主題二

函數第二章函數(必修第一冊)

第1節(jié)函數的概念及其表示

卜作血靈活》發(fā)為敬提他

Z選題明細表

知識點、方法基礎鞏固練綜合運用練應用創(chuàng)新練

函數的概念與表示2,3,61416

函數的定義域1,4,5,711

分段函數8,9,1012,1315

A級基礎鞏固練

1.(2021?江蘇淮安五校高三聯(lián)考)函數f(x)二任3+lg(3x-l)的定義

域為(A)

1

A.(31]B.(0,1]

11

C.(-?>,3)D.(0,3)

解析:要使f(x)=vi^lg(3x-l)有意義則有匕-1>0,解得WL

所以函數f(x)=的三十lg(3x-1)的定義域為同1].故選A.

ii

2.已知函數f(x)滿足f(：)+；f(-x)=2x(x#0),則f(-2)=(C)

79

C.2D.-2

解析:法一由fG)+*f(-x)=2x,①

12

可得f(-x)-xf(*)=-?,②

2

將①乘以x+②得2f(-x)=2x-?

17

所以f(-x)=x2-x所以f(-2)=2故選C.

11

法二根據題意，函數f(x)滿足fG)+力(-x)=2x(x#0),

11

令x=2可得f(2)+2f(-2)=4,①

11

令x=-5可得f(-2)-2f(2)=-i,②

7

聯(lián)立①②解得儀-2)=5.故選C.

3.(2021?江西贛州高三期中)已知函數f(x)=2\g(x)=x2-a,若

f[g⑴]=1,則a=(B)

A.-lB.1

C.2D.3

解析：因為函數f(x)=2X,g(x)=x2-a,所以f[g(1函數f1,解得a=1.故

選B.

4.(2021?湖北荊州中學高考四模)定義域是一個函數的三要素之一,

已知函數f(x)的定義域為[211,985],則函數g(x)=f(2018x)+

f(2021x)的定義域為(A)

211985211985

A.[2018,2021]B.F021,2018]

211985211985

C.[2018,2018]D.[2021,2021]

[211W2018xW985,211985

解析：根據題意得LilW2021x<985,解得xe[表后,表五].故選

A.

5.(2021?天津南開中學高三模擬)下列四個函數:①y=3-x;②

y=216>0);③y=x2+2xT0;

Xx<0,

,1

④產匕，霓>6其中定義域與值域相同的函數的個數為(B)

A.1B.2C.3D.4

解析:①y=3-x的定義域與值域均為R;②y=2i(x>0)的定義域為(0,+

1

8),值域為(2+CO);③丫內之十2*-1。的定義域為R,值域為[T1,+8)；

Xx<0,

'1x>0

④y二Q'的定義域和值域均為R.所以定義域與值域相同的函數

是①④,共有2個.故選B.

6.(多選題)下列函數中，滿足f(2x)=2f(x)的是(ABD)

A.f(x)=|2x|B.f(x)=x

C.f(x)=3D.f(x)=x-|x|

解析:f(x)=|2x1,f(2x)解析1,2f(x)=41xI,所以A正確;

f(x)=x,滿足f(2x)=2f(x),所以B正確;

f(x)二正,f(2x)二0,2f(x)二2件不滿足f(2x)二2f(x),所以C不正

確；

f(x)=x-1x|,f(2x)=2x-21x|,2f(x)=2x-21x|,所以D正確.故選ABD.

i

7.(2021?安徽合肥高三聯(lián)考)己知函數￡6)的定義域是口,8],則

f(2?的定義域是.

11

解析:因為函數f(x)的定義域是反8],所以左2,忘8,得-1?.

所以f(2')的定義域為

答案：[T,3]

+3,x<0,

e...................2+-1,又？0,則f(2)=;不等式f(x)>

f(l)的解集為.

解析:f(2)=22+2-1=5,

(x<0,fx>0,

f(x)>f⑴等價于L+3>1或者1x2+X-1>1.

解得-2<x<0或x>L

答案:5(-2,0)U(l,+oo)

仔-2(乂>2),

9.設函數f(xhLMxV2)，若f(小)二7,則實數m二.

解析:①當m22時,f(IT)=7,即布-2二7,解得m=3或m=-3(舍去)，則m二3;

②當m<2時,f(m)=7,即logjiF7,解得m=27>2,舍去.綜上可得,實數m

的值為3.

答案：3

1(l-2a)x+3a,x<1,

10.已知函數f(x)J1nx"'1的值域為R,則實數a的取

值范圍是.

解析：由題意知f(x)=lnx(x'l)的值域為［0,+8),故要使f(x)的值

域為R,則必有f(x)=(l-2a)x+3a為增函數，且1-2a+3a20,所以

11

l-2a>0且a>-l,解得-1所以實數a的取值范圍是［-1,2).

