北京人民大學附中2024屆高三二診模擬考試數學試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：木題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設"，尺分別為雙曲線二一與=1b>0）的左、右焦點，過點尸?作圓/的切線與雙曲線的左

CTb~

支交于點尸，若歸段=2|P用，則雙曲線的離心率為（）

A.V2B.GC.不D.V6

2.以下關于/（x）=sin2x-cos2戈的命題，正確的是

A.函數“X）在區間0,子上單調遞增

B.直線x=J需是函數y=/（x）圖象的一條對稱軸

O

C.點（jo]是函數y=圖象的一個對稱中心

D.將函數），=/（力圖象向左平移需9個單位，可得到y=0sin2x的圖象

0

3.在AA3C中，“sinA>sin3”是“tanA>tan8”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.在關于x的不等式0^+21+1>0中，是“加+2x+l>0恒成立”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.函數/（x）=cos2x（xe[-肛2句）的圖象與函數g（x）=sinx的圖象的交點橫坐標的和為（）

5n7）—

A.—B.27rC.—D.冗

36

7

6.已知dANC的內角A、B、C的對邊分別為。、b、c,且4=6Q。，b=3,4。為8C邊上的中線，若4。二不，

2

則A8C的面積為（）

25GR156D.2

A.15.------

~T~44

兀7t

7.己知。滿足sintz=-,則cos一+acos---a)

3(4)4

7777

A.B.-C.——D.----

189189

8.定義：N{/(x)③g(x)}表示不等式f(x)<g(x)的解集中的整數解之和.若/(x)=|log2x|,g(x)=a(x-1尸+2,

N{/(x)8g*)}=6,則實數。的取值范圍是

(*刈

A.(-00,-1]B.(Iog3-2,0)C.(2-log6,0]D.

224

9.設拋物線C:y2=2PMp>0)的焦點為尸，拋物線C與圓廠：/+(),_Gy=3交于M,N兩點，若|MN|=6，則

MV廠的面積為()

V23五

Kr-z?------D,也

884

x~-x,x<a

10.已知函數/。)=〈(Q>0),若函數g(x)=/(x)-4|X有三個零點，則a的取值范圍是()

5-x,x>a

(0,l)J[5,+oo)B.(0,1)J[5,+oo)

D.(1,5]

C.0,5]

如國示，三棱錐ABC的底面ABC是等腰直角三角形,NAC8=90°，且%=P8=/W=&，PC=6，

則PC與面以B所成角的正弦值等于()

2

A.B,顯D,也

3333

12.下列判斷錯誤的是()

A.若隨機變量4服從正態分布N0,/),尸(JW4)=0.78,則P^<-2)=0.22

B.已知直線/_L平面。，直線加〃平面夕，則是“/_L〃?”的充分不必要條件

C.若隨機變量J服從二項分布：&川4,則￡（劣=1

D.是的充分不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在（'+.4’的展開式中，x的系數等于一.

14.已知變量巧￡（0,6）（〃>0）,且MV-G，若xjvx/恒成立，則機的最大值_______.

15.如圖是九位評委打出的分數的莖葉統計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的平均分為

778

824468

934

16.己知雙曲線C：I一與=1（?>0,/?>（））,直線/：x=4a與雙曲線。的兩條漸近線分別交于A,4兩點.

a2b2

若AOAB（點。為坐標原點）的面積為32,且雙曲線。的焦距為2、6，則雙曲線C的離心率為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）設函數/*）=5-卜+4-k一2|.

（1）當。=1時，求不等式/0）2（）的解集；

（2）若恒成立，求。的取值范圍.

r

18.（12分）如圖，在直三棱柱ABC-AyC'中，AC.LAB,AA=AB=AC=2tDtE分別為44,〃。的中點.

（1）證明：平面9O￡_L平面AA38；

（2）求點C到平面夕。后的距離.

19.（12分）某企業現有A.△兩套設備生產某種產品，現從4,B兩套設備生產的大量產品中各抽取了100件產品作

為樣本，檢測某一項質量指標值，若該項質量指標值落在［20,40）內的產品視為合格品，否則為不合格品.圖1是從A

設備抽取的樣本頻率分布直方圖，表1是從B設備抽取的樣本頻數分布表.

