雙曲線必會十大基本題型講與練06以雙曲線為情境的定值問題典例分析類型一：有關角的定值問題1．已知為坐標原點，雙曲線：（，）的左焦點為，右頂點為，過點向雙曲線的一條漸近線作垂線，垂足為，且，直線與雙曲線的左支交于點，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據垂直漸近線且，可得，從而不妨設，可得及，這樣就可得軸，從而可得求解.【詳解】易知，于是，故離心率，不妨設，則，，，不難求得，于是軸，所以．2．在平面直角坐標系中，設是雙曲線上不同于左頂點、右頂點的任意一點，記，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】求得雙曲線的頂點A，B，設P（m，n），m≠±，代入雙曲線方程，結合直線的斜率公式，以及三角函數的誘導公式，計算可得所求值．【詳解】雙曲線的a＝，A（﹣，0），B（，0），設P（m，n），m≠±，則﹣＝1，即n2＝4（﹣1），則tanα＝，tan（π﹣β）＝﹣tanβ＝，則﹣tanαtanβ＝＝，即tanαtanβ＝﹣。類型二：有關斜率的定值問題1．設雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的離心率為，A、B是雙曲線C上關于原點對稱的兩個點，M是雙曲線C上異于A，B的動點，直線MA的斜率，則MB的斜率（

）A．24 B． C．24 D．【答案】D【解析】【分析】由可得，然后設M（s，t），A（m，n），則B（﹣m，﹣n），然后由1，1可得，然后得到的值即可.【詳解】由題意可得，即有，設M（s，t），A（m，n），則B（﹣m，﹣n），則1，1，兩式相減可得，即有，從而可得，因為，所以．2．已知雙曲線，過原點作直線與雙曲線交于、兩點，點為雙曲線上異于、的動點，且直線、的斜率分別為、，若雙曲線的離心率為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡得到，設，，故，得到，計算斜率化簡得到答案.【詳解】雙曲線的離心率為，即，故，即.設，，故，故，，兩式相減得到：，故.3．已知雙曲線上有不共線的三點，且的中點分別為，若的斜率之和為-2，則A．-4 B． C．4 D．6【答案】A【詳解】設，則，，，兩式相減，得，即，即，同理，得，所以；故選A.點睛：本題考查雙曲線的弦的中點問題、直線的斜率公式；在處理圓錐曲線的弦的中點問題時，往往利用點差法（將點的坐標代入圓錐曲線方程，兩式相減）進行求解，運算量比聯立方程小，但要注意驗證直線和圓錐曲線是否相交.4．（多選題）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的離心率為，且雙曲線的左焦點在直線上，、分別是雙曲線的左、右頂點，點是雙曲線的右支上位于第一象限的動點，記、的斜率分別為、，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的漸近線方程為 B．雙曲線的方程為C．為定值 D．存在點，使得【答案】BC【分析】求出的值，可判斷A選項；求出、的值，可判斷B選項；設點，則，可得，利用斜率公式可判斷C選項；利用基本不等式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，，則，所以，雙曲線的漸近線方程為，A錯；對于B選項，由題意可得，可得，，，所以，雙曲線的方程為，B對；對于C選項，設點，則，可得，易知點、，所以，，C對；對于D選項，由題意可知，，則，，且，所以，，D錯.5．已知雙曲線（，）的左、右頂點分別為、，離心率為2，過點斜率不為0的直線l與交于P、Q兩點．(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)記直線、的斜率分別為、，求證：為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由雙曲線的頂點坐標、離心率，結合雙曲線參數的關系求a、b，進而寫出雙曲線方程，即可得漸近線方程.（2）討論l的斜率：當不存在求P、Q的坐標，進而可得；當存在，設，，l為，并聯立雙曲線方程，應用韋達定理及斜率的兩點式求證是否成立即可.【解析】(1)設雙曲線的半焦距為c，由題設，，，