1

答案：［-1出

B級綜合運用練

3+xx3

1L設函數f(x)=Lg石，則fd)+f6)的定義域為(B)

A.(-9,0)U(0,9)B,(-9,-1)U(1,9)

C.(-3,-1)U(1,3)D,(-9,-3)U(3,9)

3-H

解析：因為函數f(x)=1g三，

3-H

所以三>0=-3<x<3,

-9<x<9,

-3<-<3,所以&>1或xV-l,

所以1x

所以-9<x<T或l<x<9,故選B.

fl,X為有理數，

12.(多選題)函數f(x)=l°，x為無理數則下列結論正確的是

(ACD)

A.任意x都有f(x)=f(-x)

B.方程f(f(x))=f(x)的解只有x=l

C.f(x)的值域是{0,1}

D.方程f(f(x))=x的解只有x二l

解析：當X為有理數時「X為有理數,則f(x)=f(-x)=l,當X為無理數

時,-X為無理數,則f(x)=f(-x)=o,故A正確；

當x為有理數時?，方程f(f(x))=f(l)=l=f(x)成立；當x為無理數時，

方程f(f(x))=f(0)=1Wf(x).所以方程f(f(x))=f(x)的解為任意有

理數，故B錯誤；

因為f(x)的值域是{0,1},故C正確；

當x為有理數時,方程f(f(x))=f(1)=1=x,解得x=l;當x為無理數時,

方程f(f(x))=f(0)=l,無解，故D正確.故選ACD.

|X2,-2<X<1,

13.(多選題)已知函數f(x)」r*2，x'l，關于函數f(x)的結論正

確的是(BC)

A.f(x)的定義域為R

B.f(x)的值域為(-8,到

C.若f(x)=2,則x的值是一

D.f(x)<l的解集為(T,l)

解析：函數f(x)的定義域是[-2,的U[l,+8)=函2,+8),故A錯誤；當

-2^x<l時f(x)二x；值域為[0,4],當x21時,f(x)=-x+2,值域為(-8,

1],故f(x)的值域為(-8,1]u[0,4]=(-°°,4],故B正確；由函數值的

分布情況可知，f(x)=2在x21上無解,故由-2Wx<l,即f(x)=x2=2,得

到x二-”,故C正確；當-2?1時,令f(x)=x2<l,解得xe(-1,1),當

x21時,令f(x)=-x+2〈l,解得x￡(1,+8),故f(x)〈l的解集為(T,1)

口(1,+8),故。錯誤.故選BC.

14.若一系列函數的解析式和值域相同，但其定義域不同，則稱這些函

數為“同族函數”，請寫出一個與函數y=x；x￡[0,2]同族的函

數:.

解析：函數y=x2,xe[0,2]的值域為[0,4],因此其同族函數的函數解

析式可以是y=x2,x￡[-2,t](0WtW2),也可以是y=x2,xe析2](-2

WmWO)中的任意一個.

答案:尸x；x￡[-2,1](答案不唯一,參考解析中的t,m的值)

C級應用創(chuàng)新練

|x(x-l),x>0,

15.設函數f(x)=V/(r),"V。，則滿足f(x)+f(x-1)<2的x的取值范

圍是.

解析：當x<0時,f(x)=-f(-x);

-[-X(-X-1)]=-X(x+1),

①若x<0,則x-K-l,

由f(x)+f(x-l)<2得-x(x+l)-(xT)x<2,

即-2x?<2,即x?>T,此式恒成立,此時x<0.

②若x2l,則x-120,

由f(x)+f(x-1)<2得x(x-l)+(x-l)(x-2)<2,

即x-2x<0,即0<x<2,此時lWx<2.

③若OWx<l,則x-l<0,

由f(x)+f(x-l)<2得x(x-l)-(x-l)x<2,

即0<2,此時不等式恒成立,此時OWx〈L

綜上x<2,即不等式的解集為(-8,2).

答案：(-8,2)

16.(2021?浙江湖州高三期末)設函數f(x)=xYx+3(x￡R).已知a>0,

且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,bWR,則ab=.

解析：因為f(x)=x-3x+3(xeR),

所以f(x)-f(a)=x3-3x+3-(a:-3a+3)=x-a3-3(x-a)

=(x-a)(x2+ax+a2)-3(x-a)=(x-a)[x2+ax+a2-3],

因為f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,

W(x-a)[x2+ax+a2-3]=(x-b)(x~a)2,對任意的x恒成立，

因為x-a不恒為0,所以x2+ax+a2-3=(x-b)(x-a).

展開整理可得ax+a2-3=~(a+b)x+ab,

=-(a+￡>),

眄=1,

所以=ab,解得b=-2

(a=-l,

或lb=2(舍去),

所以ab=lX(-2)=-2.

答案：-2

第2節(jié)函數的單調性與最值

靈活多塔方致提混

課時作業(yè)

選題明細表

知識點、方法基礎鞏固練綜合運用練應用創(chuàng)新練

函數單調性的判

1,5,91316

定、求單調區(qū)間

函數的最值2,3,7,812,14

函數單調性的應用4,6,101115

A級基礎鞏固練

1.(2021?江西萍鄉(xiāng)二模)下列函數中，在(0,+8)上單調遞增的是

(C)

A.y=-x2+lB.y=|x-l|

C.y=x3D.y=2-x

解析：函數y-x2+l在(0,+8)上單調遞減，因此A不符合題意；

由于函數y=|x-l|的圖象關于直線x=l對稱,在(1,+8)上單調遞增,

不符合題意；

x￡(0,+8)時,函數y二x：’的導數為y'=3X2>0,因此函數在(0,+°°)±

單調遞增，故C滿足題意；

1

函數尸2-(3/在區(qū)間(0,+8)上單調遞減.故選C.