圖1：A設備生產的樣本頻率分布直方圖

表1:5設備生產的樣本頻數分布表

質量指標值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

頻數2184814162

（1）請估計4.B設備生產的產品質量指標的平均值；

（2）企業將不合格品全部銷毀后，并對合格品進行等級細分，質量指標值落在［25,30）內的定為一等品，每件利潤240

元；質量指標值落在［20,25）或［30,35）內的定為二等品，每件利潤180元；其它的合格品定為三等品，每件利潤120

元.根據圖1、表1的數據，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產品中抽到一件

相應等級產品的概率.企業由于投入資金的限制，需要根據A,〃兩套設備生產的同一種產品每件獲得利潤的期望值調

整生產規模，請根據以上數據，從經濟效益的角度考慮企業應該對哪一套設備加大生產規模？

20.（12分）已知函數/（刈二］-XG(0,+CO).

（1）討論/（x）的單調性；

（2）曲線/（“在點（2J（2））處的切線斜率為

（I）求〃；

（?）若就一左）/'（幻之-a+i）2,求整數攵的最大值.

21.（12分）有甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司底薪80元，送餐員每單制成4元；乙公司

無底薪，40單以內（含40單）的部分送餐員每單抽成6元，超過40單的部分送餐員每單抽成7元.現從這兩家公司各

隨機選取一名送餐員，分別記錄其50天的送餐單數，得到如下頻數分布表：

送餐單數3839404142

甲公司天數101()15105

乙公司大數1()1510105

（1）從記錄甲公司的50天送餐單數中隨機抽取3天，求這3天的送餐單數都不小于4（）單的概率;

（2）假設同一公司的送餐員一天的送餐單數相同，將頻率視為概率，回答下列兩個問題：

①求乙公司送餐員日工資的分布列和數學期望；

②小張打算到甲、乙兩家公司中的一家應聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，小張應選擇哪家公司應聘？說明你

的理由.

22.（10分）如圖，在AA8C中，AC=2fZA=-f點。在線段A8上.

3

(1)若cosNCO8=-J,求CD的長；

3

(2)若AD=2r)8,sinZACD=y/lsinZBCDt求AA8C的面積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

設過點￡作圓V+），2=〃的切線的切點為了，根據切線的性質可得。7_1不，且1。71=〃，再由|”|=2|P娟和

雙曲線的定義可得|P￡|=2Q,|P6|二4〃，得出T為中點,則有。T//P外，得到即可求解.

【詳解】

設過點￡作圓V+y2=〃的切線的切點為了，

OTIPF^F.T\=7lOF.|2-b2=a

歸國=2|尸磯歸周一歸周=2〃,|P聞=他|尸制=2〃,

所以7'是片產中點，，07//?巴,..尸4,明,

222

/.|PF])+]明|=20a=\F}F2\=4ct

故選:C.

【點睛】

本題考查雙曲線的性質、雙曲線定義、圓的切線性質，意在考查直觀想象、邏輯推理和數學計算能力，屬于中檔題.

2^D

【解析】

利用輔助角公式化簡函數得到/。)=、歷$也(2九-￡),再逐項判斷正誤得到答案.

【詳解】

/(x)=sin2x-cos2x=0sin(2x--)

4

A選項，xe0,一二|n2工一7w(-7，-7丁)函數先增后減，錯誤

B選項，x==0不是函數對稱軸，錯誤

84

C選項，x==f,不是對稱中心，錯誤

444

D選項，圖象向左平移需土個單位得到)，=J5sin(2(x+f)—2)二五sin2x,正確

884

故答案選D

【點睛】

本題考查了三角函數的單調性，對稱軸，對稱中心，平移，意在考查學生對于三角函數性質的綜合應用，其中化簡三

角函數是解題的關鍵.

