第十章二元一次方程組10.3實際問題與二元一次方程組人教版七年級下冊學習目標合作探究之方法總結1、審題2、設未知量3、分段推敲找等量關系4、列方程求解5、選擇正確方案設計意圖：

讓學生原來模糊的意識、零散的經驗得以梳理，從而初步掌握探究同類問題的一般思路要求：獨立審題，獨立完成第1題，第2、3題，組內討論，組內代表展示成果，群學點評。

設計意圖：1、通過檢測使學生剛剛獲取的經驗得到鞏固和深化，強化建模解題的思路；2、通過分層展示，類比點評，提高分析和解決問題的能力。設計意圖：1、通過小結，再次讓學生感受“數學來源于生活，服務于生活”；2、明確建模解題的三個環節“將實際問題轉化為數學模型、解決數學模型、利用模型結論解釋實際問題。課堂小結方程t=270電話計費問題分段分類知

識生活中不是缺少美,而是缺少發現美的眼睛，課堂上不是缺少智慧,而是缺少贊美的語言！最牛組長最棒組員情

感探究3：電話計費問題方式二劃算方式一劃算035015027088元方式一劃算方式二劃算58＋0.25(t－150)=8解之得：t=270電話計費問題方程分段分類設計意圖：讓學生在探究過程中始終明確一條線、一個模型，即“分段、分類討論”和方程。

養牛場原有30只大牛和15只小牛，1天約用飼料675kg；一周后又購進12只大牛和5只小牛，這時1天約用飼料940kg.飼養員李大叔估計每只大牛1天約需飼料18到20kg，每只小牛1天約需飼料7到8kg.你認為李大叔估計的準確嗎？列方程組解決簡單實際問題問題1題中有哪些未知量，你如何設未知數？問題2題中有哪些等量關系？(1)30只大牛和15只小牛一天需用飼料為675kg;(2)(30+12)只大牛和(15+5)只小牛一天需用飼料為940kg.解得：x=

,

y=

.

+

=675,

+

=940解:設每頭大牛和小牛平均1天各需用飼料為xkg和ykg，根據等量關系，列方程組：答:每頭大牛和每頭小牛1天各需用飼料為20kg和5kg，飼養員李大叔估計每天大牛需用飼料18到20千克，每頭小牛一天需用7到8千克與計算有一定的出入.30x15y42x20y205探索新知

+

=42,

+

=20.劇情發展：隨著養牛場規模逐漸擴大，李大叔需聘請飼養員協助管理現有的42頭大牛和20頭小牛，已知甲種飼養員每人可負責8頭大牛和4頭小牛，乙種飼養員每人可負責5頭大牛和2頭小牛，請問李大叔應聘請甲乙兩種飼養員各多少人？解：設李大叔應聘請甲種飼養員x人，乙種飼養員y人，則：8x5y4x2y答：李大叔應聘請甲種飼養員4人，乙種飼養員2人.探索新知解得：x=4，