2.函數y=2-+4又的值域是(c)

A.[-2,2]B.[1,2]

C.[0,2]D.[W]

解析：由ow""+4X=J-(X-2)2+4.2可知函數丫=2-"-蛀"X的

值域為[0,21故選C.

2-z

3.函數y二計1,x￡(m,n]的最小值為0,則m的取值范圍是(B)

A.(1,2)B.(-1,2)C.[1,2)D.[-1,2)

2-z3-(x+1)3

解析：函數f(X)二計1二=Z+1-1在區(qū)間(T,+8)上是減函數，且

f(2)=0,所以n=2.根據題意,x￡(m,n]時,yBln=0.

所以m的取值范圍是(-1,2).故選B.

4.已知函數f(x)=ex+x-l,若(-1,0),則f(a),f(2a),f2(a)的大小

關系為(D)

A.f(2a)>f(a)>f2(a)

B.f(2a)>f2(a)>f(a)

C.f2(a)>f(2a)>f(a)

D.f2(a)>f(a)>f(2a)

解析：顯然f(x)在R上是增函數,且f(0)=0,當a￡(T,0)時,2a<a<0,

所以f(2a)<f(a)<0,又f2(a)>0,從而f2(a)>f(a)>f(2a).故選D.

5.(多選題)(2021?遼寧百校聯(lián)盟高考模擬)下列函數中，在(2,4)上

是減函數的是(AC)

1

x

A.y二(3)B.y=log2(x、3x)

1

C.y=z-2D.y=cosx

1

解析:根據指數函數的性質得y二(可x在⑵4)上是減函數,符合題意；

根據復合函數的單調性可知y=log2(x2+3x)在⑵4)上是增函數，不符

合題意；

1

根據反比例函數的性質及函數圖象的平移得y二存在⑵4)上是減函

數,符合題意；

根據余弦函數的性質得,y=cosx在⑵4)上先減后增,不符合題意.故

選AC.

2

6.(2021?陜西咸陽高三一模)已知函數￡&)=而-1,且f(4x-l)>

f(3),則實數x的取值范圍是(D)

A.(2,+8)B.(—,9)

C.(IDD.(-oo,1)

2

解析：由題意知函數f(x)=NK-1在R上單調遞減，由于f(4T)>f(3),

所以4'T<3,解得xG,故選D.

7.(多選題)下列函數中，值域為口，+8)的是(AC)

2

A.f,(x、)=Vx+1

2x+l

B.f(x)=^+i

C.f(x)=x+l-^2x-1

D.f(x)=x3+l

解析:f(x)=Vx2+1>1,因此A符合；

2x+l1

f(x)=2_布二2,因11?匕B不符合；

對f(x)=x+l-^2x-1,令t二后420,x="2",

產+1/-21+3(fr-l)2+2

所以y=二"+l-1=2=~2-21,因此C符合；

f(x)=x3+leR,因此D不符合.故選AC.

1

8.設函數y=e，+n-a的值域為A,若AC[0,+8),則實數a的取值范圍

是.

1

解析：函數y=ex+^a的值域為A.

1/-

因為=2,所以值域為A=[2-a,+8).又因為AG[0,+8),

所以2-a20,

即a<2.

答案：(-8,2]

kl

9.若函數y=x+=(a>l)在區(qū)間(0,3)上單調遞減，則a的取值范圍

為.

解析：由對勾函數的性質可知函數y=x+=(a>l)在(0,月]上單調遞

減，在(后,+8)上單調遞增，因為函數尸x+=(a>l)在區(qū)間(0,3)上

單調遞減,所以赤W23,解得a>10.

答案：[10,+8)

(一/+4x,x<4,

10.設函數f(x)^1O&X,X>+若函數y=f(x)在區(qū)間(a,a+1)上單

調遞增,則實數a的取值范圍是.

解析:作出函數f(x)的圖象如圖所示,由圖象可知f(x)在(a,a+l)±

單調遞增,需滿足a24或a+l<2,即aWl或a沁

y=log2x(x>4)

024

y=-x2+4%'

(xW4)

答案：(-8,l]U[4,+8)

B級綜合運用練

11.已知圖象開口向上的一次函數f(x)對任意xJR都滿足f(3-x)=

f(x),若f(x)在區(qū)間(a,2a-1)上單調遞減，則實數a的取值范圍為

(B)

55

A.(-oo,S]B.(1J]

3

C.[-2,+QO)D.(—8,2)

3

解析：由題意知函數圖象的對稱軸是直線X=2且開口向上,若f(X)在

35

區(qū)間(a,2aT)上單調遞減,則只需222aT,解得aW,而a<2a-l,解得

5

a>l.所以實數a的取值范圍為(1,心.故選B.

1

12.(多選題)若函數f(x)=在的值域為(0：+8),則實數a的取

值可能是(CD)

A.0B.2

3

C.<D.1

V3

解析：當a=0時,f(x)=3,不符合題意；

1

當aWO時，因為函數f(x);而吞=+3的值域為(0,+8),所以

fa>0,3

l(-4a)2-4XaX3>0,解得a^t故選CD.