3、D

【解析】

通過列舉法可求解，如兩角分別為二,二I時

63

【詳解】

當A=2,8=工時，sinA>sinB,但tanA<tan8,故充分條件推不出；

36

當A=2,B=—巴時，tan4>tanB,但sin4vsin故必要條件推不出；

63

所以“sinA>sin〃”是“tanA>tan〃”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

【點睛】

本題考查命題的充分與必要條件判斷，三角函數在解三角形中的具體應用，屬于基礎題

4、C

【解析】

討論當。>1時，依2+21+1>0是否恒成立；討論當依2+2x+l>0恒成立時，是否成立，即可選出正確答案.

【詳解】

解：當”>1時，△=4-4。<0,由y=+2x+l開口向上，則公？+2x+l>0恒成立；

當辦2+2x+1>0恒成立時，若。=0,則2x+l>0不恒成立，不符合題意，

67>0

若。工0時，要使得以？+2戈+1>0恒成立，貝6人，，八，即.

△二4-4a<0

所以“〃>1”是“加+2x+1>0恒成立”的充要條件.

故選:C.

【點睛】

本題考查了命題的關系，考查了不等式恒成立問題.對于探究兩個命題的關系時，一般分成兩步，若pnq,則推出〃

是q的充分條件；若夕=〃，則推出〃是q的必要條件.

5、B

【解析】

根據兩個函數相等，求出所有交點的橫坐標，然后求和即可.

【詳解】

?冗3幾

令sinx二cos2x,有sinx=l-2sin2.T,所以sinx=-l或sinx=；；?又-肛2句，所以工=一,或工=弓■或

n_54

=~或x=/，所以函數/（X）=cos2x（x?—肛2句）的圖象與函數g（"=sinx的圖象交點的橫坐標的和

66

713冗7154

——十一+—=2乃,故選B.

2266

【點睛】

本題主要考查三角函數的圖象及給值求角，側重考查數學建模和數學運算的核心素養.

6、B

【解析】

延長A。到八使4)=/%',連接BE,CE,則四邊形為平行四邊形，根據余弦定埋可求出A8=5,進而可

得A8C的面積.

【詳解】

解：延長A。到E,使AD=DE,連接區E,CE,則四邊形A8EC為平行四邊形,

則8E=AC=3,ZABE=180-60=120,AE=2AD=7,

在△ABE中，AE2=AB2+BE--2AB-BEcosZABE

則72=482+32—2XA8X3XCOS120,得AB=5,

石

S八8c=g/W?ACsin60=-x5x3xGJ5

2

故選：I工

【點睛】

本題考查余弦定理的應用,考查三角形面積公式的應用，其中根據中線作出平行四邊形是關鍵，是中檔題.

7、A

【解析】

利用兩角和與差的余弦公式展開U算可得結果.

【詳解】

1

.sinez=-,

3

兀.7T.V兀.71,

cos—cossin—sincos—cosa+sin—sina

44JI44

M?222

cosa+----sina=-i(cosa—sina)=—(1—2sina)

2

故選：A.

【點睛】

本題考查三角求值，涉及兩角和與差的余弦公式的應用，考查計算能力，屬于基礎題.

8、D

【解析】

由題意得，N{/“)0g(x)}=6表示不等式|log?x|<-1/+2的解集中整數解之和為6.

當。>0時，數形結合(如圖)得|logMl<a(x-1尸+2的解集中的整數解有無數多個，||42工|<4@-1y+2解集中的

整數解之和一定大于6.

當叫。時，g(M2,數形結合(如圖)，由小)<2解得.在(%)內有3個整數解'為L2,3,滿足

N{/(x)8g*)}=6,所以。=0符合題意.

當avO時,作出函數/*)=|1。氏劉和晨幻=心-1)2+2的圖象，如圖所示.

若N{/[x)gg(x)}=6,即110gH＜小一1)2+2的整數解只有1,2,3.

…⑶，即］工2,解得三5。，所以編工….

只需滿足J

綜上，當N{/(x)?g*)}=6時，實數。的取值范圍是(拽—二2,()].故選D.

