，B={x|x40．已知集合M={?2,?1,0,1}，N={x|41．已知集合A={x∣x（1）若A∩B=A，求實數m的取值范圍；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，求實數m的取值范圍.42．已知集合A={x|4x?x（1）若A∩B=?，求實數m的取值范圍；（2）命題p:x∈A，命題q:x∈B，若p是五、【能力篇】43．設集合A={?1,0,1}，B={(xA．60 B．100 C．120 D．13044．將函數f(x)=2sin(ωx?π3)(ω>0)A．13 B．2 C．3 45．已知集合A={x|y=x+1?x}，B={y|y=46．已知數列A:a1,a2,?,（1）若數列A：1，3，5，7，求集合T，并寫出P(（2）若A是遞減數列，求證：“P(T)（3）已知數列A:2,六、【培優篇】47．若函數y=f(x)滿足對?x∈R都有f(x)+f(2?x)=2，且y=f(x)?1為R上的奇函數，當x∈(?1,1)時，f(x)=2A．11 B．12 C．13 D．1448．函數f(x)=2A．M?(?∞,1] B．M?[49．若集合A,B,C，D滿足A,B,C都是D的子集，且A∩B，B∩C，A∩C均只有一個元素，且A∩B∩C=?，稱

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：依題意，a-2=0或2a-2=0

當a-2=0時，解得a=2，此時A={0，-2}，B={1，0，2}，不符合題意；

當2a-2=0時，解得a=1.此時A={0，-1}，B={1，-1，0}，符合題意.故答案為：B.【分析】根據題意可得a-2=0或2a-2=0然后討論求得a的值，再驗證即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：N={x|x2?x?6≥0}=(?∞所以M∩N={?2}．故答案為：C．【分析】解一元二次不等式求出集合N，根據交集的運算即可得解．3．【答案】A【解析】【解答】根據題意

對A，M∪N=x|x<2，則CU(M∪N)=x|x≥2，符合題意，

對B，CuM=x|x≥1，則N∪CUM=x|x>-1，不符合題意，

對C，M∩N=x|-1<x<1，則4．【答案】B【解析】【解答】設等差數列{an}的首項為a1，由其公差為2π3，

易得a2=a1+2π3，a3=a1+4π3，a4=a1+2πan=a1+2π3(n-1)，

即得cosa1，cosa2=cosa1+2π3，cosa35．【答案】A【解析】【解答】因為整數集Z={x|x=3k,k∈Z}∪{x|x=3k+1,故選：A．【分析】利用集合的并集與交集的運算，結合補集的運算求解，即可得到結果.6．【答案】D【解析】【解答】M={x∣0≤x<16}，故答案為：D

【分析】求出集合M={x∣0≤x<16}，7．【答案】A【解析】【解答】易知M={2，4，5}，對比選項即可判斷，A正確.故選：A【分析】先寫出集合M，即可判斷.8．【答案】D【解析】【解答】解：由題意得，B={x∣x2?4x+3=0}=1，3，所以A∪B={-1，1，2，3}，

所以?U9．【答案】B【解析】【解答】B={x|0≤x≤2}，故A∩B={1，2}.故答案為：B【分析】先求出集合B，再根據交集的概念求A∩B即可.10．【答案】B【解析】【解答】由題設有A∩B={2，故答案為：B.

【分析】由交集的定義，即可得出答案。11．【答案】B【解析】【解答】解：M∩N即求集合M，N的公共元素，所以M∩N={x|13≤x﹤4}，

故答案為：B

12．【答案】C【解析】【解答】當n=2k(k∈Z)時，S={s|s=4k+1,k∈z},

當n=2k+1(k∈Z)時,S={s|s=4k+3,k∈z}

所以T?S,所以S∩T=T,

故答案為：C.