13.(多選題)(2021?山東威海高三期中)函數f(x)對任意x,y￡R總

1

有f(x+y)=f(x)+f(y),當x<()時，f(x)<0,f⑴與,則下列命題中正確

的是(BCD)

A.f(x)是R上的減函數

B.f(x)在［-6,6］上的最小值為-2

C.f(-x)=-f(x)

D.若f(x)+f(x-3)則實數x的取值范圍為［0,+8)

解析:取x=0,y=0,則f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0.

令y=-x,則f(0)=f(x)+f(-x),即-f(x)=f(-x),C正確;

令xbX2^R,且x,<x2,貝］x-x2<0,因為當x<0時，f(x)<0,

所以f(x1-x2)<0,

則f(xi)-f(x2)=f(Xi)+f(-x2)=f(x-x2)<0,即f(xi)<f(X2),所以函數

f(x)是R上的增函數,A錯誤;

因為函數f(x)是R上的增函數,所以函數f(x)在［-6,6］上的最小值為

f(-6),

f(-6)=f(-3)+f(-3)=2f(-3),f(-3)=-f(3),f(3)=f(2)+f(l)

i

=f(l)+f(l)+f(l)=3X3=l,故f(-6)=~2t

所以f(x)在［-6,6］上的最小值為-2,B正確；

f(x)+f(x-3)2-1,即f(2x-3)2f(-3),因為函數f(x)是R上的增

函數，

所以2X-32-3,解得x^O,所以實數x的取值范圍為［0,+8),D正確.

故選BCD.

14.已知函數f(x)二|X2-4X|,xe［2,5］,則f(x)的最小值是,

最大值是.

解析:因為函數f(X)=|X2-4X|

[-(/-4又),2<x<4,

2

=lx-4x,4<x<5,

對應圖象如圖所示，

故f(x)的最小值為f(4)=0,最大值為f(5)=5.

答案：05

C級應用創(chuàng)新練

l+lnx

15.已知函數f(x)=?，則(C)

13

A.f(2)<f(l)<f(2)

31

B.f(2)<f(l)<f(2)

13

C.f(2)<f(2)<f(1)

31

D.f(2)<f(2)<f(l)

H-lnx

解析:根據題意，函數f(x)=~的定義域為(0,+8),

I-x-(1-Hnx)2!^

f'(x)==?,令f'(x)=0=>x=l,

所以『(x)>o=>-lnx>0=>0<x<l,f,(x)<o=>-lnx<0=>x>l,

即函數f(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+8)上單調遞減，

3

所以f(5)〈f⑴.

113232

又因為f⑵=2(l+ln2)=2(l-ln2),f(2)=3(l+ln2)^(i+ln3-ln2),

1322222

因為f(5)-f②=2-21n2-3-31n3+31n2=3(2-21n2-ln3)三(2Tn2-

2

In3)=3(2-ln12)<0,

1313

所以f(2)<f(2),即得f(5)<f(5)<f⑴.故選C.

16.(2021?北京朝陽區(qū)高考一模)寫出一個值域為(-8,1),在區(qū)間

(-8,+8)上單調遞增的函數:f(X)二.

1

解析:f(x)=-6)X,

11

理由如下：因為y=(5)'為R上的減函數，且&)>0,

11

所以f(X)=1-(力為R上的增函數,且f(x)=l-(2)x<l,

1

所以f(x)二1一(5)七(一8,1).

1

答案：1-(5)X(答案不唯一)

第3節(jié)函數的奇偶性與周期性

靈活寺友方致提他

課時作業(yè)

選題明細表

知識點、方法基礎鞏固練綜合運用練應用創(chuàng)新練

函數的奇偶性1,2,315

函數的周期性與對稱性4,7,913,14

函數性質的綜合應用5,6,8,1011,1216

A級基礎鞏固練

1.(2021?北京房山區(qū)一模)下列函數中，值域為［0,+8)且為偶函數

的是(C)

A.y=cosxB.y=|x+l|

C.y=x2D.y=x-x'

解析:y=cosx的值域為不符合題意;y=x+l|為非奇非偶函數,

不符合題意；

y=x-(為奇函數,不符合題意;丫二/20且為偶函數,符合題意.故選C.

2.(2021?河北張家口高三質檢)下列函數中，既是奇函數又在定義域

內單調遞增的是(A)

A.f(x)=e-e-xB.f(x)=2x+2'x

i

C.f(x)=-?D.f(x)=ln|x|

解析:函數f(x)=e一屋為奇函數,且在定義域內單調遞增，因此A符合

題意；

函數f&)=2'+2”為偶函數，因此B不符合題意；

函數f(x)二r是奇函數，在(-8,0)和(0,+8)上都單調遞增，因此C不

符合題意；

函數f(x)=ln|x|為偶函數,因此D不符合題意.故選A.

3.(2021?福建廈門一模)已知f(x)是定義在R上的奇函數，當x20

時，f(x)=log2(x+2)+t,則f(-6)=(A)

A.-2B.2

C.-4D.4

解析:根據題意,f(x)是定義在R上的奇函數，當x20

時,f(x)=log2(x+2)+t,

則f(0)=log22+t=t+l=0,則t=T,則當x20時，f(x)=log2(x+2)-l,

則f(6)=log28-l=3-l=2,又f(x)為奇函數，則f(-6)~f(6)=-2.故

選A.

