考研數學基礎班概率統計講義

第一章隨機事件與概率

一、隨機試驗與隨機事件

(一)基本概念

1、隨機試驗一具備如下三個條件的試驗：

(1)相同條件下可重復。(2)試驗的可能結果是多樣的且是確定的。

(3)某次試驗之前不確定具體發生的結果，這樣的試驗稱為隨機試驗，記為E。

2、樣本空間一隨機試驗的所有可能的基本結果所組成的集合，稱為隨機試驗的樣本空間。

3、隨機事件一樣本空間的子集稱為隨機事件。

(-)事件的運算

1、事件的積一事件A與事件8同時發生的事件，稱為事件A,8的積，記為A3。

2、事件的和一事件A或者事件8發生，稱為事件A,8的和事件，記為A+B。

3、事件的差一事件A發生而事件8不發生，稱事件的差事件，記為

(三)事件的關系

1、包含一若事件A發生則事件8一定發生，稱A包含于3,記為Au3。

若Au8且3uA,稱兩事件相等，記

2、互斥(不相容)事件一若A與8不能同時發生，即稱事件A,B不相容或互斥。

3、對立事件一若且A+B=/\稱事件為對立事件。

[j4W](1)A=(A-3)+A3,且A—B與A3互斥。

(2)A+B=(A-8)+(B—A)+A3,且4一氏3-448兩兩互斥。

(四)事件運算的性質

1、(1)ABuA(或3)uA+B；(2)AB^BA,A+B=B+A；

2、(1)AuA=A,AcA=A；

(2)Ac(BuC)=(AcB)u(AcC),Au(BcC)=(AuB)c(AuC)；

3、(1)A=(A-B)uA；(2)(A-B)cA=A-8；

(3)A+B=(A--A)o

4、(1)A+A—/\；(2)AoA—(I)o

二、概率的定義與性質

(一)概率的定義一設隨機試驗的樣本空間為人，滿足如下條件的隨機事件的函數P(?)稱為所對應事件的

概率:

1、對事件A,有P(A)NO(非負性)。

2、P(/\)=l(歸一性)。

0C____00

3、設A，A2，L,A”,L為不相容的隨機事件，則有P(UA“)=Z尸(A,)(可列可加性)。

p,,=i

(二)概率的基本性質

1、P(。)=0。

2、設4,4,L,A“為互不相容的有限個隨機事件列，則。(1/4,)=￡尸(4)。

■y

3、P(4)=l-P⑷。

4、(減法公式)P(A—B)=P(A)-尸(A3)。

(三)概率基本公式

1、加法公式

(1)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)?

(2)P(A+8+C)=P(A)+P(B)+尸(C)—P(AB)-尸(AC)-P(BC)+P(ABC)。

2、條件概率公式：設A,8是兩個事件，且P(A)〉O,則尸(5|4)=以皿。

P(A)

3、乘法公式

(1)設尸⑷>0,則尸(AB)=P(A)P(B|A).

((

2)PA4LA")=P(A1)P(&IA)P(41A,A2)LP(A?|A,A2LA?_,)?

三、事件的獨立性

1、兩個事件的獨立一設A,8是兩個事件，若尸(AB)=P(A)P(B),稱事件A,3相互獨立。

*P(AB)=P(A)P(B);

*P(AC)=P(A)P(C);

2、三個事件的獨立一設A,8,C是三個事件，若.，稱事件48,C相互獨立.

』(BC)=P(B)P(C);

一(ABC)=P(A)P(B)P(C),

【注解】

(1)A,8相互獨立的充分必要條件是A,后、彳,3、A方任何一對相互獨立。

(2)設P(A)=0或P(A)=1,則A與任何事件5獨立.

2

(3)設P(A)>0,P(8)>0,若A,B獨立，則不互斥；若A,8互斥，則不獨立.

四、全概率公式與Bayes公式

1、完備事件組一設事件組4，4，LA“滿足：⑴A，4=0(i,.)=l,2,L,〃,iWj)；

(2)UA,-A,則稱事件組A，4,L,A“為一個完備事件組。

i=l

2、全概率公式：設A1,4,L,A“是一個完備事件組，且P(A)〉0(i=l,2,L,〃)，B為事件，則

n

P(B)=￡P(4)P⑻4)。

i=l

3、貝葉斯公式：設A1,A2，L,A,為一個完備事件組，且P(A)>0(i=l,2,L,〃)，8為任一隨機事件，

P(B)〉O,則P(A\B)=「(A)P(5|A)。

iP(B)

