1．了解數列概念和幾個簡單表示方法．2．了解數列是自變量為正整數一類函數．3．能在詳細問題情境中，識別數列等差、等比關系，并能用有 關知識處理對應問題．第5課時數列綜合應用第1頁【命題預測】相關等差、等比數列考查在高考中主要是探索題、綜合題和應用題．考生應含有針對性地進行訓練，并從“重視數學思想方法、強化運算能力、重點知識重點練”角度做好充分準備．同時，對于數列與解析幾何綜合題型要給予充分重視．第2頁【應試對策】

1．在處理相關數列詳細應用問題時： (1)要讀懂題意，了解實際背景，領悟其數學實質，舍棄與解題無關非本質性東西； (2)準確地歸納其中數量關系，建立數學模型； (3)依據所建立數學模型知識系統，解出數學模型結果； (4)最終再回到實際問題中去，從而得到答案．第3頁2．在求數列相關和時，要注意以下幾個方面問題：(1)直接用公式求 和時，注意公式應用范圍和公式推導過程． (2)注意觀察數列特點和規律，在分析數列通項基礎上，或分解為基本數列求和，或轉化為基本數列求和． (3)求普通數列前n項和時，無普通方法可循，要注意掌握一些特殊數列前n項和求法，觸類旁通．3．在用觀察法歸納數列通項公式(尤其是在處理客觀題目時)時，要注 意適當地依據詳細問題多計算對應數列前幾項，不然會因為所計算數列項數過少，而歸納犯錯誤通項公式，從而得到錯誤結論．第4頁【知識拓展】

1．求由遞推公式所確定數列通項，通常可經過對遞推關系一系列變換， 結構出一個新數列，轉化成等差或等比數列或與之類似問題來求解． (1)遞推式為an＋1＝pan＋qn(其中p，q是常數)通常能夠兩邊同時除以

qn＋1(q≠0)，得到數列，令bn＝ ，得到數列bn＋1＝ ，從而問題可解．第5頁(2)遞推式為an＋2＝pan＋1＋qan(其中p，q是常數)，通常設＝，則可由α＋β＝p，αβ＝－q，求得α，β，從而構造出數列{}得以求解．(3)遞推式為Sn與an間關系式時，通常要考慮利用an＝將已知關系轉化為{an}或{Sn}項間關系，從而求解．第6頁1．數列概念：按照一定次序排列著一列數稱為數列，數列中每一 個數叫做這個數列項．2．數列中排在第一位數稱為這個數列第1項(或首項)，排在第二位 數稱為這個數列第2項……排在第n位數稱為這個數列第n項．3．數列普通形式能夠寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為{an}．4．數列分類：有窮數列與無窮數列，遞增數列、遞減數列、常數列與擺動數列．5．數列通項公式：假如數列第n項與序號n之間關系能夠用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數列通項公式．第7頁6．數列遞推公式：假如已知數列{an}第1項(或前幾項)，且任一項an與它前一 項an－1(或前幾項)間關系能夠用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列 遞推公式．8．數列作為特殊函數，在處理實際問題過程中有著廣泛應 用，如人口增加問題、存款利率問題、分期付款問題．利用等差數列和等比數列還能夠處理一些簡單已知數列遞推關系求其通項公式等問題．7．數列表示方法：列表法、圖象法、通項公式法、遞推公式法．第8頁1．某種細胞開始有2個，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂成6個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去一個，按此規律進行下去，6小時后細胞存活個數是________．解析：設開始細胞數和n小時后細胞數組成數列為{an}．則即＝2.則{an－1}組成等比數列∴an－1＝1·2n－1，an＝2n－1＋1，a7＝65.答案：65第9頁2．已知等差數列{an}公差為－2，且a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，則a3＋