4.(2021?河南鄭州高三一模)設f(x)是定義在R上的奇函數且滿足

f(x-l)=f(x+l),當OWxWl時，f(x)=5x(l-x),則f(-2020.6)=

(D)

21786

A.25B.ioC.-5D.-5

解析:對任意的xWR,f(x-l)=f(x+1),即f(x)=f(x+2),

所以函數f(x)是以2為周期的周期函數,所以f(-2020.6)=f(-0.6).

由于函數f(x)為定義在R上的奇函數，且當OWxWl時，f(x)=

5x(l-x).

因此f(-2020.6)=f(-0.6)=-f(0.6)=-5X0.6X(1-0.6)=-M.故選D.

5.函數f(x)是定義在R上的偶函數，且f(x+l)=f(x),若f(x)在［T,0］

上是減函數,則函數f(x)在［3,5］上是(D)

A.增函數B.減函數

C.先增后減的函數D.先減后增的函數

解析:根據題意，因為f(x+l)=-f(x),

所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函數的周期是2.

又f(x)是定義在R上的偶函數，且在［T,0］上是減函數，

所以函數f(x)在［0,1］上是增函數.

所以函數f(x)在［1,2］上是減函數，在［2,3］上是增函數，在［3,4］上是

減函數，在［4,5］上是增函數，所以f(x)在［3,5］上是先減后增的函數.

故選D.

6.(2021?四川南充高三三模)已知f(x)是定義在R上的以5為周期

的偶函數,若f(-l)>-6,f(2021)則實數a的取值范圍是

(C)

21

A.(-8,11)

B.⑵+8)

21

C.(-8,11)U(2,+8)

21

D.(?,2)

解析:因為f(x)是定義在R上的以5為周期的偶函數，

3-<t

所以f(2021)=f(5X404+1)=因為f(2021)二五二，

f(-l)>-6,

3-aUc-2121

所以瓦辦-6,整理得>0,解得或a>2,

21

所以實數a的取值范圍是(-8,不)u(2,+8).故選c.

7.(多選題)已知y=f(x+1)是定義在R上的奇函數,且f(x+4)=f(2-x),

當x￡[-l,1)時,f(x)二2〉,則下列說法正確的是(ABD)

A.y=f(x)圖象的對稱中心為(1,0)

B.y=f(x)圖象的對稱粕方程為x=3

C.4是函數的周期

D.f(2021)+f(2022)=1

解析：因為f(x+1)是定義在R上的奇函數,所以y=f(x)圖象的對稱中

心為(1,0),且f(1)=0.因為f(x+4)=f(2-x),所以y=f(x)圖象的對稱

軸方程為x=3,故f(x)的周期T=8,f(2021)=f(5)=f(l)=0,f(2022)=

f(6)=f(0)=l,從而f(2021)+f(2022)=1.故選ABD.

8.(2020?新高考?I卷)若定義在R的奇函數f(x)在(-8,0)單調遞減,

且f(2)=0,則滿足xf(K-l)20的x的取值范圍是(D)

A.[-1,1]U[3,+oo)

B.[-3,-l]U[0,1]

C.[-l,0]U[l,+oo)

D.[-l,0]U[l,3]

解析:由題意知f(X)在(-8,0),(0,+8)上單調遞減,且f(-2)=-f(2)

=f(0)=0.當x>0時，令f(x-l)20,得OWx-1W2,所以1WxW3;當x<0

時，令f(x-l)W0,得-24-1W0,所以TWxWl,又x<0,所以TWx<0;

當x=0時,顯然符合題意.綜上,原不等式的解集為[7,0]U[1,3].故

選D

9.(2021?江蘇淮安高三三模)己知f(x)是定義在R上的周期為3的

奇函數,且f(-l)=2f(10)+3,則f(2021)=.

解析：由題意知f(2021)=f(3X674-而f(-l)=2f(10)+3,

所以f(-1)=2f(3X3+1)+3=2f(1)+3=-2f(-1)+3,即3f以1)=3,

所以f(T)=l,故f(2021)=1.

答案：1

10.(2021?陜西寶雞高三一模)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,

0-2*

且對任意x￡R,都有f(2-x)=f(x)成立,當x￡[-1,1]時,f(x)=1+2*,則

a二；當xW[1,3]時，f(x)=.

n-2T

解析:因為f(x)是定義在R上的奇函數,當x￡[T,1]時,f(x)=i+2a,

B-l

所以f(0)=2=o,所以a二L

1-22-**4

當x￡[1,3]時,2-xE[-1,1],f(x)=f(2-X)=l+22~*-2x-H,

答案：1百

B級綜合運用練

11.(2021?福建福州高三期中)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數,

且函數f(x)在[0,+8)上是減函數,如果f(3)=7,則不等式f(xT)+l

20的解集為(C)

A.(-8,2]B.[2,+8)

C.[-2,4]D.[1,4]

解析:因為函數f(x)是定義在R上的偶函數,且函數f(x)在[0,+8)

上是減函數，

所以f(x)在(-8,0)上是增函數，由f(3)=-l,則不等式f(x-1)+120

=f(x-1)2T=f(x'l)2f(3)=f(|xT)2f(3)=|xT<3,解得-2

WxW4,故不等式的解集為[-2,4].故選C.