例題選講

一、填空題

1、設尸(A)=0.4,尸(Au3)=0.7,

(1)若A,8不相容，則P(B)=；(2)若A,8相互獨立，則P(B)=。

2、設尸(4)=。(8)=2(0=1，2(43)=/?(4。)=;>(50=］，則事件A,8,C全不發生的概率為

46

O

19

3、設兩兩相互獨立的事件A,3,C滿足：A3C=。,P(A)=尸(3)=P(C)〈一，且有尸(A+8+C)=—,

216

則P(A)=。

4、設事件AB滿足尸(AB)=尸(N后)，且P(A)=p,則P(B)=。

5、設為兩個相互獨立的隨機事件，且都不發生的概率為上，A發生8不發生的概率與A不發生8

9

發生的概率相等，則尸(A)=。

二、選擇題：

I、設A,8是兩個隨機事件，且0〈尸(A)<l,P(B)〉0,P(8|A)=P(B|Z),則［］

(A)「(A|B)=P(A\B)；(B)P(A|8)豐P(k\B)；

3

(C)P(AB)=P(A)P(3)；(Q)P(A3)豐產(A)P(B)。

2、設事件AB滿足O<P(A)<1,O<P(B)<1,且P(A|3)+P(彳|歷=1,則[]

(A)事件A,3對立；(8)事件A,3相互獨立；

(C)事件A,8不相互獨立；(。)事件48不相容。

三、解答題

1、一批產品共有10個正品和2個次品，任意抽取2次，每次抽取一個，抽取后不放回，求第二次抽取的是

次品的的概率。

2、設工廠A與工廠8的次品率分別為1%和2%,現從由A和8生產的產品分別占60%和40%的一批產品

中隨機抽取一件，發現是次品，求該次品是A生產的概率。

19

3、設事件A在每次試驗中的概率為〃，三次獨立重復試驗中事件A至少出現一次的概率為求事件A

27

發生的概率

4、甲乙兩人獨立對同一目標射擊一次，命中率分別為50%和60%,已知目標被命中，求是甲命中的概率。

第二章一維隨機變量及其分布

—?、基本概念

1、隨機變量一設人為隨機試驗E的樣本空間，J為定義在A上的函數，對任意的86，總存在唯一

確定的久⑷與之對應，稱自為隨機變量，若J的可能取值為有限個或可列個，稱J為離散型隨機變量，若4在

某可區間上連續取值，稱自為連續型隨機變量。

2、分布函數一設J為一個隨機變量，稱函數尸。)=夕46％}(—8<%<+8)為隨機變量4的分布函數。

【注解1】分布函數的四個特征為

(1)0<FU)<1o(2)尸(x)單調不減。

(3)F(乃右連續。(4)F(-oo)=0,F(+oo)=1(,

【注解2】分布函數的性質

(1)P{X<a]-F(a-0)o(2)P{X=&}=尸3)—尸。一0)。

(3)P[a<x<b}=F(b)-F(a)?(4)P[a<X<b}=F(b-0)-Frcguup2.

3、離散型隨機變量的分布律一稱P{X=毛}=p,(lWiW〃)稱為隨機變量X的分布律。

【注解】⑴p,>0(l<z<n)o⑵0+小+L+外=1。

4

4、連續型隨機變量的密度函數一設X的分布函數為F(x),若存在非負可積函數/(x),使得

X

F(x)=￡f{t}dt,稱/(x)為X的密度函數。

+00

【注解】(1)/(x)>0o(2)ff{x)dx=1?