9、B

【解析】

由圓。'過原點，知M,N中有一點M與原點重合，作出圖形，由|C'M=|CN|=G,|MN|=m，得CMIC'N,

從而直線MN傾斜角為寫出N點坐標，代入拋物線方程求出參數〃，可得下點坐標，從而得三角形面積.

4

【詳解】

由題意圓。'過原點，所以原點是圓與拋物線的一個交點，不妨設為M,如圖，

由于|CM|=|CW|=G，=???CM_LCN,???NCMN=(,ZNOx=^t

???點N坐標為(6,6)，代入拋物線方程得(6)2=2pxG，〃二當，

【點睛】

本題考查拋物線與圓相交問題，解題關鍵是發現原點。是其中一個交點，從而AMNC是等腰直角三角形，于是可得N

點坐標，問題可解，如果僅從方程組角度研究兩曲線交點，恐怕難度會大大增加，甚至沒法求解.

10、A

【解析】

分段求解函數零點，數形結合，分類討論即可求得結果.

【詳解】

作出），=f一工和y=5-_r,），=4兇的圖像如下所示:

函數g（R）=一4國有三個零點，

等價于y=/（x）與），=4kl有三個交點，

又因為。＞0,且由圖可知，

當xWO時y=/（x）與丁=4國有兩個交點A。，

故只需當x＞o時，y=/（x）與y=4忖有一個交點即可.

若當久＞0時，

時，顯然m（口）與Zl=4|匚I有一個交點口，故滿足題意；

。=1時，顯然［二□（□）與匚=4||沒有交點，故不滿足題意；

4￡（1,5）時，顯然口=口（匚）與口=4|口|也沒有交點，故不滿足題意；

。＜5,十力）時，顯然y=/（x）與y=*X有一個交點。，故滿足題意?

綜上所述，要滿足題意，只需。￡（（M）U5,4W）.

故選：A.

【點睛】

本題考查由函數零點的個數求參數范圍，屬中檔題.

11、A

【解析】

首先找出PC與面不，所成角，根據所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根據同角三角函數關系

求出所成角的正弦值.

【詳解】

由題知A3C是等腰直角三角形且/AC3=90。，A45P是等邊三角形,

設A8中點為。，連接尸。，CO,可知。。="，CO=—t

22

同時易知ABLCO,

所以48_1面夕0。，故NPOC即為尸。與面Q44所成角,

PO2+CO2-PC2272

有cosNPOC=

2Poe0~Y

故sinNPOC=Jl—cos/尸。C=

3

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計算，屬于基礎題.

12、D

【解析】

根據正態分布、空間中點線面的位置關系、充分條件與必要條件的判斷、二項分布及不等式的性質等知識，依次對四

個選項加以分析判斷，進而可求解.

【詳解】

對于A選項，若隨機變量4服從正態分布P（JW4）=0.78,根據正態分布曲線的對稱性，有

P（^<-2）=P（^>4）=1-P（^<4）=1-0.78=0.22,故A選項正確，不符合題意；

對于4選項，已知直線/_L平面。，直線加〃平面夕，則當夕時一定有/_Lm,充分性成立，而當/_L〃?時，不

一定有。//4，故必要性不成立，所以〃”是的充分不必要條件，故4選項正確，不符合題意;

(1A1

對于。選項，若隨機變量〈服從二項分布：4B4,-,則E(0)=叩=4x7=1,故C選項正確，不符合題意;

I4，4

對于。選項，am>bin,僅當〃7>0時有當〃?<0時，不成立，故充分性不成立；若a>b,僅當〃z>0

時有am>bm,當機<0時，am>bin不成立，故必要性不成立.

因而是。>。的既不充分也不必要條件，故D選項不正確，符合題意.

故選：D

【點睛】

本題考查正態分布、空間中點線面的位置關系、充分條件與必要條件的判斷、二項分布及不等式的性質等知識，考查

理解辨析能力與運算求解能力，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、7

【解析】

<2(1_iV/1\r

由題，得7；“=C；/=C；-x4-r,令，=3,即可得到本題答案.

【詳解】

1fl(1V

由題，得(+1=C；/2=C；|1|

令〃=3,得X的系數==7.