a6＋a9＋…＋a99＝________.解析：∵a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＋33×(－4)＝50＋(－132)＝－82.答案：－82 第10頁3．數列{an}中，若a1＝，an＝(n≥2，n∈N)，則a2007值為________．解析：a1＝，a2＝2，a3＝－1，a4＝，…，可推測數列{an}以3為周期，∵2007＝3×669，∴a2007＝a3＝－1.也可直接推出an＋3＝an.答案：－1第11頁4．在數列{an}中，已知a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，則a2007等于________．解析：∵∴an＋3＝－an，∴an＋6＝－an＋3＝an.即an是周期為6數列．∴a2007＝a6×334＋3＝a3＝a2－a1＝4.答案：4第12頁5．北京市為成功舉行年奧運會，決定從年到年5年間更新市內現有全部出租車，若每年更新車輛數比前一年遞增10%，則年底更新車輛數約為現有總車輛數________(參考數據1.14＝1.46,1.15＝1.61)．解析：設市內全部出租車輛為b,年底更新車輛為a，則年更新車輛為a(1＋10%)，年更新車輛為a(1＋10%)2,年更新車輛為 a(1＋10%)3,年更新車輛為a(1＋10%)4，由題意可知： a＋a·(1＋10%)＋a(1＋10%)2＋a·(1＋10%)3＋a·(1＋10%)4＝b， ∴a(1＋1.1＋1.12＋1.13＋1.14)＝b?a·＝b， ∴ ≈16.4%.故年底更新車輛數約為現有總車輛數16.4%.答案：16.4%第13頁1．等差數列與等比數列相結合綜合問題是高考考查重點，尤其是 等差、等比數列通項公式，前n項和公式以及等差中項，等比中項 問題是歷年命題熱點．2．利用等比數列前n項和公式時注意公比q取值．同時對兩種數列 性質，要熟悉它們推導過程，利用好性質，可降低題目標難度，解 題時有時還需利用條件聯立方程求解．第14頁【例1】設{an}是公比大于1等比數列，Sn為數列{an}前n項和， 已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4組成等差數列． (1)求數列{an}通項；(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求數

列{bn}前n項和Tn. 思緒點撥：(1)由已知列出方程組求出公比q與首項a1； (2)結合對數運算，判斷數列{bn}是等差數列，再求和．第15頁解：(1)由已知得： 解得a2＝2.設數列{an}公比為q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q，又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.解得q1＝2，q2＝.由題意得q>1，∴q＝2.∴a1＝1.故數列{an}通項為an＝2n－1.(2)因為bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，由(1)得a3n＋1＝23n.∴bn＝ln23n＝3nln2，又bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差數列．∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ ＝ln2.故Tn＝ln2.第16頁【例2】已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，設f(a1)，f(a2)，…，f(an)(n∈N*)是首項 為4，公差為2等差數列． (1)設a為常數，求證：{an}成等比數列； (2)若bn＝anf(an)，{bn}前n項和是Sn，當a＝時，求Sn. 思緒點撥：利用函數相關知識得出an表示式，再利用表示式處理 其它問題．第17頁解：(1)證實：f(an)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，即logaan＝2n＋2，可得an＝a2n＋2.∴ ＝a2(n≥2)，為定值．∴{an}為等比數列．(2)bn＝anf(an)＝a2n＋2logaa2n＋2＝(2n＋2)a2n＋2.當a＝時，bn＝(2n＋2)()2n＋2＝(n＋1)2n＋2.Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n＋1)·2n＋2 ①2Sn＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n·2n＋2＋(n＋1)·2n＋3 ②①－②得－Sn＝2·23＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋1)·2n＋3＝16＋