J—00

二、常見隨機變量及其分布

(一)離散型

kkk

1、二項分布一若隨機變量X的分布律為P{X=k}=C?p(\-py-^<k<n),稱隨機變量X服從二

項分布，記為X~p)。

A

2、Poisson分布一若隨機變量X的分布律為P{X=眉=一e-(k=0,l,2,L),稱隨機變量X服從泊松分

k\

布，記為X~%(4)。

3、幾何分布一若隨機變量X的分布律為P{X=k}=p(l-p)"T(Z=1,2,L),稱隨機變量X服從幾何分

布，記為X~G(p)。

(二)連續型

*1__/—,

——,a<x<b

1、均勻分布一若隨機變量J的密度函數為=,稱隨機變量J服從均勻分布，記為

愴其他

*0,x<0

Ax—a

4~。3,份，其分布函數為尸。)=：

\b-a

1(X-〃)2

2、正態分布_若隨機變量J的密度函數為/(%)=——<x<+8),稱隨機變量。服從正態

勿7

分布，記為彳~N(〃,b2),特別地，若〃=O,cr=l,稱隨機變量服從標準正態分布，記為J~N(0』)，其密度

1

為(p(x)=e(-co<x<+oo),其分布函數為

421

①(x)=J(p(t)dto

Me一於x>

0

3、指數分布一若隨機變量。的密度為/(%)=.(2>0),稱隨機變量J服從指數分布，記為

,0,x<0

5

*0,尤<0

其分布函數為尸(x)=.,。

⑴①(0)=工①(-。)=1-①(。)。

2

,1

(2)若4則尸{。4〃}=口自>〃}=一。

2

(3)若J~N(〃,cr2),則^L~N(0,l)。

a

(4)若J~N(〃,CT2),則P{a<g〈b}=/(份—E(a)=①(^1^)一①(^^)。

(T(7

例題選講

一、選擇題

1、設X”X2的密度為工。),力。)，分布函數為K(x)，尸2(幻，下列結論正確的是[]

(A)F|(X)+F2(X)為某隨機變量的分布函數；

(B)/(%)+f2(x)為某隨機變量的密度函數；

(C)F,(x)B(x)為某隨機變量的分布函數；

(。)力(x)人(x)為某隨機變量的密度函數。

2、設隨機變量X的密度函數/(幻為偶函數，其分布函數為F(x),則[]

(A)F(x)為偶函數：(B)F(-a)=2F(a)-l；

a1a

(C)F(-a)=l-j(￡))F(-<z)=--jf(x)(bc(.

3、設X~N(〃,42),Y~N(〃,52),令p=P{X<〃-4},夕=尸]丫2〃+5},貝IJ[

(A)對任意實數〃都有p=q；(B)對任意實數〃都有p<q；

(。對個別〃，才有p=g；(。)對任意實數〃，都有〃>q。

4、設X~N(〃Q2),則隨CT的增大，概率尸]|X—〃|<b}[J

(A)單調增大；(3)單調減少;'(0保持不變；(。)增減不確定。

二、填空題

1、設乂~陽〃02),方程:/+4)+乂=0無實根的概率為與則〃=

2

6

2、設X~BQ,p),Y~8(3,p),若P{XN1}=圾,則P[Y>1}=。

9

三、解答題

1、有3個盒子，第1個盒子有4個紅球1個黑球，第2個盒子有3個紅球2個黑球，第3個盒子有2個紅

球3個黑球，若任取一個盒子，從中任取3個求，以X表示紅球個數。

(1)寫處X的分布律：(2)求紅球個數不少于2個的概率。

?0,x<-1

2、設離散型隨機變量X的分布函數為尸。)=；,求X的分布律。

10.7,1<x<2

|l,x>2

3、設X的分布函數為尸(x)=：8,04x<l,

：l-Ae《T),xzi

(1)求A,B；(2)求密度函數f(x)；(3)求P{X>1}。

3

4、設X~U(0,2),求隨機變量y=x2的概率密度。

5、設X~N(O,I),且y=x2,求隨機變量y的概率密度。

第三章二維隨機變量及其分布

一、基本概念

1、聯合分布函數一設(x,y)為二維隨機變量，稱/(九,y)=P{x?尤,y?y}為(x,y)的聯合分布函數。

2、二維離散型隨機變量的聯合分布律一設(x,y)為二維離散型隨機變量，稱

P{X=項,丫=X}=p/=l,2,L,m,j=L2,L,〃)

為(x,y)的聯合分布律，稱

nm

P{X—Xj}—工-Pi.(z-1,2,L,〃z),P{Y—yj}=gpV1-p.j{j—1,2,L)〃)

分別為隨機變量x,y的邊際分布律。

3、連續型隨機變量的聯合密度函數一設(X,Y)為二維連續型隨機變量，若存在/(x,y)NO,使得

xy

尸(x,y)=P{Xf"吁八〃,v)du,稱/(x,y)為隨機變量(X,Y)的聯合密度函數，稱

J-QOJ-X

-KO-KO

人(無)=ff(x,y)dy,fY(y)^\f(x,y)dx

J-XJ-00

7

分別為隨機變量x,y的邊際密度函數。

【注解】聯合分布函數的特征有

(1)0<F(x,y)<U(2)F(x,y)關于為單調不減函數。

(3)尸(x,y)關于x或者y都是右連續。

(4)F(-oo,-oo)=0,F(-oo,+oo)=0,F(+oo,-oo)=0,F(+oo,+oo)=1,,

二、常見的二維連續型隨機變量

1、均勻分布一設二維連續型隨機變量(X,Y)的聯合密度為

:!,(x,y)e。

=，其中A為區域。的面積，稱(X,y)在區域。上服從均勻分布。

，0,(x,y)任。

2、正態分布一設二維連續型隨機變量(x,y)的聯合密度為

!