12.(2021?山西陽泉三模)已知函數f(x)二中,實數m,n滿足不等式

f(2m-2+￡(2-0)〉0,則下列不等關系成立的是(C)

A.m+n>lB.m+n<l

C.m-n>-lD.m-n<-l

解析:因為f(x)的定義域為R,f(-x)二K左二-f(x),所以f(x)是定義在

R上的奇函數，

l-e-2x2

f(x)二中=-1+&尹,則f(x)是定義在R上的增函數,所以由f(2m-n)

+f(2-n)>0得，f(2m-n)>f(n-2),所以2m-n>n-2,所以m-n>-l.故選C.

13.(多選題)已知函數f(x)=ln(x+2)+ln(4-x),則下列說法正確的是

(ABC)

A.f(x)在(-2,1)上單調遞增

B.f(x)在(1,4)上單調遞減

C.f(x)的圖象關于直線x=l對稱

D.f(x)的圖象關于點(1,0)對稱

rx+2>0,

解析：由f(x)=ln(x+2)+ln(4-x)可得kxAO,解得-2<x<4.

因為f(x)=ln(x+2)+ln(4-x)=ln(-x2+2x+8),

令u(x)=-x2+2x+8,則函數u(x)的圖象開口向下,對稱軸方程為x=l.

所以函數u(x)在(-2,1)上單調遞增，在(1,4)上單調遞減，

根據復合函數的單調性可得f(x)在(-2,1)上單調遞增,在(1,4)上單

調遞減，

因為f(1-x)=ln(3-x)+ln(3+x)=f(1+x),所以函數f(x)的圖象關于直

線x=l對稱,因此A,B,C正確,D錯誤.故選ABC.

14.(2021?福建名校聯(lián)盟優(yōu)質校高三聯(lián)考)若稱函數f(x)為“準奇函

數”，則必存在常數a,b,使得對定義域內的任意x值，均有f(x)+

f(2a-x)=2b,請寫出一個a=2,b=2的“準奇函數”(填寫解析

式)：.

解析：由f(x)+f(2a-x)=2b,知“準奇函數”f(x)的圖象關于點(a,b)

1

對稱,若a=2,b=2,即f(x)的圖象關于點(2,2)對稱，如y三向右平移2

12x-3

個單位長度，向上平移2個單位長度,得到f(x)=2+0二,,其圖象關

于點(2,2)對稱.

2x-3

答案:f(X)二百(答案不唯一)

C級應用創(chuàng)新練

15.(2021?新高考II卷)已知函數f(x)的定義域為R,f(x+2)為偶

函數，f(2x+l)為奇函數，則(B)

A.f(-2)=0B.f(-l)=0

C.f(2)=0D.f(4)=0

解析：因為函數f(x+2)為偶函數，則f(2+x)=f(2-x),

可得f(x+3)=f(l-x),

因為函數f(2x+l)為奇函數,則f(l-2x)=-f(2x+l),

所以f(l-x)=-f(x+1),

所以f(x+3)=-f(x+D=f(x-l),即f(x)=f(x+4),

故函數f(x)是以4為周期的周期函數，

因為函數F(x)=f(2x+l)為奇函數,

則F(0)=f(l)=0,

故f(-l)=-f(l)=0,其他三個選項未知.故選B.

16.(2021?江蘇啟東高三模擬)已知定義域為R的函數f(x)在［2,+8)

上單調遞減,且f(4-x)+f(x)=0,則使得不等式f(x?+x)+f(x+1)<0成立

的實數x的取值范圍是(C)

A.-3<x<lB.x<-l或x〉3

C.x<-3或x>lD.x^-1

解析:f(4-x)+f(x)=0,則f(x)關于點(2,0)對稱,因為f(x)在［2,+8)

上單調遞減，所以f(x)在R上單調遞減，所以f(x+l)=f(3-x),由

f(x2+x)+f(x+1)<0得f(x，x)-f(3-x)<0,所以f(x?+x)<f(3-x),所以

X2+X>3-X,解得x>l或x<-3.故選C.

第4節(jié)幕函數與二次函數

課時作業(yè)

@選題明細表

知識點、方法基礎鞏固練綜合運用練應用創(chuàng)新練

幕函數的圖象與性質1,2,511

二次函數的圖象與性質3,4,610,1215

二次函數的綜合問題7,8,913,1416

A級基礎鞏固練

1.已知點(a,可在基函數f(x)=(a-1雙，的圖象上，則函數f(x)是

(B)

A.定義域內的減函數

B.奇函數

C.偶函數

D.定義域內的增函數

解析：因為點(a,可在鼎函數f(x)=ST)(的圖象上，所以a7=l,解得

1

a=2,則25,解得b=-3,所以f(x)=

所以函數f(x)是定義域上的奇函數，且在每一個區(qū)間內是減函數.故

選B.

2.(2021?安徽合肥一中高三月考)已知事函數f(x)=(n2+2n-2)r

(n￡Z)的圖象關于y軸對稱，且在(0,+8)上是減函數，則n的值為

(B)

A.-3B.1

C.2D.1或2

解析:因為幕函數f(x)=(n2+2n-2)k(n￡Z)的圖象關于y軸對稱，

”+271-2=1,

712-3”是偶數，

且在(0,+8)上是減函數,所以("Triv0,解得n=1.故選B.

