第1節數列的概念知識點、方法基礎鞏固練綜合運用練應用創新練由數列的前幾項歸納通項公式1,7an與Sn的關系4,8,9數列的遞推關系2,311數列的性質5,613綜合問題10,12,14151.若數列的前4項分別是12,-13,14A.(-1)nC.(-1)nn2.若數列{an}滿足a1=1,an+1-an-1=2n,則an等于(A)A.2n+n-2 B.2n-1+n-1C.2n+1+n-4 D.2n+1+2n-2解析:因為an+1-an=2n+1,所以a2-a1=21+1,a3-a2=22+1,a4-a3=23+1,…,an-an-1=2n-1+1(n≥2),以上各式相加得an-a1=21+…+2n-1+(n-1)=2(1-所以an=2n+n-2.故選A.3.已知數列{an}滿足a1=1,an+1=an2-2an+1(n∈N*),則aA.1 B.0 C.2022 D.-2022解析:因為a1=1,所以a2=(a1-1)2=0,a3=(a2-1)2=1,a4=(a3-1)2=0,…,可知數列{an}是以2為周期的數列,所以a2022=a2=0.故選B.4.已知數列{an}的前n項和為Sn,a1=2,Sn+1=2Sn-1(n∈N*),則a10等于(B)A.128 B.256 C.512 D.1024解析:因為Sn+1=2Sn-1(n∈N*),n≥2時,Sn=2Sn-1-1,所以an+1=2an.n=1時,a1+a2=2a1-1,a1=2,a2=1.所以數列{an}從第二項開始為等比數列,公比為2.則a10=a2×28=1×28=256.故選B.5.(多選題)在數列{an}中,an=(n+1)(78)n,則數列{aA.第6項 B.第7項C.第8項 D.第9項解析:假設an最大,則有a即(所以n即6≤n≤7,所以最大項為第6項和第7項.故選AB.6.設數列{an}的通項公式為an=n2-bn,若數列{an}是單調遞增數列,則實數b的取值范圍是(C)A.(-∞,-1] B.(-∞,2]C.(-∞,3) D.(-∞,92解析:因為數列{an}是單調遞增數列,所以an+1-an=2n+1-b>0(n∈N*),所以b<2n+1(n∈N*),所以b<(2n+1)min=3,即b<3.故選C.7.已知數列32,54,76,9m-解析:由數列的前3項的規律可知m解得m故實數對(m,n)為(192,3答案:(192,8.若數列{an}的前n項和Sn=3n2-2n+1,則數列{an}的通項公式an=.

解析:當n=1時,a1=S1=3×12-2×1+1=2.當n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,顯然當n=1時,不滿足上式.故數列{an}的通項公式為an=2答案:29.已知數列{an}中,a1=1,前n項和Sn=n+23a(1)求a2,a3;(2)求{an}的通項公式.解:(1)由S2=43a2得3(a1+a2)=4a2解得a2=3a1=3.由S3=53a3得3(a1+a2+a3)=5a3解得a3=32(a1+a2(2)由題設知,當n≥2時,有an=Sn-Sn-1=n+23an-n+1整理得anan因此anan-1·an-1an-2·…·a3化簡得an=(n+1)n2×1·當n=1時,a1=1滿足上式,所以{an}的通項公式為an=n(n+110.設數列{an}中a1=a2=1,且滿足a2n+1=3a2n-1與a2n+2-a2n+1=a2n,則數列{an}的前12項的和為(C)A.364 B.728C.907 D.1635解析:數列{an}中a1=a2=1,且滿足a2n+1=3a2n-1,則a3=3a1=3,a5=3a3=9,a7=3a5=27,a9=3a7=81,a11=3a9=243.由于a2n+2-a2n+1=a2n,所以a2n+2=a2n+1+a2n,故a4=a3+a2=4,a6=a5+a4=13,a8=a7+a6=40,a10=a9+a8=121,a12=a11+a10=364,所以數列{an}的前12項的和為1+1+3+4+9+13+27+40+81+121+243+364=907.故選C.11.已知數列{an}滿足an+1-anA.45 B.45-1C.8 D.9解析:由an+1-an=2n知a2-a1=2×1,a3-a2=2×2,…,an-an-1=2(n-1),n≥2,以上各式相加得an-a1=n2-n,n≥2,所以an=n2-n+20,n≥2,當n=1時,a1=20符合上式,所以ann=n+20n所以n≤4時ann單調遞減,n≥5時因為a44=所以ann的最小值為a412.某數學大會會徽的主體圖案是由一連串直角三角形演化而成的(如圖),其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,記OA1,OA2,OA3,…,OA8的長度構成的數列為{an}(n∈N*,n≤8),則{an}的通項公式an=.(n∈N*,n≤8)

解析:根據題意OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,所以an2=an所以{an所以an2=n,an=答案:n13.已知數列{an}的通項公式是an=n2+kn+4.(1)若k=-5,則數列中有多少項是負數?n為何值時,an有最小值?并求出最小值;(2)若對于n∈N*,都有an+1>an,求實數k的取值范圍.解:(1)由n2-5n+4<0,解得1<n<4.因為n∈N*,所以n=2,3,所以數列中有兩項是負數,即為a2,a3.因為an=n2-5n+4=(n-52)2-9由二次函數的性質,得當n=2或n=3時,an有最小值,其最小值為a2=a3=-2.(2)由an+1>an可得(n+1)2+k(n+1)+4>n2+kn+4,整理得k>-2n-1,且對任意的n∈N*恒成立,所以k∈(-3,+∞),所以實數k的取值范圍為(-3,+∞).14.已知數列{an}中,a1=1,其前n項和為Sn,且滿足2Sn=(n+1)an(n∈N*).(1)求數列{an}的通項公式;(2)記bn=3n-λan2,若數列{b解:(1)因為2Sn=(n+1)an,所以2Sn+1=(n+2)an+1,所以2an+1=(n+2)an+1-(n+1)an,即nan+1=(n+1)an,所以an+1n所以ann=an所以an=n(n∈N*).(2)由(1)得,bn=3n-λn2.bn+1-bn=3n+1-λ(n+1)2-(3n-λn2)=2·3n-λ(2n+1).因為數列{bn}為遞增數列,所以2·3n-λ(2n+1)>0,即λ<2·令cn=2·則cn+1cn=2·所以數列{cn}為遞增數列,所以λ<c1=2,即實數λ的取值范圍為(-∞,2).15.大衍數列