f(x,y)=-------------------exp｛-------J’x-M產-2p―3⑶-也)+廣〃2)21｝則稱(xr)服

兀22(1-p-)5

2ag“-pcy｝a2%

從二維正態分布，記為(X,Y)?N(〃，〃，。2,。2,2)，其中。>0,。>o

121212o

【注解】若(X,y)~N(〃，〃則x~N(〃，cr2),y~N(〃,cr2).

12121122

二、隨機變量的條件分布與隨機變量的獨立性

(-)二維離散型隨機變量的條件分布

1、設尸］丫=為｝>0,在事件｛丫=為｝發生的情況下，事件｛X=xJ發生的條件概率為

P｛X=x/y=yj｝=J=l,2,L)；

Pj

2、設P｛X=x,｝〉0,在事件｛X=xJ發生的情況下，事件｛丫=月｝發生的條件概率為

尸｛Y=y/X=%｝="(/=L2,L)。

Pi.

(二)二維連續型隨機變量的條件密度

f(x,y)

1、設人(y)〉0,則在'『=y"的條件下，X的條件概率密度為/xi“x|y)=---------。

A(y)

f(x,y)

2、設/x(x)>o,則在“x=x”的條件下，丫的條件概率密度為4x(yl尤)=^^。

fxM

8

（三）隨機變量的獨立性

1、定義一設（x,y）為二維隨機變量，若對任意的*/都有口（羽田=尸*（幻&（）0，稱隨機變

量x,y相互獨立。

2、獨立的充分必要條件

（1）離散型隨機變量一設（x,y）為二維離散型隨機變量，則x,y相互獨立的充要條件是

Py=Pi.xPj（i=1,2,L;j=1,2,Lo

（2）連續型隨機變量一設（x,y）為二維連續型隨機變量，則x,y相互獨立的充要條件是

八乂），）=人（%）%（）0（可以除去有限個點）。

【注解】若（x,y）為二維連續型隨機變量，求（x,y）的分布或數字特征時常需要使用聯合密度函數

/（x,y）,一般有如下三種情況：

（1）題中直接給出f（x,y）（若其中含參數，用歸一性求出）。

（2）x,y服從的分布已知且x,y獨立，則/（x,y）=AO）人⑶）。

（3）x的邊緣分布已知，且y的條件密度已知，則/（x,））=./x（x）/yix（y|x）。

三、隨機變量函數的分布

已知（x,y）的分布，z=（p（x,Y）,關于z的分布有以下幾種情形：

情形一：設（x,y）為離散型隨機變量，z=p（x,y）,則z為離散型隨機變量，求出其可能取值及對應的

概率即可。

情形二：（x,y）為連續型隨機變量，z=p（x,y）,其中e為連續函數，則z為連續型隨機變量，可用分

布函數定義求z的分布。

情形三：x,y中一個為連續型隨機變量，一個為離散型隨機變量，求z=p（x,y）的分布

例題選講

一、選擇題

1、設相互獨立的隨機變量x,y分別服從N（0,l）及則[]

（A）尸{X+丫40}=上；（B）P{X+Y<1}--;

22

9

(c)P{x-y〈O}=L；(D)P{X-Y<]}=-0

22

二、填空題

34

1、設X,y為兩個隨機變量，且P{X2O,hO}=—,P{X2O}=P{yNO}=—，則

77

P{max(X,y)>0}=。

三、解答題

1、袋中有10個大小相同的球，其中6個紅球4個白球，隨機抽取2個，每次抽取1個，定義如下兩個隨機

*1,第1次抽到紅*1,第2次抽到紅球

談

變量：x=.，第1次抽到白球丫=*，第2次抽到白球

yo,0

就下列兩種情況，求(x,y)的聯合分布律：

(1)每次抽取后放回；(2)每次抽取后不放回。

*A"2),x>0>0

2、設(X,Y)的聯合密度為/(x,y)=.'，求

W，其他

(1)常數A；(2)(X,Y)的分布函數；(3)Z=X+2Y的分布函數；

(4)P{X+2Y<\}RP{X<Y].