【分析】分n的奇偶討論集合S。13．【答案】A【解析】【解答】由題意知A={x|3B={x∈Z|?2<x<2}={?1,所以A∪B={?1,故選：A.【分析】先求出指數不等式的結果，接著利用并集的運算求出結果即可得到結果.14．【答案】D【解析】【解答】解：因為集合x|x?所以一元二次方程x?a2x?1=0有等根時，

可得當方程有兩不相等實根時，x=a2=0綜上所述，實數a所有取值的集合為0,1,?1.故答案為：D.【分析】根據集合中元素和為1結合一元二次方程求解的方法，從而得出a的取值集合.15．【答案】A,C【解析】【解答】A.{1,B.集合{(0,C.不等式x2?6x+5<0的解集是D.2x?1x+3≥0的解集是{x|故選：AC【分析】根據兩個集合相等即可判斷A選項；B集合是點集構成的集合，有兩個元素，所以真子集個數為3；對于CD，解一元二次不等式與分式不等式求解即可得到結果；16．【答案】B,C,D【解析】【解答】由題意得A={故A∩B={0,1,由于x∈A,y∈B，故x?y<11?(若{y∣y=lg(x2?ax+9)}=R即a2?36≥0，則a≥6或即?a∈A,故選：BCD【分析】先求出集合A的解集，進而利用集合的運算即可判斷ABC的正誤；對于D利用真數大于0，即可得到參數a的范圍，即可得到結果.17．【答案】-1【解析】【解答】由1∈S，可得a2=1或當a=1時，集合S={1,當a2=1時，a=?1或1（舍去），集合綜上，a=?1.故答案為：?1.【分析】分類討論，求解出a的值，接著檢驗集合互異性即可得到結果.18．【答案】{?2【解析】【解答】由題意B?A，所以m2=?1或m2=4，則所以實數m的取值集合為{?2,故答案為：{?2,【分析】利用由兩個集合的關系求出參數m的值，進而驗證集合的互異性即可得到結果.19．【答案】B【解析】【解答】由M∩{a,b,c}={a}可得：{a}?M，a∈M，所以M={a}或M={a,【分析】根據集合的運算結合集合間的關系求解即可得到結果.20．【答案】D【解析】【解答】由題意可得A={x|0<x因為A∩B=B，則B?A，所以m∈[?2,故選：D．【分析】先求出對數不等式的結果，結合兩個集合的關系運算求解即可得到結果.21．【答案】B,C,D【解析】【解答】對于ABC，因為A={x∣x所以B={xy∣x∈A,y∈A}={x∣?6≤x≤9}，即所以A∩B=A,A∪B=B,對于D，而A∩Z有2+1+3=6個元素，所以A∩Z的子集個數為26故選：BCD.【分析】先利用一元二次不等式求解出集合A的范圍內，進而求出集合B的范圍，接著結合集合的運算與集合間的關系對沒一個選項進行判斷即可得到結果.22．【答案】B,C【解析】【解答】對于A：由2∈M，若3x當x=1時，x2+x?4=?2不滿足互異性，舍去，當x=?2時，若x2當x=2時，3x2+3x?4=14合題意，當x=?3故x=?3或2，A錯誤；對于B：若A?B，則?R對于C：令集合{x|x=3n?2,n∈Z}中的n=k+1,對于D：x=3,y=?3?x+y=0不是無理數，若x+y=3+1為無理數，可取x=3,y=1，故選：BC.【分析】對于A利用反代法加上驗證即可判斷正誤；利用集合間的運算即可得到結果；對于C的除余問題，化簡即可得到結果；對于D利用特殊值進行代換即可判斷正誤.23．【答案】-5【解析】【解答】因為B={x||x+2|<3}={x|?5<x<1}，當a<1時，A={x|a≤x<1}，若A∪B=A，則B?A．在數軸上表示出集合A，B，如圖，則a≤?5；當a>1時，A={x|1<x≤a}，此時A∪B=A不成立，當a=1時，A=?，此時A∪B=A不成立．綜上，a的最大值為?5．故答案為：?5【分析】先求出集合B的范圍，利用分式不等式求出集合aA的范圍，接著根據兩個集合間的運算，畫出數軸，即可得到結果。24．【答案】5【解析】【解答】由{a1,a2可得b2=?2，則b22=b1b令{an}中的a所以2a=?2+b，②根據①②得出a=1,b=4，所以a+b=5；令{an}中的a所以2b=?2+a，③根據①③得出a=4,b=1，所以a+b=5；同理令{an}中的a所以2a=?2+b，與①聯立可a+b=5；令{an}中的a所以2b=?2+a，與①聯立可a+b=5；綜上所述a+b=5.故答案為：a+b=5.