雙曲線的方程為，故漸近線方程為．(2)當l的斜率不存在時，點P、Q的坐標分別為和，所以，當時有；當時有，此時，當l的斜率k存在時，設，，l為，將直線l代入雙曲線方程得，所以，，

因為，所以，即，綜上，為定值，得證．類型三：有關距離的定值問題1．已知，是雙曲線的焦點，是過焦點的弦，且的傾斜角為，那么的值為A．16 B．12 C．8 D．隨變化而變化【答案】A【解析】根據題意先由，得出直線與雙曲線的交點都在左支上，由雙曲線的定義可得，，從而得出答案.【詳解】由雙曲線方程知，，雙曲線的漸近線方程為，直線的傾斜角為，所以，又直線過焦點，如圖，所以直線與雙曲線的交點都在左支上.由雙曲線的定義得，…………(1)，…………(2)，由(1)+(2)得，.【點睛】本題考查雙曲線的性質，考查直線與雙曲線的位置關系，雙曲線的定義，分析出兩個交點的位置是本題的關鍵，屬于中檔題.2．已知雙曲線C：的左右焦點分別是，，點P是C的右支上的一點（異于頂點），過作的角平分線的垂線，垂足是M，O是原點，則（

）A．隨P點變化而變化 B．5C．4 D．2【答案】B【分析】由題設條件結合等腰三角形的性質可得，由雙曲線的定義推出，由中位線定理可得，由雙曲線的方程可得所求值．【詳解】雙曲線的左右焦點分別是，，延長交于，是的角平分線，，在雙曲線上，，，是的中點，是的中點，是△的中位線，，即，雙曲線中，則．【點睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質，注意運用等腰三角形的性質和中位線定理，考查推理能力．3．已知雙曲線C：（）的左、右焦點分別為，，點A是雙曲線右支上一點，且（O為坐標原點），則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】【分析】由可得，由圓的性質可得，利用勾股定理及雙曲線性質可得結果.【詳解】由題意，，因為，所以，所以點在以為直徑的圓上，所以，所以，所以，所以，又因為，所以，【點睛】本題考查圓錐曲線的綜合應用，求解與雙曲線性質有關的問題時要結合平面幾何進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯想到圖形，當涉及頂點、焦點、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內在聯系，屬于中等題.4．已知雙曲線，為坐標原點，，為雙曲線上兩動點，且，則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】設直線方程為，直線方程為，且設，將直線分別與雙曲線聯立，求出，再利用兩點間的距離公式即可求解.【詳解】由題意設直線方程為，直線方程為，設則，同理，所以，，即.5．已知點為坐標原點，點在雙曲線上，過點作雙曲線的某一條漸近線的垂線，垂足為，則的值為___________．【答案】.【詳解】設點，則，直線為；由題意得，解得點；從而，，所以.類型四：有關面積的定值問題1．已知雙曲線，過雙曲線上任意一點分別作斜率為和的兩條直線和，設直線與軸、軸所圍成的三角形的面積為，直線與軸、軸所圍成的三角形的面積為，則的值為________.【答案】【分析】設出點坐標，根據點斜式方程寫出的方程，并求出與坐標軸交點的坐標，從而可求出的值，最后計算并化簡的結果.【詳解】設，所以，令，所以，令，所以，所以；又，令，所以，令，所以，所以；所以.2．已知雙曲線C：(a＞0，b＞0)的一個焦點坐標為(3，0)，其中一條漸近線的傾斜角的正切值為，O為坐標原點．(1)求雙曲線C的方程；(2)直線l與x軸正半軸相交于一點D，與雙曲線C右支相切(切點不為右頂點)，且l分別交雙曲線C的兩條漸近線于M、N兩點，證明：△MON的面積為定值，并求出該定值．【答案】(1)；(2)證明見解析，﹒【分析】(1)由雙曲線的一個焦點坐標為可求c，根據一條漸近線的傾斜角的正切值為可求，結合a、b、c的關系求解、得到雙曲線方程；(2)設直線的方程為，，聯立直線與橢圓方程，利用判別式為0，求出k與m的關系．聯立l與漸近線方程求出M和N的坐標，通過，化簡即可．【解析】(1)由題可知，解得，則：；(2)由于直線與雙曲線右支相切(切點不為右頂點)，則直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為，，令，則，則．聯立得，，則，即．雙曲線兩條漸近線方程為，聯立得，，聯立得，，，故的面積為定值．類型五：有關定值的逆向問題1．已知點，是雙曲線（，）的左、右頂點，，是雙曲線的左、右焦點，若，是雙曲線上異于，的動點，且直線，的斜率之積為定值，則（