3、設隨機變量X~E(/l),求隨機變量Y=min{X,2}的分布函數。

4、設X~七(4),丫~E(%)且X,丫獨立。

(1)設2=11^*{乂,丫},求Z的密度函數。(2)Z=min{X,Y},求Z的密度函數。

第四章隨機變量的數字特征

一、數學期望及其性質

(-)數學期望的定義

00

1、離散型數學期望一設X的分布律為P{X=/}=H(Z=1,2,L),貝IjEX=gxkPk.

+00

2、連續型數學期望一設X的概率密度為/(x),則其數學期望為￡X=jxf(x)dxo

3、二維離散型隨機變量的數學期望一設離散型隨機變量(X,y)的聯合分布律為

P{X=x,,y=x}=p“a=L2,L"=1,2,L),Z=(x,y),則

io

8OO

EZ=乃)p4。

7=Tj=\

4、二維連續型隨機變量的數學期望一設二維連續型隨機變量(x,y)的密度為/'(x,y),z=(x,y),則

-KO-KO

EZ=J,*叭x,y)f(x,y)dy。

(三)數拿期望的性質

1、E(C)=C。2、E(kX)=kEX。3、E(X+Y)=EX+EY.

4、E(aX+bY)=aEX+bEY.

5、若隨機變量X,y相互獨立，則E(XY)=EX-Ey。

二、方差的定義及性質

(-)方差的定義一OX=E(X—EX)2。

(-)方差的計算公式一OX=EX2-(EX)2。

(三)方差的性質

1、0(0=0。2、D(kX)^k2DX.

3、設隨機變量X,y相互獨立，則O(X+y)=r>X+OY,D(aX+bY)=a2DX+b2DY.

三、常見隨機變量的數學期望和方差

1、二項分布：X~B(〃，p),EX=up,DX=npq0

2、泊松分布：X?"(4),EX=OX=4。

a+h(b-a#

3、均勻分布：X~U(a,b),EX=上上，DX=-------

212

4、正態分布：X~N(^i,<T2),EX=//,DX=(y\

四、協方差與相關系數

(一)定義

1、協方差一Cou(x,y)=E(x—EX)(y—Ey)。

cov(x,y)

2、相關系數一0xy=若0xy=O,稱隨機變量X,y不相關。

4DX4DY

(二)協方差的計算公式：Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY

11

（二）性質

1、Cov(x,x)=ox。2、若x,y獨立，則Cov(x,y)=o。

3、Cov(X,y)=G?v(y,X),4、Cov(aX,hY)=abCov(X,Y)?

5、Cov(aX+bY,Z)=aCov(X,Z)+bCov(Y,Z)。

6、D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y).

例題選講

一、填空題

1、設隨機變量X,y相互獨立，且ox=3,oy=2,則O（3X—2丫）=。

2、隨機變量X~E（A）,則P[X>JDX）=。

3、設x,y獨立同分布，且都服從N（O,‘），則￡|x—y|=,D\X-Y\=。

2

4、設X表示10次獨立重復射擊命中目標的次數，每次射擊命中概率為0.4,則EX2=

12

5、設隨機變量X的密度為=則￡X=、DX=.

6、設隨機變量X服從參數為4的泊松分布，且E[（X—1）（X—2）]=1,則4=o

二、解答題

^,Y<k

1、設丫~鳳1),X*=.伏=1,2),

^,Y>k

（1）求（X「X2）的聯合分布律；（2）E（Xt+X2）.

T-101/Y01/

2、設x與y的概率分布為x~1lx.y~1I?,且P{xy=0}=i,

-1

02仔22,

（1）求x,y的聯合分布律；（2）問x,y是否相互獨立？為什么？

3、設2,2],X=.,y=.，求

vLU>—lvl,U>l

（1）x,y的聯合分布律；（2）D（x+r）?