y=2例1

某市舉辦中學生足球比賽，規定勝一場得3分，平一場得1分.市第二中學足球隊比賽11場，沒有輸過一場，共得27分，試問該隊勝幾場，平幾場？題中的未知量有勝的場數和平的場數勝場平場合計場數得分x3xyy1127典例精析分析勝的場數+平的場數=11；勝場得分+平場得分=27.等量關系解：設市第二中學足球隊勝x場，平y場.依題意可得答：該市第二中學足球隊勝8場，平3場.通過上述兩題，總結用二元一次方程組解決實際問題的步驟典例精析解得：一審二設三列四解五驗六答四解利用__________法或___________解出未知數的值；三列根據___個等量關系列出方程組；二設用_______表示題目中的未知數；一審弄清題意和題目中的_________；數量關系字母2代入消元加減消元法典例精析用二元一次方程組解決實際問題的步驟五驗檢驗所求的解是否符合實際意義；六答寫出答語.典例精析和差倍分問題某商店經銷甲、乙兩種商品，現有如下信息.信息1：甲、乙兩種商品的進貨單價之和是3元.信息2：甲商品零售單價比進貨單價多1元，乙商品零售單價比進貨單價的2倍少1元信息3：按零售單價購買甲商品3件和乙商品2件，共付了12元.請根據以上信息，求甲、乙兩種商品的零售單價.解：設甲商品的零售單價為x元，乙商品的零售單價為y元.商品零售單價進貨單價等量關系甲xx-1甲的進貨單價+乙的進貨單價=3,3×甲的零售單價+2×乙的零售單價=12乙y(y+1)/2依題意得，解得，答：甲商品的零售單價為2元，乙商品的零售單價為3元.典例精析行程問題A,B兩碼頭相距140km，一艘輪船在兩碼頭之間航行，順水航行用了7h，逆水航行用了10h，求這艘輪船在靜水中的速度和水流速度解：設這艘輪船在靜水中的速度為xkm/h，水流速度為ykm/h依題意得，解得，路程速度時間順流140x+y7逆流140x-y10答：靜水速度為17km/h，水流速度為3km/h.分析：對于行程問題，一般可以借助示意圖表示題中的數量關系，可以更加直觀的找到相等關系.甲、乙兩地相距4km，以各自的速度同時出發.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，兩人0.5h后相遇.試問兩人的速度各是多少？典例精析行程問題（1）同時出發，同向而行甲出發點乙出發點4km甲追上乙乙2h行程甲2h行程（2）同時出發，相向而行甲出發點乙出發點4km相遇地甲0.5h行程乙0.5h行程甲2h行程=4km+乙2h行程甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km解：設甲、乙的速度分別為xkm/h,ykm/h.根據題意與分析中圖示的兩個相等關系，得解方程組，得答：甲的速度為5km/h,乙的速度為3km/h.2x-2y=40.5x+0.5y=4x=3y=5典例精析行程問題小華從家里到學校的路是一段平路和一段下坡路.假設他始終保持平路每分鐘走60m，下坡路每分鐘走80m，上坡路每分鐘走40m，則他從家里到學校需10min，從學校到家里需15min.問小華家離學校多遠？分析：小華到學校的路分成兩段，一段為平路，一段為下坡路.平路：60m/min下坡路：80m/min上坡路：40m/min平路時間坡路時間總時間上學放學解：設小華家到學校平路長xm，下坡長y

m.根據題意，可列方程組：解方程組，得所以，小明家到學校的距離為700米.1015x=300y=400典例精析一個工廠共42名工人,每個工人平均每小時生產圓形鐵片120片或長方形鐵片80片.已知兩片圓形鐵片與一片長方形鐵片可以組成一個圓柱形密封的鐵桶.你認為如何安排工人的生產,才能使每天生產的鐵片正好配套?配套問題解：設生產圓形鐵片的工人x人，生產長方形鐵片的工人y人.根據題意列出方程組得（以下部分由同學們完成）典例精析配套問題變式訓練練一練1：某城市規定：出租車起步價所包含的路程為0～3km，超過3km的部分按每千米另收費.甲說：“我乘這種出租車走了11km，付了17元.”乙說：“我乘這種出租車走了23km，付了35元.”請你算一算：出租車的起步價是多少元？超過3km后，每千米的車費是多少元？