）A．2 B． C． D．4【答案】A【解析】【分析】設點設，，，表示出，的斜率，使與的斜率之積為，得出與的關系，再根據及求解的值，則.【詳解】設，，，則，，所以，又因為，所以，．又因為，所以，，所以．【點睛】本題考查雙曲線中的定值問題計算，解答的核心在于先根據題目條件列出等量關系式，導出關于，，的關系式來求解.2．已知雙曲線（，），、為雙曲線上關于原點對稱的兩點，為雙曲線上的點，且直線、的斜率分別為、，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設點、，則，利用點差法可得出，再利用可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】設、，則，所以，，由點、在雙曲線上得，兩式相減得，可得，因為，所以，，，因此，.方法點撥定值是證明求解的一個量與參數無關,解這類試題時要會合理選擇參數(參數可能是直線的斜率、截距,也可能是動點的坐標等),使用參數表達其中變化的量,再使用這些變化的量表達需要求解的解題目標.當使用直線的斜率和截距表達直線方程時,在解題過程中要注意建立斜率和截距之間的關系,把雙參數問題化為單參數問題解決.鞏固練習1．是雙曲線的左、右頂點，為雙曲線上異于的一點，則直線的斜率之積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】求出、坐標，設出，利用已知條件，列出關系式，求解即可．【詳解】∵，是雙曲線的左、右頂點，∴，，設，則雙曲線，∴，直線，的斜率之積：．2．已知A，B是雙曲線Γ：＝1(a＞0，b＞0)的左、右頂點，動點P在Γ上且P在第一象限．若PA，PB的斜率分別為k1，k2，則以下總為定值的是（）A．k1＋k2 B．|k1－k2|C．k1k2 D．【答案】C【解析】【分析】設A(－a，0)，B(a，0)，P(m，n)(m＞0，n＞0)，計算可得k1＝，結合依次分析即得解【詳解】由題意可得A(－a，0)，B(a，0)，設P(m，n)(m＞0，n＞0)，可得即又k1＝，所以k1k2＝，所以k1k2為定值，不為定值；，不為定值；，不為定值。3．已知點O為坐標原點,點M在雙曲線C:x2-y2=λ(λ為正常數)上,過點M作雙曲線C的某一條漸近線的垂線,垂足為N,則|ON|·|MN|的值為

A． B． C．λ D．無法確定【答案】B【分析】設M（m，n），即有m2-n2=λ，求出雙曲線的漸近線為y=±x，運用點到直線的距離公式，結合勾股定理可得|ON|，化簡整理計算即可得到所求值．【詳解】設M（m，n），即有m2-n2=λ，雙曲線的漸近線為y=±x，可得，由勾股定理可得，可得．4．已知雙曲線E：(a＞0，b＞0)的漸近線方程為3x±4y＝0，且過焦點垂直x軸的直線與雙曲線E相交弦長為，過雙曲線E中心的直線與雙曲線E交于A，B兩點，在雙曲線E上取一點C(與A，B不重合)，直線AC，BC的斜率分別為k1，k2，則k1k2等于（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】雙曲線E的兩條漸近線方程為3x±4y＝0，可設雙曲線的方程(λ>0)，c2＝16λ＋9λ＝25λ，∴F(5，0)．將x＝5代入方程(λ>0)得y＝±，則2×＝，解得λ＝1，故雙曲線的方程為.設點A(x1，y1)，則根據對稱性可知B(－x1，－y1)，點C(x0，y0)，k1＝，k2＝，∴k1k2＝，且，，兩式相減可得，＝.5．（多選題）已知雙曲線，若圓與雙曲線的漸近線相切，則（