故答案為：7

【點睛】

本題主要考查二項式定理的應用，屬基礎題.

14、e

【解析】

InX

在不等式兩邊同時取對數，然后構造函數=——，求函數的導數，研究函數的單調性即可得到結論.

X

【詳解】

不等式兩邊同時取對數得Inxj<In%』，

即xilnxi<xilnx2f又西,馬￡(0,

Inxin居

即一L<一成立，

Inx

設J(x)=——，(0,m),

x

VX1<X2,/(xi)<f(X2),則函數/(x)在(0,由)上為增函數,

1.

-7*WZ.AAtE3W/j.X-InX

函數的導數f⑶=X1-lnx,

x2二T

由/(x)>0得1-/〃x>0得，〃xVl,

得OVxVe,

即函數/（x）的最大增區間為（0,c）,

則機的最大值為e

故答案為：e

【點睛】

本題考查函數單調性與導數之間的應用，根據條件利用取對數得到不等式,從而可構造新函數，是解決本題的關鍵

15、1

【解析】

寫出莖葉圖對應的所有的數，去掉最高分，最低分，再求平均分.

【詳解】

解：所有的數為：77,78,82,84,84,86,88,93,94,共9個數,

去掉最高分，最低分，剩下78,82,84,84,86,88,93,共7個數,

78+82+84+84+86+88+93

平均分為

~1~=85,

故答案為1.

【點睛】

本題考查莖葉圖及平均數的計算，屬于基礎題.

16、石或亞

2

【解析】

用。功表示出.048的面積，求得出〃等量關系，聯立焦距的大小，以及/+〃2=。2,即可容易求得則離心

率得解.

【詳解】

x=4。，

聯立b解得），=4匹

y=-x

所以Aaw的面積5=\6ab=32,所以他=2.

2

而由雙曲線C的焦距為26知，c=15,所以/+6=5.

a=l,\a=2,

聯立解得或《

b=2匠1,

故雙曲線C的離心率為石或立.

2

故答案為：逐或日.

【點睛】

本題考查雙曲線的方程與性質，考查運算求解能力以及函數與方程思想，屬中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)[-2,3]；(2)(-6]u[2,-Ko).

【解析】

分析：(1)先根據絕對值幾何意義將不等式化為三個不等式組，分別求解，最后求并集，(2)先化簡不等式為

|x+〃|+|x-2|N4,再根據絕對值三角不等式得|x+a|+|x-2|最小值，最后解不等式|。+2但4得。的取值范圍.

詳解：(1)當〃=1時，

2x+4,x<-1,

/(x)=2,-1<x<2,

-2x+6yx>2.

可得的解集為3-2WxW3}.

(2)/(x)Wl等價于卜+4+上一2住4.

而,+。|+,一2月〃+2],且當x=2時等號成立.故/'(x)Wl等價于|a+2|N4.

由|〃+2隹4可得〃工-6或〃N2,所以〃的取值范圍是(YQ,-6]U[2,+CO).

點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解.法一是

運用分類討論思想，法二是運用數形結合思想，將絕對值不等式與函數以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函

數、數形結合與轉化化歸思想方法的靈活應用，這是命題的新動向.

18、(1)證明見解析；(2)延.

5

【解析】

(1)通過證明/汨，面即可由線面垂直推證面面垂直；

(2)根據A'。'//面87少3將問題轉化為求4到面A7)《的距離，利用等體積法求點面距離即可.

【詳解】

(1)因為棱柱ANC-A'EC是直三棱柱，所以ACJ.4T

又ACAA(AB=A

所以4。_1面4八49

又。，￡分別為A8,3c的中點

所以O￡〃AC

即/)￡_!_面A'ABZT

又DEu面B'DE,所以平面夕。E_L平面A'AB?

(2)由(1)可知NC〃AC〃DE

所以4C〃平面B'OE

即點C到平面BDE的距離等于點A'到平面BrDE的距離

設點4到面9OE的距離為〃

由(1)可知，。￡_1面4/82

且在心夕。石中，B，D=亞,DE=\

.，.SIt.DE=當易知SAA，WD=2

由等體積公式可知匕'-BDE=yE-AB'D

即§S\WDEx人=?Sv487)XDE

,1V5,1cI須，4百

由一x—h=—x2x1得h=----

3235

所以C到平面B'DE的距離等于撞

5

【點睛】

本題考查由線面垂直推證面面垂直，涉及利用等體積法求點面距離，屬綜合中檔題.