0～3km的車費+超過3km的車費=總車費典例精析等量關系起步價超過3km后的費用合計費用甲乙xx（11-3）y（23-3）y1735解設出租車的起步價是x元,超過3km后每千米收費y元.解設出租車的起步價是x元,超過3km后每千米收費y元.解這個方程組，得答：這種出租車的起步價是5元，超過3km后每千米收費1.5元.典例精析練一練2：今有牛五、羊二，直金十兩．牛二、羊五，直金八兩．牛、羊各直金幾何？牛五、羊二牛二、羊五典例精析5頭牛、2只羊共價值10兩“金”；2頭牛、5只羊共價值8兩“金”.問每頭牛、每只羊各價值多少“金”？解:設每頭牛值“金”x兩,每只羊值“金”y兩,典例精析5x+2y=10,2x+5y=8.由題意,得解得答:羊值“金”兩,牛值“金”兩.據統計資料，甲、乙兩種作物的單位面積產量的比是1:2．現要把一塊長200m、寬100m的長方形土地，分為兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物．怎樣劃分這塊土地，使甲、乙兩種作物的總產量的比是3:4？列方程組解決幾何問題探索新知轉換成數學語言ADCB已知：長方形ABCD，AB=CD=200m，AD=BC=100m，長方形ABCD分割為兩個小長方形，分別種甲、乙作物，甲、乙單位面積產量的比是1:2.目標：甲、乙兩種作物的總產量的比是3:4探索新知這里研究的實際上是什么問題?01豎著畫，把長分成兩段，則寬不變長方形的面積分割探索新知橫著畫，把寬分成兩段，則長不變02把一個長方形分成兩個小長方形有哪些分割方式？01豎著畫，把長分成兩段，則寬不變ADCFBE1.大長方形的長=200m2.甲、乙兩種作物總產量比=3:4探索新知等量關系式有幾個？01豎著畫，把長分成兩段，則寬不變1.大長方形的長=200m2.甲、乙兩種作物總產量比=3:4設AE＝xm，BE＝ym.S長方形AEFD=100xS長方形EFCB=100y甲：100x×1乙：100y×2100x:200y=3:41:2ADCFBExy200m100如何設未知數呢？則列方程為x+y=200總產量=單位面積產量×面積探索新知先求出兩種作物的面積再寫出兩種作物的總產量則列方程為01豎著畫，把長分成兩段，則寬不變根據題意列方程組為

100x:200y=3:4x+y=200，解得x=120，y=80解：過點E作EF⊥AB，交CD于點F.設AE＝xm，BE＝ym.

答：將這塊土地分為邊長100m,120m和100m,80m的兩個小長方形分別種植甲、乙兩種作物.

ADCFBExy200m100探索新知甲種作物乙種作物02橫著畫，把寬分成兩段，則長不變解：過點E作EF⊥AD，交BC于點F.

x+y=100200x:400y=3:4解得x=60，y=40根據題意列方程組為ADCBExyF乙種作物甲種作物200y200x200m100m答：將這塊土地分為邊長200m,60m和200m,40m的兩個小長方形分別種植甲、乙兩種作物.

探索新知

設DE＝xm，AE＝ym.練一練：8塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，每塊小長方形地磚的長和寬分別是多少?（單位cm）解:設小長方形地磚的長為x,寬為y.

解此方程組得：x=45,y=15.答:小長方形地磚的長為45cm,寬為15cm.探索新知由題意,得x+y=60，x=3y60列方程組解決行程問題

小華從家里到學校的路是一段平路和一段下坡路.假設他始終保持平路每分鐘走60m，下坡路每分鐘走80m，上坡路每分鐘走40m，則他從家里到學校需10min，從學校到家里需15min.問小華家離學校多遠？探索新知走平路的時間+走下坡路的時間=________，走上坡路的時間+走平路的時間=_______．小華到學校的路分成兩段，一段為平路，一段為下坡路.平路：60m/min10min15min探索新知分析下坡路：80m/min上坡路：40m/min方法一（直接設元法）平路時間坡路時間總時間上學放學解：設小華家到學校平路長xm，下坡路長ym.根據題意，可列方程組：答：小明家到學校的距離為700m.探索新知解方程組，得方法二（間接設元法）平路距離坡路距離上學放學解：設小華下坡路所花時間為xmin,上坡路所花時間為ymin.根據題意，可列方程組：答：小明家到學校的距離為700m.故平路距離：60×（10-5）=300（m）坡路距離：80×5=400（m）探索新知解方程組，得例2甲、乙兩人相距4km，以各自的速度同時出發.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，兩人0.5h后相遇.試問兩人的速度各是多少？分析：對于行程問題，一般可以借助示意圖表示題中的數量關系，可以更加直觀的找到相等關系.典例精析4km4km（1）同時出發，同向而行甲出發點乙出發點乙2h行程甲2h行程（2）同時出發，相向而行甲出發點乙出發點相遇地甲0.5h行程乙0.5h行程典例精析甲追上乙甲2h行程=4km+乙2h行程甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km解：設甲、乙的速度分別為xkm/h,ykm/h.答：甲的速度為5km/h,乙的速度為3km/h.典例精析根據題意，得解方程組，得練一練：我國的長江由西至東奔騰不息，其中九江至南京約有450千米的路程，某船從九江出發9個小時就能到達南京；返回時則用多了1個小時.求此船在靜水中的速度以及長江水的平均流速.解：設輪船在靜水中的速度為x千米/時，長江水的平均流速為y千米/時.