【分析】根據題意，判斷出b2=?2，根據等比數列的性質可得b22=b1b3=425．【答案】A【解析】【解答】A={x|x<1}={x|0≤x<1}，故A∩B={x|0≤x<1}∩{x|0<x<1故選：A【分析】兩邊平方求出集合A的范圍，利用對數不等式的運算求出B的范圍，根據集合的運算即可求出結果。26．【答案】B【解析】【解答】解：因為A={x|x?6B={x||6?x|>1所以A∪B=(?∞,故選：B．【分析】利用分式不等式求解出集合A的范圍，利用絕對值不等式求出集合B的范圍，結合集合的運算即可得到結果。27．【答案】A,C【解析】【解答】解：因為m=0,x?A1,所以m，n的值一個為0，另一個為1，即x∈A時，x?B，或x∈B時，x?A，所以A,B的關系為B=?故選；AC【分析】根據新定義判斷集合A與集合B的集合關系，即可得到結果。28．【答案】B,C【解析】【解答】x2?9x?10<0，得?1<x<10，所以lg(x?1)<1，0<x?1<10，1<x<11，所以N={x|1<x<11}所以Z(M)=10，Z(N)=9，M∪N={x|?1<x<11}，?R故選：BC【分析】利用一元二次不等式求解除集合M的范圍，利用對數不等式求取出集合N的方程，結合集合間的運算即可得到結果。29．【答案】9；8；10【解析】【解答】由題意得：28+a+b+6=5135+a+c+6=6026+b+c+6=50，解得：故答案為：9；8；10.【分析】根據維恩圖列出等式求解即可都要結果。30．【答案】{3,【解析】【解答】當m=3,k=2時，A2因為A2?N所以A2={1,2}或{1,由題中定義可知：Tm于是由S(?5?而16129<即5+163136≈22所以m的最大值為22，故答案為：{3,

【分析】根據新定義求解即可得到T3，2的值；根據新定義，得到Tm，3集合的表示，進而列出S(T31．【答案】D【解析】【解答】因為A={x∈N|3?x≥0}={0,1,2,所以集合A∩B的真子集的個數為22故選：D.【分析】根據定義域求出集合A的范圍，結合集合的運算即可得到結果。32．【答案】A【解析】【解答】由題意可得B={x|x?2}，所以A∩B={3,所以其子集的個數為22故選：A．【分析】對于集合B，求出指數不等式的解集，結合集合的運算即可得到結果。33．【答案】D【解析】【解答】因為A={x∈Z|xB={x∈Z||x|≤2}={?2,則A∩B={0,1,由集合A?B的運算可知，A?B表示A∪B中去掉A∩B的部分，所以A?B={?2,故選：D【分析】分別求出集合A與集合B的范圍，結合新定義即可得到結果。34．【答案】B【解析】【解答】解：對于A：如圖所知，

?M∪NN為區域①，所以M∪?M∪N對于B：?M∪N(M∩N)為區域①和③；(?M∪NM)為區域③，(?M∪NN)為區域①，則對于C：(?M∪NN)為區域①，M∩?M∪NN為區域①，不等于區域②（區域對于D：?M∪N(M∩N)為區域①和③；而(?M∪NM)為區域③，(故答案為：B.【分析】利用韋恩圖進行判斷即可得到結果.35．【答案】A,B,D【解析】【解答】根據“影子關系”集合的定義，可知{?1,1}，{1由{x|x2>1}，得{x|x<?1或x>1}，當x=2故選：ABD【分析】根據新定義分別對選項進行判斷即可得到答案。36．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由集合M和N關系的Venn圖，得出N≠?M.