19、(1)/=30.2,其=29；(2)B設備

【解析】

(1)平均數的估計值為組中值與頻率乘積的和；

(2)要注意指標值落在［20,40)內的產品才視為合格品，列出A、8設備利潤分布列，算出期望即可作出決策.

【詳解】

(1)A設備生產的樣本的頻數分布表如下

質量指標值

[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

頻數41640121810

另=0.04x17.5+0.16x22.5+0.40x27.5+().12x32.5+0.18x37.5+0.10x42.5=30.2.

根據樣本質量指標平均值估計4設備生產一件產品質量指標平均值為30.2.

B設備生產的樣本的頻數分布表如下

質量指標值

[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

頻數2184814162

xB=17.5x0.02+22.5xOJ8+27.5x0.48+32.5x0.14+37.5x0.16+42.5x0.02=29

根據樣本質量指標平均值估計B設備生產一件產品質量指標平均值為29.

(2)A設備生產一件產品的利潤記為X,B設備生產一件產品的利潤記為匕

X240180120

20149

P

434343

Y24018()120

111

rP

236

E(X)=2_(240x20+180x14+120x9)=195.35

E(y)=240x1+180x1+120x1=200

236

￡(x)<E(y)

若以生產一件產品的利潤作為決策依據，企業應加大n設備的生產規模.

【點睛】

本題考查平均數的估計值、離散隨機變量的期望，并利用期望作決策，是一個概率與統計綜合題，本題是一道中檔題.

20、(1)在(In。,”)上增；在(0,Ina)上減；(2)(1)1；(?)2

【解析】

(1)求導求出r(x),對a分類討論，求出/(幻>0,/。)<0的解，即可得出結論；

(2)(I)由/'(2)=3(?2-1),求出。的值；

(?)由⑴得所求問題轉化為。一幻(，—l)+x+120,x￡(0,+。。)恒成立，設

g(X)=(X-幻(e'-l)+X+l,X￡(0,+8),只需晨必出之0,根據g(X)的單調性，即可求解.

【詳解】

(1)r(x)=*+l)(e”—a)

當時，r(x)>0,即在(0,一)上增；

當時，/'(x)>0,x>\natf'(x)<0,Ocxvlna,

即/(x)在(Ina,+oo)上增;在(0,Ina)上減;

(2)⑴/'(2)=3(/-。)=3(/-11,\a=1.

(ii)(x-k)f(x)>-(x^l)2,即5一Z)(eT)+x+lNO,

即g(x)=(x-A)(—T)+x+l,只需以初面2°?

g，(x)=(x-"l)"

當ZW1時，g'(x)>0,g(力在(0,m)單調遞增,

所以晨可>煎0)=1>0滿足題意；

當斤>1時,g'(x)>0,x>k-\?g'(x)>0,Ovxv攵一1

所以g")在(0,攵-1)上減，在化-1,3)上增,

g(%)mm=g(無-1)=一"I+上+1>0

令〃(Z)=-/T+A+1,h\k)=\-ek-[.

/⑴=0.〃(因在(L+oo)單調遞減,所以〃(。)<0

所以力⑻在(1,+8)上單調遞減

/?(1)=1>0,%⑵=3—e>0,h(3)=4-e2<0

綜上可知，整數攵的最大值為2.

【點睛】

本題考查函數導數的綜合應用，涉及函數的單調性、導數的幾何意義、極值最值、不等式恒成立，考查分類討論思想,

屬于中檔題.

21、(1)=29；；(2)①分布列見解析，E(X)=238.6；②小張應選擇甲公司應聘.

140

【解析】

(1)記抽取的3天送餐單數都不小于40為事件A，可得P(A)的值.

(2)①設乙公司送餐員送餐單數為。，