1

3.已知函數數x)=Ja&-3,規(guī)定區(qū)間E,對任意Xi,X2^E,當Xi<X2時，總

有f(xj〈f(x2),則下列區(qū)間可作為E的是(D)

A.(3,6)B.(-1,0)

C.(1,2)D.(-3,-1)

1

解析：由題意知函數f(x)存有在區(qū)間E上是漕函數，由X2-2X-3>0,

2

得x>3或x<-l,當x￡(-8,一1)時,函數y=x-2x-3是減函數,結合復

1

合函數的單調性可知函數f(x)二五五5是增函數，即(-8,-1)為函數

f(X)二后五三的單調遞增區(qū)間，而(—3,-1)1(-8,—1),所以(—3,-1)可

作為E故選D.

h

4.在同一平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+bx與尋函數y二妙(x>0)

c

解析:對于A,二次函數y=ax2+bx的圖象開口向上，則a>0,其對稱軸

bbh

x=-￡>0,則二<0,即幕函數y二必(x>0)為減函數,符合題意；

b

對于B,二次函數y-ax2+bx的圖象開口向下，則a<0,其對稱軸x-^>0,

bh

則二<0,即幕函數y二算(x〉0)為減函數,不符合題意；

對于C,二次函數y=ax2+bx的圖象開口向上，則a〉0,其對稱軸

bbh

x=-^-l,則上2,即幕函數y二方二x2(x>0)為增函數,且其增加的越來越

快，不符合題意;

對于D,二次函數kax?+bx的圖象開口向下，則水0,其對稱軸x=-￡＞二,

hh

則0。＜1,即幕函數y二七(x＞0)為增函數，且其增加的越來越慢,不符合

題意.故選A.

5.(多選題)(2021?福建閩江口高三聯(lián)考)若基函數y=f(x)的圖象經

過點(27,3),則幕函數f(x)在定義域上是(AC)

A.奇函數B.偶函數

C.增函數D.減函數

解析:因為y=f(x)是幕函數，設f(x)=x”(a￡R),而其圖象過點(27,3),

11

即f(27)=27三3,解得a=3,于是得f6)二爐,且f(x)的定義域為R,

顯然f(x)是定義在R上的增函數,C正確;f(-x)=(-x”=--=-f(x),則

f(x)為定義在R上的奇函數,A正確.故選AC.

1

6.已知二次函數f(x)=x?+bx+c的圖象經過點(1,13),且函數y=f(x-5)

是偶函數,則函數f(x)的解析式為.

111

解析：因為y=f(X-5)是偶函數,有f(x-2)=f(-X-2),所以f(X)的圖象關

1b1

于直線x二工對稱，即-無巨故b=l,又圖象經過點(1,13),所以f(1)=13,

可得c=ll,故f(x)=x2+x+ll.

答案：f(x)=x2+x+U

7.(2021?江蘇常熟中學高三三模)已知函數f(x)同時滿足①f(0)=0;

②在［1,3］上單調遞減;③f(l+x)=f(-x),則該函數的表達式可以是

f(x)=.

解析:由f(l+x)=f(l-x)可知y=f(x)的圖象關于直線x=l對稱，可設

f(x)為二次函數，又f(0)=0且f(x)在［1,3］上單調遞減，所以可設

f(x)=2x-x2.

答案:2x-x?(答案不唯一)

8.已知函數f(x)=ax2-2ax+2+b(aW0),若f(x)在區(qū)間［2,3］上有最大

值5,最小值2.若b<l,且函數g(x)=f(x)-mx在⑵4］上單調,則m的

取值范圍是.

解析：由f(x)=a(x-1/+2+卜a可得二次函數圖象的對稱軸為直線x=l.

當a>0時,f(x)在［2,3］上為增函數，

f9a-6a+2+6=5,

可得+2+b=2,所以a=l,b=0.

當a<0時,f(x)在［2,3］上為減函數,

+2+6=2,

可得Vta-kz+Z+b=5,解得a=-l,b=3(舍去).

則f(x)=X2-2X+2,g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2.

因為g(x)在⑵4］上單調,

2-Hnm+2

所以W2或24,即mW2或mN6,

故m的取值范圍為(-8,2］U［6,+8).

答案：(-8,2］U［6,+8)

9.已知函數f(x)=x?+a|x-21-4.

⑴當a=2時,求f(x)在［0,3］上的最大值和最小值;

⑵若f(x)在區(qū)間［-1,+8)上單調遞增,求實數a的取值范圍.

(x2+2x-8,x>2,

L^-Zx,x<2,

解：(1)當a=2時,f(x)=X2+2Ix-21-4=

f(x+l)2-9,x>2,

即f@)=1*1)2-1,又<2,

當XG［O,2)時lWf(x)WO;

當x￡［2,3］時,0Wf(x)W7,

所以f(x)在［0,3］上的最大值為7,最小值為7.