－(n＋1)2n＋3＝16＋2n＋3－24－n·2n＋3－2n＋3＝－n·2n＋3.∴Sn＝n·2n＋3.第18頁變式1：已知實數列{an}是等比數列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差 數列． (1)求數列{an}通項公式； (2)數列{an}前n項和記為Sn，證實Sn＜128(n＝1,2,3，…)．第19頁解：(1)設等比數列{an}公比為q(q∈R)，由a7＝a1q6＝1，得a1＝q－6，從而a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2，a6＝a1q5＝q－1.因為a4，a5＋1，a6成等差數列，所以a4＋a6＝2(a5＋1)，即q－3＋q－1＝2(q－2＋1)，q－1(q－2＋1)＝2(q－2＋1)．所以q＝.故an＝a1qn－1＝q－6·qn－1＝64n－1.(2)證實：Sn＝ ＝＜128.第20頁2．已知數列{an}滿足a1＝2，且點(an，an＋1)在函數f(x)＝x2＋2x圖象上，其中n＝1,2,3，….(1)證實：數列{lg(1＋an)}是等比數列；(2)設Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)，求Tn及數列{an}通項．第21頁解：(1)證實：由已知an＋1＝

＋2an，∴an＋1＋1＝(an＋1)2.∵a1＝2，∴an＋1＞1，∴lg(an＋1＋1)＝2lg(an＋1)．∴數列{lg(an＋1)}是公比為2等比數列．(2)由(1)知∴Tn＝，an＝第22頁處理數列應用問題必須準確探索問題所包括數列類型：(1)假如問題所包括數列是特殊數列(如等差數列、等比數列，或與等差、等比相關數列等)，應首先找出數列通項公式．(2)假如問題所包括數列不是某種特殊數列，普通應考慮先建立數列遞推關系(即an與an－1關系)．(3)處理數列應用問題必須準確計算項數，比如與“年數”相關問題，必須確定起算年份，而且應準確定義an是表示“第n年”還是“n年后”．第23頁【例3】從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，并以此發展旅游產業．依據規劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將會比上年降低.本年度當地旅游業收入預計為400萬元，因為該項建設對旅游業促進作用，預計今后旅游業收入每年會比上年增加.第24頁(1)設n年內(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業總收入為bn萬元，寫出an，bn表示式；(2)最少經過幾年旅游業總收入才能超出總投入？思緒點撥：(1)寫出a1，b1，a2，b2，…，由此得出an，bn表示式．(2)解不等式bn－an>0，求n最小值．第25頁解：(1)第1年投入800萬元，第2年投入為800× 萬元，…，第n年投入為800× n－1萬元，所以，n年內總投入an＝800＋800× ＋…＋800×n－1＝4000× .第1年旅游業收入為400萬元，第2年旅游業收入為400×萬元，…第n年旅游業收入為400×n－1萬元．所以，n年內旅游業總收入bn＝400＋400× ＋…＋400×n－1＝1600×.第26頁(2)設最少經過n年旅游業總收入才能超出總投入，由此bn－an＞0，即1600× －4000× ＞0，化簡得，5×n＋2×n－7＞0，設x＝ n，代入上式得5x2－7x＋2＞0，解此不等式，得x＜，x＞1(舍去)，即