3i

4、試驗成功的概率為，失敗的概率為，獨立重復試驗直到成功2次為止，以X表示所需要進行的試

12

4-4

13

驗次數，求X的概率分布與數學期望。

*1X?/

~COS-,0<X<71

5、設X的密度函數為/（幻=：22,對X獨立重復觀察4次，y表示觀察值大于一的次數，

歸,其他3

求后產。

第五章大數定律與中心極限定理

一、車比雪夫不等式

設隨機變量X的方差存在，則對任意的￡>0,有

r）vnv

P{\X-EX\>￡}<——,或者P{|X-EX|<?>1-——o

二、大數定律

1、（車比雪夫大數定律）設隨機變量X,X2，L,X〃,L相互獨立，DXj存在且DXt<M0（z=1,2,L）,則

1SLVl<￡}=1。

對任意的￡>o,有!imP{|/Xj—-ZEX

*〃曰nL

2、（獨立同分布）設*1,乂2，1_,*〃，1_獨立同分布，且EX1-=〃,DXj2（i=i,2,L）,則對任意的2>0,

二a

有!imP{|/?=1。

"n,=|

3、（貝努利大數定律）設*1,*2，1_,乂”,1_獨立同分布于參數為〃的0—1分布，則對任意的￡>0,有

JmPI^Xj-pK引=1。

n日

4、（辛欽大數定律）設X,,X2,L,X?X獨立同分布，且EXj=〃，則對任意的￡>0，有

口mP{|吃乂廠〃1<￡}=1。

nt

三、中心極限定理

1、（Levy-Lindberg中心極限定理）設隨機變量序列X,,X2,L,X?,L獨立同分布，且

EXj=〃,OX,=cP（i=1,2,L），則對任意實數x，有

n

limP{EX十一"〃<x}=1xe&t。

14

…4no24J

15

2、(拉普拉斯中心極限定理)設Xn~B(n,p)(0<p<1)(/2=1,2,L),則對任意實數x,有

limP{<x}=~\e'^dt。

"T8p)J2%J

例題選講

1、設隨機變量X~E(5),用車比雪夫不等式估計P|X-5|?3}4。

2、設X~N(0,42),Y~(2,52),且X,Y相互獨立，用車比雪夫不等式估計P{|X+Y-2|<4}2

第六章數理統計基本概念

一、基本概念

1、總體一被研究對象某指標的所有可能結果稱為總體。

2、簡單樣本及樣本觀察值一設總體為X,則來自總體X的〃個相互獨立且與總體X同分布的隨機變量

X1,X2，L,X”稱為簡單隨機樣本，樣本X1,X2，L,X”的觀察值X“X2，L,與稱為樣本觀察值。

3、統計量一樣本的無參函數稱為統計量。

二、樣本常用數字特征

設X1,X2，L,X”為來自總體X的簡單樣本，則

—1￡

1、樣本均值一X=—

〃,=1

1"—

2、樣本方差一G=一

及一1M

3、樣本的女階原點矩一4=/x；,攵=1,2,L。

4、樣本的女階中心矩一從=X(X「攵)，攵=1,2,1_。

〃T

三、常用的抽樣分布

1、%12—分布

(1)定義一設隨機變量X1,X2，L,X”相互獨立且都服從標準正態分布，則稱隨機變量

2222222

z=X1+X2+L+X〃為服從自由度為力的％分布，記為力?力(〃)。

16

(2)性質：

1)設X~%2(〃)，則EX=n,DX=2n；

2）設*~/（加）,丫~/（〃），且x,y相互獨立，則x+y~/（加+〃）。

2、/—分布

設隨機變量x~N（o,i）,y~%2（〃），且x,y相互獨立，則稱隨機變量t=X—為服從自由度為〃的，分

~JY/n

布，記為，?？5）。

3、尸一分布

<■>cX/m

（1）定義一設隨機變量x~%一（機）,丫~7-（〃），且x,y相互獨立，則稱隨機變量/=-----為服從自由

Yin

度為機,〃的廠分布，記為F~F（m,n）?

（2）性質

設.~F（~M，則1~尸（〃,附。

四、一個正態總體下幾個常用的統計分布

設總體X~汽（",。2）,乂1,*2，1_,乂〃是來自正態總體*的簡單樣本，則

一bX—〃

1、X~N(〃,_),―pV(O,l)。2、------~t(n-1)。

n(j/ylns/冊

(〃一1)S，2/1、L"(X-〃)2~/(〃)。

1"(X-X)2~%(〃T)。4、

3、

2

°i=i0°/=1

5、ES2=cr2o6、又與S?獨立。

例題選講

1、設X1,X2，L,X“是來自正態總體N（〃,cr2）的簡單樣本，記

n

S；=——1X?(x,-——x)2,s；=工1(Xj----X----"

n—\/=i〃z=i

1n]〃

則服從自由度為〃-1的，分布的統計量是

17

(即令；⑻sap(O超⑵自。

2、設M,X2,X3,X4是來自正態總體X~N(0,4)的簡單樣本，且U=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4尸服

從??分布，求及自由度。

3、設總體X,Y獨立同分布且都服從正態分布N(O,9),