對于A，因為M={0,2,4,6},N={4}，所以，N≠?M，滿足題意，所以A對；

對于B，因為M={x∣x2<1}=x|-1<x<1,N={x∣x>?1}，所以，M≠?N37．【答案】C,D【解析】【解答】A∩B=A當且僅當A是B的子集，當且僅當m+1≥3，即m≥2，對比選項可知使得m≥2成立的充分不必要條件有m>3，m>4.故選：CD.【分析】由題意可得集合A是集合B的子集，結合集合間的關系判斷即可得到結果。38．【答案】1【解析】【解答】因為A∩B={0,設f(x)=x則f(0)<0，f(1)故答案為：1．【分析】數形結合，將二次圖像草圖畫出，進而列出不等式組求解即可得到結果。39．【答案】8【解析】【解答】由1∈A∩B可知，則1∈B，可得1?3+m=0，解得：m=2，所以B={x|x2?3x+2=0}={x|(x?1)(x?2)=0}A={x∈N|1所以A∪B={0,1,2}，則故答案為：8【分析】將1帶入集合B求出m的值，接著計算出集合A的范圍，利用集合間的運算求解即可得到結果.40．【答案】[1【解析】【解答】因為M={?2,?1,0,所以M∩N={?1,0}，所以?2≤a?3<?1，解得則實數a的取值范圍是[1,故答案為：[1,【分析】根據m∩n有兩個元素，即可判斷出a-3的范圍，化簡即可得到結果。41．【答案】（1）由題意知A={因為A∩B=A，所以A?B，則1?m≤?32m+3≥2，解得m≥4，則實數m的取值范圍是[4（2）因為“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，所以B是A的真子集，當B=?時，1?m≥2m+3解得m≤?2當B≠?時，1?m≥?32m+3≤21?m<2m+3（等號不能同時取得），解得綜上，m∈(?∞,【解析】【分析】（1）根據A∩B=A，可得到A?B，列出不等式即可得到m的范圍；

（2）根據題意可以得到B是A的真子集，分類討論B=?與B≠?，列出不等式即可得到m的取值范圍。42．【答案】（1）由A={x|4x?x由A∩B=?，①若2m≥1?m，即m≥13時，②若2m<1?m，即m<13時，需m<131?m≤1綜上，實數m的取值范圍為{m|（2）由已知A是B的真子集，知1?m>2m2m≤11?m≥3，且兩個端點不同時取等號，解得由實數m的取值范圍為{m|【解析】【分析】（1）先求出集合A的范圍，根據A∩B=?，分類討論求出m的范圍；

（2）根據題意判斷出A是B的真子集，列出不等式，接著驗證端點即可得到結果.43．【答案】D【解析】【解答】解：由題意可知集合B滿足1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3的元素的個數，

44．【答案】A,B【解析】【解答】依題意，g(x)=2sin[ω(于是得y=g(x)的一個單調遞增區間是[?π因此，[0,π4]所以，選項C，D不滿足，選項A，B滿足.故選：AB【分析】先對f(x)進行伸縮變換得到g(x)，再利用y=g(x45．【答案】{x|x≠1}【解析】【解答】要使得y=x+1?x有意義，則x≥01?x≥0，解得若y=11?1?x有意義，則1?1?x≠0而1?x≥0且1?x≠1，所以1?1?x所以B={y|y<0或y≥1}，從而A∩B={1}，故答案為：{x|x≠1}.

【分析】對于集合A，根據函數定義域列出不等式組求出其范圍；對于集合