2016—2017學年廣州外國語學校第二學期期末質量檢測一、選擇題1．復數的共軛復數是（）． A． B． C． D．【答案】A【解析】，故共軛復數是．故選．2．的二項式系數之和為（）． A． B． C． D．【答案】B【解析】，，而二項式系數和為．故選．3．甲、乙等人在南沙聚會后在天后宮沙灘排成一排拍照留念，甲和乙必須相鄰的排法有（）． A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【解析】由題意，利用捆綁法，甲、乙兩人必須相鄰的方法數為種．故選．4．用數學歸納法證明等式時，第一步驗證時，左邊應取的項是（）． A． B． C． D．【答案】D【解析】在等式中，當時，，而等式左邊起始為的連續的正整數的和，故時，等式左邊的項為：，故答案為：．故選．5．已知隨機變量服從二項分布，則（）． A． B． C． D．【答案】D【解析】表示次獨立實驗，每次成功概率為，則．故選．6．盒子里共有個除了顏色外完全相同的球，其中有個紅球個白球，從盒子中任取個球，則恰好取到個紅球個白球的概率為（）． A． B． C． D．【答案】B【解析】．故選．7．在平面直角坐標系中，直線與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為（）．【答案】C【解析】，解得，，．故選．8．在的展開式中，項的系數為（）． A． B． C． D．【答案】A【解析】的二次項系數，．故選．9．以下四個命題中，真命題有（）． A．是周期函數，：空集是集合的子集，則為假命題B．“，”的否定是“，”C．“”是“”的必要不充分條件D．已知命題：“如果，那么或”，在命題的逆命題，否命題，逆否命題三個命題中，真命題的個數有個．【答案】C【解析】．為真，為真，則為真，錯．．否定應是“，”錯．．不能或，故不充分，，故“”是“”的必要不充分條件．．逆命題，否命題，逆否命題都為真，有個真命題，錯．故選．10．已知雙曲線的一條漸近線方程為，，分別是雙曲線的左，右焦點，點在雙曲線上，且，則等于（）． A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】，，∴，∴或，∴或．故選．11．以下數表的構造思路源于我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算術》一書中的“楊輝三角形”．該表由若干行數字組成，從第二行起，每一行中的數字均等于其“肩上”兩數之和，表中最后一行僅有一個數，則這個數為（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】如下圖：當第一行個數時，最后一行僅一個數為，當第一行個數時，最后一行僅一個數為，當第一行個數時，最后一行僅一個數為，當第一行個數時，最后一行僅一個數為，當第一行個數時，最后一行僅一個數為，當第一行個數時，最后一行僅一個數為，歸納推理，得：當第一行個數時，最后一行僅一個數為．故選．數表的觀察數表，可以發現規律：每一行都是等差數列，且第一行公差為，第二行公差為，第三行公差為，，第行公差為，第行（最后一行）只有一個數為．故選．12．函數與它的導函數的圖象如圖所示，則函數的單調遞減區間為（）． A． B．， C． D．，【答案】D【解析】由圖分析，過點的為的函數圖象，導數的函數圖象過點，，恒成立，單調遞減區間即令，則由圖可得為：．故選．二、填空題13．設，則__________．【答案】【解析】∵，．14．函數的單調減區間為__________．【答案】【解析】函數的定義域為，∵，令得：，∴函數的單調遞減區間是，故答案為．15．觀察以下各等式：，，，分析上述各式的共同特點，則能反映一般規律的等式為__________．【答案】．【解析】本題主要是考察三角函數式的恒等變形．已知三角函數值的大小，然后可以求解出來角的正弦值和余弦值，然后帶入到公式中，利用誘導公式進行求解，因為可以把看做是變量，然后進行等量代換，就可以轉換為給求給定定義域的值域的大?。?6．已知拋物線的方程為，為坐標原點，，為拋物線上的點，若為等邊三角形，且面積為，則的值為__________．【答案】【解析】設，，∵，∴．又∵，，∴即．