答：輪船在靜水中的速度為47.5千米/時，長江水的平均流速為2.5千米/時.典例精析解得1.計劃若干節車皮裝運一批貨物.如果每節裝15.5噸，則有4噸裝不下，如果每節裝16.5噸，則還可多裝8噸.問有多少節車皮？多少噸貨物？解：設有x節車皮，y噸貨物，根據題意列出方程組得y=15.5x+4，y=16.5x-8課堂練習解得答：有12節車皮，190噸貨物.2.某班有40名同學看演出，購買甲、乙兩種票共用去370元，其中甲種票每張10元，乙種票每張8元.請問甲種和乙種票各多少張？答：甲種票25張，乙種票15張.課堂練習解：設購買甲種x張，乙種票y張.根據題意得：解得3.課本中介紹我國古代數學名著《孫子算經》上有這樣的一道題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各多少只？答：雞有23只，兔有12只.課堂練習解：設雞有x只，兔有y只.解得頭數腳數雞兔合計xy352x4y944.有甲、乙兩數，甲數的3倍與乙數的2倍之和等于47，甲數的5倍比乙數的6倍小1，這兩個數分別是多少？課堂練習解：設甲數是x,乙數是y.解得答：甲數為10，乙數為.5.甲、乙兩店共有練習本200本，某月甲店售出19本，乙店售出97本后，甲、乙兩店所剩的練習本數目相等，則甲店和乙店原有練習本各多少？答：甲店原有練習本61本，乙店原有練習本139本.課堂練習解：設甲店原有練習本x本，乙店原有練習本y本.解得6.某船順流航行36km用3h，逆流航行24km用3h，則水流速度和船

在靜水中的速度各是多少？答：船在靜水中的速度為10km/h，水流速度為2km/h.課堂練習解：設和船在靜水中的速度是xkm/h,水流速度是ykm/h.解得隔壁聽到人分銀，不知人數不知銀。每人五兩多六兩，每人六兩少五兩。多少人數多少銀？

5x+6=y,6x-5=y由題意得：7.古有一捕快，一天晚上他在野外的一個茅屋里，聽到外邊來了一群人在吵鬧，他隱隱約約地聽到幾個聲音，下面有這一古詩為證：

x=11,

y=61解得：答：有11個人，61兩銀.課堂練習解：設有x個人，y兩銀.解：設甲的速度為x千米/時，乙的速度為y千米/時,則答：甲的速度為4千米/時，乙的速度為12千米/時.課堂練習8.甲、乙兩人都從A地到B地，甲步行，乙騎自行車，如果甲先走6千米乙再動身，則乙走小時后恰好與甲同時到達B地；如果甲先走1小時，那么乙用小時可追上甲，求兩人的速度．AB6km解得AB

某化工廠要配制濃度為15％的農藥100kg，現在有濃度為20％，12％的兩種農藥.用這兩種農藥可以配制出所要求的農藥嗎？如果可以的話，它們各需多少千克？濃度問題典例精析解：設需濃度為20%、12%的農藥分別為xkg、ykg.

根據題意列出方程組得，（以下部分由同學們完成）濃度問題的關系式：技巧點撥1.溶質質量=溶液質量×濃度2.混合前溶液的質量和=混合后溶液的質量和3.混合后溶質的質量和=混合后溶質的質量和濃度問題變式訓練小明用8個完全相同的小長方形拼圖，拼出了如圖甲、乙的兩種圖案：圖案甲是一個正方形，圖案乙是一個大的長方形；圖案甲的中間留下了邊長是1的正方形小洞.求小長方形的長和寬.幾何問題典例精析分析：題中蘊含的關系為：圖甲中小長方形的長與寬的數量關系圖乙中大長方形的長有兩種表示方法.解：設小長方形的長為x，寬為y.依題意得，解得，答：小長方形的長為5，寬為3.答：正方形的面積比矩形面積大9cm2用長48cm的鐵絲彎成一個長方形，若將長方形的長邊縮短3cm，補到較短邊上去，則得到一個正方形，求正方形