n＜

，由此得n≥5.∴最少經過5年旅游業總收入才能超出總投入．第27頁變式3：如下列圖所表示，在一直線插有13面小旗，相鄰兩面間距離為10m，在第一面小旗處有某人把小旗全部集中到一面小旗位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走路最短，應集中到哪一面小旗位置上？最短旅程是多少？解：設將旗集中到第x面小旗處，則從第一面旗到第x面處，共走旅程為10(x－1)，然后回到第二面處再到第x面處是20(x－2)，…，從第x面處到第(x＋1)面處旅程為20，從第x面處到第(x＋2)面取旗再到第x面處，旅程為20×2，…，總旅程為S＝10(x－1)＋20(x－2)＋20(x－3)＋…＋20×2＋20×1＋20＋20×2＋…＋20×(13－x)第28頁＝10(x－1)＋20× ＋20×＝10[(x－1)＋(x－2)(x－1)＋(13－x)(14－x)]＝10(2x2－29x＋183)＝20∵x∈N*，∴x＝7時，S有最小值S＝780(m)．∴將旗集中到第7面小旗處，所走旅程最短.第29頁1．深刻了解等差(比)數列性質，熟悉它們推導過程是解題關 鍵．兩類數列性質有類似部分，又有區分，要在應用中加強記 憶．同時，用好性質也會降低解題運算量，從而降低差錯．2．等比數列前n項和公式要分兩種情況，公比等于1和公比不等于1， 最輕易忽略公比等于1情況，要注意這方面練習．3．在等差數列與等比數列中，經常要依據條件列方程(組)求解，在解方程 組時，仔細體會兩種情形中解方程組方法不一樣之處．【規律方法總結】第30頁4．數列滲透力很強，它和函數、方程、三角、不等式等知識相互聯絡，優 化組合，無形中加大了綜合力度．處理這類題目，必須對蘊藏在數列概念和 方法中數學思想有所了解，深刻領悟它在解題中重大作用，慣用數學思 想方法有：“函數與方程”“數形結合”“分類討論”“等價轉換”等．5．在現實生活中，人口增加，產量增加、成本降低、存貸款利息 算、分期付款問題等，都能夠利用數列處理，所以要會在實際問題中抽象出數 學模型，并用它處理問題.

第31頁【高考真題】【例4】(·全國卷Ⅱ)設數列{an}前n項和為Sn.已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)設bn＝an＋1－2an，證實數列{bn}是等比數列； (2)求數列{an}通項公式． 分析：本題第(1)問將an＋2＝Sn＋2－Sn＋1代入能夠得到an遞推式，再用 bn＝an＋1－2an代入即證；第(2)問將bn通項公式代入bn＝an＋1－2an，可得an遞推式，再依照題型模式求解即可．第32頁規范解答：(1)由已知得a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.所以數列{bn}是首項為3，公比為2等比數列．第33頁(2)由(1)知等比數列{bn}中b1＝3，公比q＝2，所以an＋1－2an＝3×2n－1，于是所以數列是首項為，公差為等差數列，所以an＝(3n－1)·2n－2.

第34頁【命題探究】

【全解密】

求解等差、等比數列通項公式是高考常考題型．不過，作為以“能力立意”為命題思緒高考試題，往往會在試題命制上對考生思維能力提出更高要求．本題命題構思非常簡捷，給出數列{an}初始值a1＝1和一個遞推關系式Sn＋1＝4an＋2，由此能夠探究數列{an}通項公式，但思維跨度較大，且考查形式單一．于是，命題人設計了一個過渡關系式bn＝an＋1－2an，由此能夠考查等比數列．

第35頁【誤點警示】

本題求解過程有兩個常見思維錯誤：(1)因為在平時學習中，我們經常接觸到an與Sn遞推式an＝Sn－Sn－1(n≥2，n∈N*)，于是沒有注意到本題題目形式特點，將an＝Sn－Sn－1直接代入，從而出現下標混亂．其實只要將an＋1＝Sn＋1－Sn(n∈N*)代入就不會使下標不一致了．所以注意下標特點是求解這類問題關鍵．(2)得到遞推式an＋1－2an＝3×2n－1后，不會轉化成等差數列求解，只是看到等式右邊是一個等比數列形式，能夠求和，于是結合平時做題經驗，企圖利用疊加法求和，使計算繁瑣且不能成功．所以我們在平時學習時要注意積累并了解常見題型特點、求解基本思緒和方法，高考時才不會出現思維混亂，顧此失彼.

第36頁1．設等比數列{an}公比為q，前n項和Sn＞0(n＝1,2，…)(1)求q取值范圍；(2)設bn＝an＋2－an＋1，記{bn}前n項和為Tn，試比較Sn與Tn大小． 分析：對于第一個問題，應依據等比數列前n項和公式將和表示出 來，從而問題轉化為解不等式；對于第二個問題