(x2+ax-ZzY,x>2,

(2)因為f(x)=l^-ax4-2a-4,x<2,

又f(x)在區(qū)間［T,+8)上單調遞增,

所以當x>2時,f(x)單調遞增，則％2,即a>-4;

a

當TWx<2時,f(x)單調遞增,貝姆WT,即aW-2,

且4+2a-2a-4>4-2a+2a-4恒成立，

故實數a的取值范圍為［-4,-2］.

B級綜合運用練

10.已知函數f(x)=ax4bx+c,且f(x+2)是偶函數，則下列大小關系可

能正確的是(A)

b

A.f(2)<f(-?)=c

b

B.f(-")<f(x)<c

b

C.f(2)>f(--)>c

b

D.f(-?)<f(2)=c

解析：因為f(x+2)是偶函數,所以直線x=2是y=f(x)圖象的對稱軸.

f(-?)=a?J+b?(-?)+c=c,這樣B,C,D均不可能成立,

b

當a>0時,f⑵是最小值，因此f(2)<f(-?)=c成立.故選A.

11.已知實數a,b滿足等式成=也給出下列五個關系式:①l〈b<a;②

a<b<-l;③0<b〈a〈l;@-Ka<b<0;⑤a=b,其中可能成立的關系式有

(C)

A.1個B.2個

C.3個D.5個

解析：在同一平面直角坐標系中畫出函數y二X?和y二X，的圖象，如圖

所示.

數形結合可知,在(1)處a<b<-l;在(2)處-l<b<a〈O;在(3)處0<a<b<l;

在(4)處l〈b〈a;在a=b=l或a=b=-l處也滿足,故①②⑤可能成立.故

選C.

12.(多選題)函數f(x)=x2-4x+2在區(qū)間[a,b]上的值域為[-2,2],則

b-a的值可能是(BCD)

A.1B.2C.3D.4

解析：解方程f(x)=x?-4x+2=2,解得x=0或x=4,

解方程f(x)=x2-4x+2=-2,解得x=2,

由于函數f(x)在區(qū)間[a,b]上的值域為[-2,2].

若函數f(x)在區(qū)間[a,b]上單調，則函,b]=[0,2]或[a,b]=[2,4],此時

b-a取得最小值2;若函數f(x)在區(qū)間[a,b]上不單調，且當b-a取最

大值時，[a,b]=[0,4],所以b-a的最大值為4,所以b-a的取值范圍是

[2,4].故選BCD.

13.已知函數f(x)=2x-ax+l,xe[-1,a],且f(x)的最大值為f(a),則

實數a的取值范圍為

解析：由題設知f(x)圖象的對稱軸為直線x=*且開口向上,

aae-1

所以當a>0時,有若彳W2,即a22時,f(x)?MX=f(a),符合題意;

ao-l

若彳>2,即0<a<2時,f(x)nax=f(-1),不符合題意;

當a=0時有f(x)=2x?+L,圖象的對稱軸為直線x=0且開口向上,f(x)

在［T,a］上單調遞減,f(x).=f(-1),不符合題意;

a

當時,有-￡6)在［-1,@］上單調遞減,則f(x)mnx=f(-l),

不符合題意.

綜上,aE⑵+8).

答案：［2,+8)

14.已知f(x)=2x2+ax+b過點(0,T),且滿足f(-l)=f(2).

⑴求f(x)的解析式；

3

⑵若f(x)在［m,m+2］上的值域為［4,3］,求m的值；

⑶若f(Xo)=Xo,則稱Xo為y=f(x)的不動點,函數g(x)=f(x)-tx+t有兩

個不相等的不動點X］,:《2,且X1,x2>0,求"+口的最小值.

解：⑴因為f(x)=2x2+ax+b過點(0,T),

所以f(0)=-1,解得b=-l,則f(x)=2x2+ax-l,因為f(-l)=f(2),

所以2-a_l=8+2a-l,解得a=-2,所以f(x)=2x2-2x-l.

(2)令f(x)=-2,解得x=2,令f(x)=3,解得x=-l或2,

3

因為f(x)在［m,m+2］上的值域為［-2,3］,

所以當m=T時,f(x)在［T,1］上的值域滿足題意；

當m+2=2,即m=0時,f(x)在［0,2］上的值域滿足題意,

故m=-l或0.

(3)g(x)=f(x)-tx+t=2x?-(2+t)x+t-l,

函數g(x)=f(x)-tx+t有兩個不相等的不動點X),x2,且Xi,x2>0,

即2x2-(2+t)x+t_1=x有兩個不相等的正實數根x?x2,

即2x2-(t+3)x+t-l=0有兩個不相等的正實數根x.,X2,

A=(t+3)2-8(t-l)>0,

,+x2=^>0,

則&力=學>°'解得t>l,

則+===-2-［(t-l)+］+222+?

當且僅當t=5時取等號，故石+焉的最小值為6.

C級應用創(chuàng)新練

15.（多選題）己知多x）=x?-己x+3k?-3k+l（k「R）.下列四個命題正確的

是（AB）

A.對任意實數x,存在k,使得f（x）>0

B.對任意k,存在實數x,使得f（x）>0

C.對任意實數k,X,均有f(x)>0成立

D.對任意實數k,x,均有f(x)<0成立

解析:令f(x)=x2-2kx+3k2-3k+l=0,

記△=(2k)2-4(3k2-3k+l)=-4(2k-l)