又∵、與同號，∴．∴，即．由拋物線對稱性，知點，關于軸對稱，不妨設直線的方程為：，聯立，解得，∵面積為，∴，∴，∴．三、解答題17．（本小題滿分分）設函數過點．（=1\*ROMANI）求函數的極大值和極小值．（=2\*ROMANII）求函數在上的最大值和最小值．【答案】見解析【解析】（=1\*ROMANI）將點代入，，∴，∴，∴，當或時，，當或時，，當時，，∴在上，在上，如圖所示：∴的極大值，極小值．（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI）可得：在上，右上，∴，，，∴．18．（本小題滿分分）已知雙曲線和橢圓有公共的焦點，且離心率為．（=1\*ROMANI）求雙曲線的方程．（=2\*ROMANII）經過點作直線交雙曲線于，兩點，且為的中點，求直線的方程．【答案】見解析【解析】（=1\*ROMANI）橢圓焦為點，，，則設雙曲線，∴，，∴，∴，，∴雙曲線方程為．（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI）設，，∴，∴，∴．∴直線，．19．（本小題滿分分）某水產養殖基地要將一批海鮮用汽車從所在城市甲運至銷售商所在城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，且運費由水產養殖基地承擔．若水產養殖基地恰能在約定日期（×月×日）將海鮮送達，則銷售商一次性支付給水產養殖基地萬元；若在約定日期前送到，每提前一天銷售商將多支付給水產養殖基地萬元；若在約定日期后送到，每遲到一天銷售商將少支付給水產養殖基地萬元．為保證海鮮新鮮度，汽車只能在約定日期的前兩天出發，且只能選擇其中的一條公路運送海鮮，已知下表內的信息：統計信息汽車行駛路線不堵車的情況下到達城市乙所需時間（天）堵車的情況下到達城市乙所需時間（天）堵車的概率運費（萬元）公路公路（注：毛利潤銷售商支付給水產養殖基地的費用運費）（=1\*ROMANI）記汽車走公路時水產養殖基地獲得的毛利潤為（單位：萬元），求的分布列和數學期望．（=2\*ROMANII）假設你是水產養殖基地的決策者，你選擇哪條公路運送海鮮有可能讓水產養殖基地獲得的毛利潤更多？【答案】見解析【解析】（=1\*ROMANI）萬元，【注意有文字】萬元，【注意有文字】∴的分布列為：∴萬元．（=2\*ROMANII）設走公路利潤為，萬元，【注意有文字】萬元，【注意有文字】∴的分布列為：∴萬元，∴．∴走公路可讓水產養殖基地獲得更多利潤．20．（本小題滿分分）如圖在直三棱柱中，，為中點．（=1\*ROMANI）求證：平面．（=2\*ROMANII）若，且，求二面角的余弦值．【答案】見解析【解析】證明：（=1\*ROMANI）連結，∵平面平面，平面，∴，∵為中點，∴為中點，∵，∴①，法一：由平面，平面，得，②，由①②及，是平面內的兩條相交直線，得平面．法二：由平面，平面，∴平面平面，又平面平面得平面．解：（=2\*ROMANII）由，得，由（=1\*ROMANI）知，又，得，∵，∴，如圖以為原點，建立空間直角坐標系，如圖示：則，，，得，，則是平面的一個法向量，則，令，得，設為平面的一個法向量，則，令，得，根據題意知二面角為銳二面角，設其大小為，則，即二面角的余弦值為．其它解法請參照給分．21．（本小題滿分分）設橢圓的右焦點為，點，若（其中為坐標原點）．（=1\*ROMANI）求橢圓的方程．（=2\*ROMANII）設是橢圓上的任意一點，為圓的任意一條直徑（、為直徑的兩個端點），求的最大值．【答案】見解析【解析】（=1\*ROMANI）由題設知，，，由，得，解得，所以橢圓的方程為．（=2\*ROMANII）設圓的圓心為，則，，．從而求的最大值轉化為求的最大值．因為是橢圓上的任意一點，設，所以，即，因為點，所以．因為，所以當時，取得最大值，所以的最大值為．22．（本小題滿分分）已知函數，，若曲線和曲線在處的切線都垂直于直線．（=1\*ROMANI）求，的值．（=2\*ROMANII）若時，，求的取值范圍．【答案】見解析【解析】（=1\*ROMANI），，，則，，，∴，．（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI