考研數學一隨機變量的數字特征

1.【單項選擇題】設隨機變量X服從參數為2的指數分布，則Y=2X+e2的期望

EY=().

3

A.(江南博哥)2

B.i

3

C.4

4

D.3

正確答案：A

由于X服從參數為2的指數分布.故EX又

")=|e；I/(x)<ixe?2e:,<Lr

參考解析：<1e7-

所以

EY=2EX4-E(e-tt)=2Xy+?=j.

2.【單項選擇題】設隨機變量X?B(n,p),且EX=2.4,DX=1.44,則().

A.n=8,p=0.6

B.n=6,p=0.4

C.n=4,p=0.5

D.n=12,p=0.1

正確答案：B

由X?8(〃.戶),可知EX—np.DXnp(\—/>)?故

inp-2.4,

參考解析：”加！-〃1.H.

解得n=6,p=0.4.

3.【單項選擇題】設EX與E(X9均存在，則().

A.E(X2)^(EX)2

B.E(X2)<(EX)2

C.E(X2)<EX

D.E(X2)>EX

正確答案：A

參考解析：由DX=Ei\?(EX?1：\/\.

c與D均不一定成立,如X?

EX=-y.DX=

L4

E(X2)=DX+(EX>=：++=).

則E(X2)=EX=

4.【單項選擇題】設隨機變量x,有EX=u,DX=O2(U,。為常數)，則對任意

常數C,下列選項正確的是().

A.E[(X-C)2]=E(X2)-C2

B.E[(X-C)2]=E[(X-U)2]

C.E[(X-C)2]<E[(X-U)2]

D.E[(X-C)2]^E[(X-LX)2]

正確答案：D

參考解析:因為E[(X-C)2]=E[(X-P+P-C)2]=E[(X-U)2]+(U-C)2,其中(P-C)2

20,所以E[(X-C)2]2E[(X-U)2],故D正確。B當且僅當P=C時才成立。

5.【單項選擇題】設(X,Y)服從二維正態分布，則U=X+Y與V=X-Y不相關的充

要條件是().

A.EX=EY

B.E(X2)=E(Y2)

C.E(X2)+(EY)2=E(Y2)+(EX)2

D.E(X2)+(EX)2=E(Y2)+(EY)2

正確答案：C

因為U與V不相關uCov(U?V)=0?由于

Cov(l；.V)Cov(X-Y.X-Y>

=Cov(X.X)-Cov(X.y)+Cov(Y.X)-Cov(Y.Y)

參考解析：\.\DXDY0.

故U,v不相關的充要條件是DX=DY.

而DX=E(XD-(EX)2.Dy=E(Y2)一(Ey)2,

故c正確.

6.【單項選擇題】設X?N(0,1),Y?N(l,4),且PXY=1,則().

A.P{Y=2X+1}=1

B.P{Y=-2X+1}=1

C.P{Y=-2X-1)=1

D.P(Y=2X-1)=1

正確答案：A

參考解析：由%=1可得P{Y=aX+b}=l,且a>0,排除B,C,又

l=EY=E(aX+b)=aEX+b,由于EX=0,故b=L所以A正確。

7.【單項選擇題】設隨機變量X在[-1,1]上服從均勻分布，Y尸arcsinX,

Y2=arccosX,則PYIY2=()

A.1

B.-1

1

C.2

3

D.4

正確答案：B

參考解析：

由于arcsinX十arccosX,故工+Y獲即V=:一、'?故凸).=一].

8.【單項選擇題】設袋中有6只紅球，4只白球，任熹摸出一只球，記住顏色

后放回袋中，共進行4次，設X表示摸到紅球的次數，則EX=().

2

A.5

8

B.5

12

c.T

48

D.5

正確答案：C

參考解析：依題設，可知試驗為有放回摸球，故每次摸到紅球的概率為3/5,所

以X-8(1.1).故以=帥==留

9.【單項選擇題】設X?N(0,1),Y=X2+X+1,則X與Y().

A.相關且相互不獨立

B.相關且相互獨立

C.不相關且相互獨立

D.不相關且相互不獨立

正確答案：A

參考解析：判別X與Y是否相關，需計算Cov(X,Y).

由X?N(0?1).知

EX=0.DX=1,E(X:)?=DX+(EX)：=-1.E(X*)-0.

E(XV)=E[X(X：+X?D]=E(X,)+E(X，+EX=0+1+0=1,

所以Cov(X.Y)-E(XY)-EXEY-1-0-1#0.

故X與、’不是不相關，即X與Y和欠.由此如X與Y一定不獨立.

10.1單項選擇題】設隨機變量X與Y相關，相關系數為PXY,Z=aX+b(a,b為

常數)，則PYZ=PXY的充分必要條件為().

A.a>0

B.a<0

C.aWO

D.a=l

正確答案：A

Cov(Y⑵v

4—yoy.^DZ乂

Cov(Y.Z)—CovCY.aX+?)=aCov(X.Y),

DZ=D(aX-hb)=a7DX,

_aCov(X.V)_a

參考解析：_______________________/DY，7冰u小”

又X.Y相關,知pnW0?所以八---1?即。>。.

14zI

11.1單項選擇題】

設隨機變量X和機相互獨立同分布.已知P1X=6}=pqi(h=1,2,3,-)其中

0V立vl,q=1—6則P{X=丫)等于

P

A.2-p

!二2

B.2一〃’

P

C.1一戶

女,

D.1-P

正確答案：A

參考解析：

P[X=Y}=XP{X=Y=瑪=^P{X=k,Y=k}

=XPX=k}P{Y=-==/>Z2(92)*1

41SIl-l

=符,]=p;=p=p

1—g2(l+q)(l—q)1+q2一p

12.1單項選擇題】設隨機變量X服從標準正態分布N(0,1),則E[(x-2)2e2x]=

A.1.

B.2.

C.e.

D.2e2.

正確答案：C

E[(X-2"+']=(x—2)er1e勺di

J7

=e2(x-2)2\_e2dx=e2

參考解析：J

所以選擇(C).

上式最后一步是因為一匚e'一是正態.\(2?1)的概率密度.

質

而(/一2)2一二e2di恰是它的方差?等于1.

—缶

13.【單項選擇題】假設隨機變量X與y相互獨立具有非零的方差，DXWDY,

則

A.3X+1與4Y-2相關.

B.X+Y與X-Y不相關.

C.X+Y與2Y+1相互獨立.

D.3與2Y+1相互獨立.

正確答案：D

參考解析：

由于X與y相互獨立，故ev與2丫+1相互獨立，選擇(D).

事實上,當工>0時,P{eX4z,2Y+l4y)=PX(lni,y《寫‘

=P{X<lnz).PW《q}=?P{2Y+

而當工40時,P{￥&H=0,所以HeX&z,2Y+l&?=0=PH&z)?P{2Y+

14?,由此可知e'與2Y+1相互獨立.

選項(A)、(B)、(C)不成立，是由于Cov(3X+l,4Y-2)=12Cov(X.y)=0,所以3X4-

1與4y-2不相關;Cov(X+Y,X-y)=Cov(X,X)-Cov(Y.Y)=DX-DYW0得出X+Y

與X-Y非不相關;Cov(X+Y,2Y+l)=2Cov(X.y)+2Cov(Y,Y)=2Dy/0得出X+Y與

2Y+1并非不相關,也就有X+Y與2Y+1不相互獨立.

14.【單項選擇題】設X,Y為兩個隨機變量，若E(XY)=E(X)E(y),則().

A.D(XY)=D(X)D(Y)

B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)

C.X,Y獨立

D.X,Y不獨立

正確答案：B

參考解析:因為E(XY)=E(X)E(Y),所以Coy(X,Y)=O,又

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y),所以D(X+Y)=D(X)+D(Y),選(B).

15.【單項選擇題】設X,Y為隨機變量，若E(XY)=E(X)E(Y),則().

A.X,Y獨立

B.X,Y不獨立

C.X,Y相關

D.X,Y不相關

正確答案：D

參考解析：因為Co析X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),所以若E(XY)=E(X)E(Y),則有

Cov(X,Y)=0,于是X,Y不相關，選(D).

16.【單項選擇題】設隨機變量X?U[0,2],Y=X2,貝i」X,Y().

A.相關且相互獨立

B.不相互獨立但不相關

C.不相關且相互獨立

D.相關但不相互獨立

正確答案：D

,1,

-?0&x&2，

由X?U[0,2]得fx(j：)=<2

參考解析：其他.

E(X)=l,E(y)=E(X2)=412dl=；,E(XY)=E(X3)=Kr3dx=2.

ZJo3ZJo

因為E(XY)￥E(X)E(Y),所以X,Y一定相關,故X,Y不獨立，選(D).

17.【單項選擇題】設隨機變量X?U[-1,1],則隨機變量U=arcsinX,

V=arccosX的相關系數為().

A.-1

B.0

1

c.2

D.1

正確答案：A

參考解析：

當PR=aX+B)=l(a>0)時卬到=1;當P{Y=aX+6)=1(。<0)時仰丫=-1.

因為arcsinx+arcco&r=T(-1(工(1),即U+V=或1/=-V+怖,所以佻”=-1,

Ctww

選(A).

18.【單項選擇題】設隨機變量X?E(l),記Y=max{X,1),則EY=().

A.1

B.l-e'

C.1+e-1

D.eH

正確答案：C

EY=E(max{1))maxi.r.1}/(.r)dr.

參考解析:

j>0,

其中

?T40,

即EY=max{ar.l}/(x)dr=max{1}e-/d.r

J一9J0

?1

=e'clr+xerd.r=1-e1+2e!=1+e1.

JoJi

故選故).

19.【單項選擇題】設隨機變量Xi,X2相互獨立，且都服從標準正態分布N(0,

1),記Y=XHG,Z=XiX2,則Y,Z的相關系數Pyz=().

A.-1

B.0

D.1

正確答案：B

參考解析：

因為與X，相互獨立,所以X；與X2.X,與XI都相互獨立.故

Cov(y,Z)-E(YZ)-EYEZ=E(YZ)=￡[(%,

E(X\XX,.岑)E(X；)EX?EX|E(X?=0.

Cov(Y'Z)

因此,有色z=

YDYVDZ

20.【單項選擇題】設隨機變量(X,Y)的概率密度f(x,y)滿足f(x,y)=f(-

X,y),且PXY存在，則PX￥=()-

A.1

B.0

C.-1

D.T或1

正確答案：B

參考解析：因為

?2令工—一￡產8>8

E(XY)=ydyjxf(x^y)dj：|1ydy(-t)/(—hy)dt

=ydjj(-t)f(t,y)dt=_1ydy[xf(x>y)dx=—E(XY).

J-crJ-J-J-8

所以E(XY)=0.

同理.EX=?r[J/(z,y)dyjdr=0,所以pxy=S

21.【填空題】一袋中有N個球，其中白球數目X是一個隨機變量，且EX=n,

從袋中任取一球，則取得的球是白球的概率為.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

n

參考解析：\

【解析】

設八=取得球為白球)?依依意?有PAIX

X的取值可能為{0.1?2.…?可：?由全概率公式.得

P(A)VPXk}?PAXk

22.【填空題】

設隨機變量X的概率密度為八幻=賽e-J-Y-8VzV+50).則E(X")=

請查看答案解析后對本題進行判斷：“答對了答錯了

正確答案：

參考解析："■

【解析】

知X?N(1?；■卜故EX=\.DX=9.所以

1

E(X;)-DX+(EX)

23.【填空題】從1,2,3,4,5中任取一數X,再從1,…，X中任取一數

Y,則EY=.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：2

【解析】

先求y的分布律.Y的所有可能取值為1,2,3,4,5,由全概率公式得

P(Y=A)=￡pX=i?P，Y=AIX=/}=￡—(k=1.2?…5).

I-I5,■4i

故EY=XA?PY=M=4")=2.

24.【填空題】

設隨機變量X的分布函數FQ)=0.30(專」)+0,7。(與」卜K中6J)為標準

正態分布的分布函數，則EX=」

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：0.5

【解析】

先求X的概率密度，再求EX.

、八為/*-4\1*-/*+1\1

/(I)=f(x)=0.3f(-g-)*y+0A.7^(-3^)ey

其中f(x)方X?X<0J)的概率密度.

I.ir?

(2r+4)￡(，)?2d/+0?7>-(3r—1)^(r)?3d/

4J-J*JJ

c

25.【填空題】設隨機變量X的概率分布為P{X=k}=2(k=0,1,2,???),則

E(X2)=.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：2

【解析】

根據微率分布的性質?￡￡=Ce=1?可得C=cL

注意到X服從泊松分布，

P{X=—}='—=0.1.2.-),

k!

對比P{X=A}=「筮=0?1?2.…).知入=1.即X?P(l),故

k!

EX=DX=A=1,

所以E(XD=DX+(EX>=1+1?=2.

26.【填空題】設隨機變量X在(0,a)(aW12)上服從均勻分布，則X位于EX

與DX之間的概率為.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

J__a_|

參考解析：212?

【解析】

由已知,X?U(O,a),則EX=--,DX=2

當6V—12時,P怪VXvf|}=[；!k=金一>

當a46時,P恪VXV^}=十一?故所求概率為i一6.

27.【填空題】設隨機變量X1，X2,X,,獨立同分布，且有相同的概率密度,

則概率P{X〉nin{Xi,X2,…，Xn-J}=.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

,1

參考解析：】?■

【解析】

由已知,工與丫=0^蜃],%」“,.工；)相互獨立,且乂1.1」“.,工獨立同分布.

記其分布函數分別為F|(H).H(幻,….兄(工).概率密度分別為八(幻J：(r),…則

Fy(y)=P(Y4—=P{min(X_X：,…，X.J&y}

=l-P{Xi>y}?P{X2>y].......P{Xi>y]

=1-口-F?)廠.

故A(y)=F/(y)=(n—1)[1-Fi(y)尸?力(》),所以

P{X,>Y)=If/.(x)(n-1)/,(y)[l-F,(j.)]^dxdy

A

=[A(J)d.r[(”一-K(y)廣：dy

口—B(H)]"r=]」，

nIFn

28.【填空題】

設隨機變后X的概率密度為〃"N/Y占方?則E(min(U.1!)?

請查看答案解析后對本題進行判斷"：答對了答錯了

正確答案：

1?I

參考解析:；ln--

【解析】

用期望的定義計算.

E(min?1mmJ/(x)djr.

當|[4】時.min?1，I，當，1時.min(n=1.所以

Ldr,

min(IxI?1)/(x)d.r

29.【填空題】設15000件產品中有1000件次品，從中任取150件進行檢測,

則檢測到次品數X的期望EX=.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：10

【解析】

第件產品為次品

,11?i1?2「“?150),則

10.第，件產品為正品

X=K+X：

乂因X的分布律為

14X

p1515

所以EX；［故EX-150X

13

30.【填空題】設(X,Y)?N(l,1,2,2；0),U=X+2Y,V=X-2y,則P

uv~

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：

【解析】

由題意,可知X?V(1.2).Y外＞=0,于是

EXEVDY-2.

且X與Y相互獨立.

出工Cov(UW)甘小

由于=…六三二?其中

V/DLTVDV

Cov(U,V)=Cov(X+2Y.X-2y)

=Cov(x.x)-2Cov(x,y)+2Cov(y.x)-4Cov(y.y)

=Cov(x.x)-4Cov(y,y)

=DX-4DY=2-4X2=-6,

DU=D(X+2Y)=DX+ADY=24-4X2=10,

DV=D(X-2Y)=DX+4DY=2+4x2=1.

-63

故PtvL?

v^Tox5

31.【填空題】設隨機變量x?B(n,p),且E(x)=3.2,D(X)=O.64,則P{XW

0)=.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：0.9984

【解析】

X?B(n,P)則E(X)=np,D(X)=np(l-p).

現E(X)=3.2,D(X)=0.64則3.2(1-p)=0.64,l-p=0.2,p=0.8,

E(X)=3.2=np=0.8n,n=4.

P{XW0}=l-P{X=0}=l-(l-p)4=l-(0.2)4=0.9984.

32.【填空題】設X,X2,X”來自總體x?N(u,。9的簡單隨機樣本，記

樣本方差$2,則D(S2)=.____.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

2一

參考解析：〃一1

【解析】

由性質：~—J)S?X"(〃-1)和D(X(n—1))=2(〃-1)?可知

D\"-=(yf~1)2D(S2)=D]=2(〃-1)

(J"Jo

所以D(S?)=思p

33.【填空題】已知隨機變量Xi與X2相互獨立且分別羸從參數為入i,入2的泊

松分布，已知P{Xi+X2>0}=l-e,則E(X1+X2)2=.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：2

【解析】

已知X,?PGO且X,與X：相互獨立，所以EX,=DX,=Mi=1,2).

2

E(X)+X2)=E(X：+2XK+X：)=EX；+2EX】EX?+EX；

=A|+A|+2入*+―+*=:+-+(A)+入2)2,

為求得最終結果我們需要由已知條件計算出;l+入

因為P(X,+X2>0}=1-P{X1+X]40)=1-P{X,+X2=0}

=1-P(X,=0.X?=0}=1-PIX,=Q}P{X2=0}

=1-eA?ex：=1-e'=1-e'

所以—=1.故E(Xi+Xl=所+%)+a+L)z=2.

34.【填空題】

設隨機變量X的分布律為巴X=6}=——，一次=1.2,……，則X的數學期

2氣!(而一1)望

E(X)=.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

在

參考解析：2(7c—1)

【解析】

記c=-r-.A=!，則PX=卜=pre./:=1.2......

7e-l2A!

，8，8,A

E(X)=gk,尢=忖?c=A?c

=-1ei■?---1--=-----7-e----

27e~12(7e-1)

35.【填空題】設隨機變量X服從參數為人的泊松分布，且已知E[(XT)(X-

2)]=1,則人=

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：1

【解析】

E[(X-l)(X-2)]=E[X2-3X4-2]=E(X2)-3E(X)+2

=D(X)4-(EX)2-3A+2

=A4-A2-3A+2=A2-2A+2=1

即[-2八+]=0,(A—I)2=0?A—1.

36.【填空題】

設隨機變量X1,X?,…,X.(〃〉D獨立同分布,且方差為J〉O,記匕=￡x,和

匕=XX,,則匕和匕的協方差Cov(匕?匕)=.

請查看售案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：(〃-2)(T2

【解析】

Cov(y,,yj=cov(Xx，，￡x,)

=i；￡cov(X,,Xj)

i-2I

L1if1L1n

=XCov(X”,X,)+￡XCo、'(X,?X,)+￡Cov(X,.X|)

n-1

=0+XCov(X*.X*)+0=(〃-2)，.

▲2

37.【填空題】設X表示12次獨立重復射擊擊中目標的次數，每次擊中目標的

概率為0.5,則EWh

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：X?B(12,0.5),

E(X)=6,D(X)=3,E(x2)=D(X)+[E(X)]2=3+36=39

38.【填空題】設常數a￡[0,1],隨機變量X?U[0,1],Y=|X—a|,則

E(XY)=.

請查看答案薛析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

E(XY)=E[X|X-a|]=|'x\x-a\/(x)d.r

J0

「I…。3。上1

仝生初七=xI-r-aIa=--------T--.

參考斛析：Jo323

39.【填空題】設X,Y為兩個隨機變量,E(X)=E(Y)=1,D(X)=9,D(Y)=1,且

2

PXY=-3，貝1JE(X-2Y+3)=.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析:E(X-2Y+3)=E(X)-2E(Y)+3=2,

D(X-2y+3)=D(X-2y)=D(X)+4D(y)-4Cov(X,Y),

,_____,____2

由Cov(X.Y)=pxy=—彳X3X1=-2,得

D(X-2Y+3)=D(X)+4D(Y)-4Cov(X,y)=9+4+8=21,

于是E「(X-2Y+3)21=D(X-2Y+3)+[E(X-2Y+3)]2=21+4=25.

40.【填空題】已知隨機變量X?N(-3,1),Y?N(2,1),且X,Y相互獨立,

設隨機變量Z=X-2Y+7,則Z?

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：N(0,5)

【解析】

Z服從正態分布，且X,Y相互獨立，則

2

EX=E(X-2Y+7)=EX-2EY+7=-3-4+7=0,DZ=D(X-2Y+7)=DX+2DY=1+4=50故Z?

N(0,5)o

41.【填空題】

已知離散型隨機變*I服從參數為2的泊松分布,即P(X=舒=字/=0，12…,則桔如

k\隨機

變量Z=3X-2的數學期望EZ=—.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：4

【解析】

EZ=3EX-2=4.

42.【填空題】設隨機變量Y服從參數為1的指數分布，記

⑼丫4

X*=，k=1,2,

1?丫>k.貝！jE(X1+X2)=.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

e+1

參考解析：e

【解析】

EX,-P：r>1}=edy-e,EXPY>2-|ed.y-e.

所以E(X,+X.)=EX,+EX,=e1+e2=

e-

43.【填空題】獨立重復試驗中事件A發生的概率為彳，若隨機變量X表示事

件A第一次發生時前面已經發生的試驗次數，則EX=.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：2

【解析】

方法一X的所有可能取值為0,1,2,其概率分布為

P：X=-=J?(1)M=0.1.2,….

由崛的定義有

以仔)K&嗚)=；'1■塔川.

-1.21_i_\\_1,2,1

33\\~ql33(l-g)?

方法二若記y為“A第一次發生時的試驗次肥，則丫服從參收檔的幾何分布,又隨機燦

X=}'7,則

EX=E(y-i)=Ey-i=y-i=2.

T

44.【填空題】設X和Y相互獨立，且(X,Y)的分布律如下,

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

25

參考解析：6

【解析】

求a,b的值有兩種方法.

方法一因為

P(X=2,丫=D=：,p(x=2}=1+J=1」'yi;=?T+TI=?+y.

444400Z4"0

利用獨立性定義,有P1X=2,y=1}=P{X=2HY=1},故有[=打解得

Z4

113

由歸一性,得6=1—??—"——-2=

241284T

r

1]_

a

2412

方法二由概率矩陣的株等于1,可知道矩陣任兩行(或兩列)的比例.

2

I

由第2列知第1行是第2行的1倍,所以?=Ax1--1

003o

由第1行知第3列是第2列的2倍,所以6=(x2=1.

0I

故(X.Y)的分布律為

45.【填空題】

設隨機變址X落人區間(0,i)內的概率為1-e”(A>0).則PX>匹>=

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正確答案：

參考解析：e

【解析】

依題設，X應服從參數為人的指數分布，從而知

F(.r)=P：01Al

且均方差J，于是

A

P(X〉s/DX)=P，x>Jl=l-PX<：；=1-(l-e%=e

46.【填空題】一臺設備由三個部件構成，在設備運轉中各部件需要調整的概

率分別為0.1,0.2,0.3,設備部件狀態相互獨立，以X表示同時需要調整的部

件數，則X的方差為.

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正確答案：

參考解析：0.46

【解析】

X的全部可能取值為0,1,2,3,且

P{X=O}=(1-O.l)*(l-o.2)*(l-o.3)=0.504,

P{X=1}-(1-O.l)*(l-0.2)*0.3+(1-0.1)*(1-0.3)*0.2+(l-0.2)*(1-

0.3)*0.1=0.398,

P{X=2}=(l-0.1)*0.2*0.3+(l-0.2)*0.1*0.3+(1-0.3)*0.1*0.2=0.092,

P{X=3}=0.1*0.2*0.3=0.006,所以

EX=O*O.504+1*0.398+2*0.092+3*0.006=0.6,

E(x2)=02*0,504+12*0.398+22*0.092+32*0.006=0.82,故DX=E(X2)-(EX)2=0.82-

(0.6)2=0.46

47.【填空題】設隨機變量X的數學期望EX=75,方差DX=5,由切比雪夫不等

式估計得P{X-752k)W0.05,則k=.

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正確答案：

參考解析：10

【解析】

,,nv4

P{IX-75\^k}=PiX—EX|2上(冬=

_kik'-

于是由題設得分=0.05,即4=10.

k~

48.【填空題】已知隨機變量X”Xz,X3的方差都是。2,任意兩個隨機變量之

間的相關系數都是P,則P的最小值為.

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正確答案：

i.1

參考解析：2

【解析】

ZXX1+X2+X3)=DX!+DX2+DX3+2COV(X1,X2)+

2Cov(X,.X3)4-2Cov(X2,X3)

=3/+6/=3j(l+2p)20,

所以p｝一》.

【解答題】設X與Y的概率分布分別為

且P{X2=Y2)=1.

(I)求(X,Y)的概率分布；

(II)求PXY

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參考解析：(I)由P{X2=Y?=1,知P{X2#Y2}=0,故

P(X-0,Y--1),P\X-O.Y-1)-P[X=】,Y=0)=0.

又pix-i.y-n-P{X-O.Y-o>-p\x-i.y-11-1,

故(X?Y)的聯合概率分布為

(II)由(I),知XY的概率分布為

XY|-101

-1iF

pITJT

故E(XY)=0.

又EX=J.EY=0,故Cov(X.y)=E(XY)-EX?EY=0,所以化仃=0.

50.【解答題】

設隨機變址X?Y.Z.滿足EX=EY=l.EZ=-l.DX=DY=DZ=1,pXY=0.

P口==-},求E(X+Y-2Z)?D(X+Y+Z)]

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參考解析：E(X+Y-2Z)=EX-EY-2EZ=1+1—2乂(-1)=4?

D(XYZ)-DX-DY-DZ-2Cov(X.Y)-2Cov(X.Z)-2Cov(y.Z).

Cov(X.y)■y/bx?DY?人-1X0-0.

Cov(X.Z)=:DX?DZ?Pxz-IX1《=J.

Cov(y.Z)-2?DZ?M=1X(-T)=-I*

故D(X+Y+Z)=】+l+l+O+2X)+2X(T)-3.

51.【解答題】設X與Y相互獨立，且均服從'''

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參考解析：由X,Y相互獨立，可知

Z=XT?+

即Z?N(0.1).

2

故D(|X-Y|)=D(|Z|)=E(lZ|力一［E(|Z|)了=

52.【解答題】設X的概率密度為

、1-U-,一A

，/(JT)~—OC?一＜十］」

(I)求EX和DX；

(II)求Cov(X,|X|),并判別X與|X|是否不相關；

(III)問X與|X|是否相互獨立？

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參考解析：(I)

EX=|x/(x)dx=Jx?'d-r-0(奇函數“

DX-E(X1)-(EX)1-E(X:)

1

?JJC1/(x)(￡r■■21x?Je/d-r=2.

(II)

Cov(X.IX)=E(XX!)-EX?E(1XI)=E(XIXl)J

而E(XXI)=x|xI/(x)dj：=jr|x|-1"e**dx=0,

故Cov(X.XI)=0.即X”與?XI不相關.

(III)

對任意給定的OVa<+,“.顯然事件Cu｝包含于事件,且

P{X<a}<1,P{|X|<a}>0,

故P(X<a,|XKal=P(|X|<a).

但P(X&a)?P{|X[&a}VP{|X[&a),

從而P(X&a,|Xl&a}KP<X&a>?P(|X|<u).

因此,XMIX,不相互獨立.

53.【解答題】設X?N(l,1),Y?N(-2,1),且X與Y相互獨立.

(I)求2=2乂+丫的概率密度;

(II)求E(|2X+Y|),D(|2X+Y|).

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參考解析：(I)iX,Y相互獨立,知2X+Y?N(2X1-2,22+12),即Z?N(0,

5),

故Z2X+Y的慨率密度為

/z(r)?=-；—e?-gV工V+J

(II)

E(|2X+Y|)=E(|Z)=—^―|e：2Idz

0

JiOirJ7式

D(2X+YI)=D(|ZI)=E(|Z，-[E(|Z|)了=E(Z?)-[E(|Z|)

而EIZ2)=DZ+(EZ>z=5+0=5.所以D(|2X+Y|)=5—”.

54.【解答題】在區間(0,1)內隨機取n個數Xi,X2,…,Xn.

(I)求最大數與最小數之間距離d的數學期望；

(II)若用Y表示n個數中大于3的個數，求EY和DY.

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參考解析：(I)依題設，Xi(i=l,2,…，n)相互獨立，且都在(0,1)上服

從均勻分布，其概率密度為

).其他.

其分布函數為

max

兵中X..的微率密度為

nr

nFF(x)其他?

X.u的假率密度為

(II)先求Y的分布，用X表示在(0,1)內任取的數，則X在(0,1)內服從均勻

分布，其概率密度為

〃0V工V1，

八幻=仿.其他.

I21I..21r11

記A=X>4.則P(A)=PX>-f；>=IIdr=4-.

tJfIw)*i，

由已知.y?4”?；-)?所以

EY="?/>=￡.DY—n[)(1—p)=

55.【解答題】設XI,X2,Xn(n>2)為獨立同分布的隨機變量，且均服從

N(0,1),Yi=

(I)求DYi(i=l,2,…n)；

(II)求PviYn.

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參考解析：(I)

DY.=D(X,-X)=D(X,-Jgx,)

=D1-

n1

DX.4

n

n—1

?1+―n-1)=-------

wnn

這里利用了x,與相互獨工

(ID

Cov(Y,Y.)

p

JDYA■s/DY.

由(I)?知沖"87=生二」,故

n

Cov(Y))=E[(K-.1)(匕二"，]

E：(X|-面=EY.=0)

E(X1X“)+E(￥)-E(XX)-E(X?X)

/'\'EX,?I>\l：.\--E(X^)--yE(X.X,)--E(X-)-

n〃Fn

：￡E(X,X3

而

/)\=D仕￡X,)=1?n—,

E(附)=DX|+(EXJ=1+0=1.

E(X;)=DX.+(EX.):=1+0=1,

■LJLI

2E(X,Xi)-2(EX,?EX.)=0，XE(X,X.)=X(EX,?EX.)=0,

故CovtYj.y.)=o+--]-0———Q-J-o=—--?

nnnn

所以n_]

。八丫?一一1n-r

n

56.【解答題】設隨機變量X”X2,X3相互獨立，且均服從參數為A的指數分

布,記Y=min{Xi,X2},T=max{Y,X3).

(1)求丫的概率密度fv(y)；

(II)求期望ET.

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參考解析:(I)由已知，Xi與X2相互獨立，故(Xi,X2)的概率密度為

[Xe-'?Xi>0?12>0,

/(Xl.川=1。，其他.

設丫的分布函數為Fy(y).則當y&O時,4(山=0;當y>0時,有

Fy(y)—P{miniXi.X}=1PX(>_y,Xz>?y}

=1-P<X(>y)?P{X2>y}=1—e—?e—

=1-em?

y>0,

故/丫卬=F/(y)=1

y^O.

(n)先求T的分布函數與概率密度.

當r40時，Fr⑺=0;當r>0時，有

FT(t)=PT&/}=P(max<y,XQ&八=P(Y<Z.X,《八.

而丫=min《Xi?X；)與M相互獨立，故

F,(t)=PYt?PX匚/=(1-e^)(1-c^).

麗力，、一F，r,、_公7+2祀-"-3入e-“?z>0.

所以/T(z)-FT(r)-