）A．雙曲線的實軸長為B．雙曲線的離心率C．點為雙曲線上任意一點，若點到的兩條漸近線的距離分別為、，則D．直線與交于、兩點，點為弦的中點，若（為坐標原點）的斜率為，則【答案】BCD【解析】【分析】利用雙曲線的漸近線與圓相切求出的值，結合離心率公式可判斷AB選項的正誤；設點，則，結合點到直線的距離公式可判斷C選項的正誤；利用點差法可判斷D選項的正誤.【詳解】由題意知的漸近線方程為，所以，因為，則，所以雙曲線的實軸長為，故A錯誤；，所以，故B正確；設，則，，故C正確；設、，則，兩式作差得，所以，，D對.6．（多選題）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的離心率為，分別是雙曲線的左，右頂點，點是雙曲線的右支上位于第一象限的動點，記，的斜率分別為，則（

）A．雙曲線的焦點到其一條漸近線的距離為1時，雙曲線的方程為B．雙曲線的漸近線方程為C．為定值D．存在點，使得【答案】AC【解析】【分析】根據雙曲線C：(a>0，b>0)的離心率為，分別求得，驗證選項B，再由點到直線的距離求出c得雙曲線方程，驗證A，然后根據斜率公式和點P的坐標，驗證選項C，D.【詳解】因為雙曲線C：(a>0，b>0)的離心率為，所以，，漸近線方程為，故B錯誤；不妨設雙曲線的焦點到的距離為1，即，解得，又，故，所以雙曲線方程為，故A正確；因為，設，則，故C正確；，因為點P在第一象限，漸近線方程為，所以，則，所以，所以不存在點P，使得+=1，故錯誤.7．已知雙曲線的離心率為，其中，是雙曲線的左右頂點，是雙曲線上位于第一象限上的動點，記，的斜率分別是，.則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的漸近線方程為B．為定值C．雙曲線上存在點，使得D．設，是雙曲線的左、右焦點，若，則【答案】BD【分析】A.由，得到判斷；B.設，由求解判斷；C.設，由，結合點p在第一象限判斷；D.由，求得點P的坐標，然后由余弦定理求解判斷；【詳解】A.因為，解得，所以雙曲線的漸近線方程為，故錯誤；B.設，則，故正確；C.設，則，因為點p在第一象限，則，所以，故錯誤；D.因為，所以，又，則，所以，即，所以，由余弦定理得，由，則，故正確；8．已知雙曲線的左?右頂點分別為，，點是上的任意一點，則（

）A．雙曲線的離心率為B．焦點到漸近線的距離為3C．點到兩條漸近線的距離之積為D．當與?不重合時，直線，的斜率之積為3【答案】BCD【分析】求出由離心率公式判斷A；由距離公式判斷B；由結合距離公式判斷C；由結合斜率公式判斷D.【詳解】對于A，，，故A錯誤；對于B，雙曲線的右焦點到漸近線的距離為，故B正確；對于C，設，滿足，即，則點到兩條漸近線的距離之積為，故C正確；對于D，設，由C得，，，故D正確；9．雙曲線的虛軸長為，兩條漸近線方程為，雙曲線上有兩個點、，直線和的斜率之積為，則_________.【答案】【分析】根據已知條件求得雙曲線的方程為，設直線的方程為，其中且且，將直線的方程與雙曲線的方程聯立，求得，進一步可得出，由此可求得結果.【詳解】由題意可知，雙曲線的焦點在軸上，且，則，該雙曲線的漸近線方程為，則，所以，雙曲線的方程為，即.設直線的方程為，其中且且，聯立，可得，所以，，則，因此，.10．雙曲線的離心率為，點，是雙曲線上關于原點對稱的兩點，點是雙曲線上異于點，的動點，若直線，的斜率都存在且分別為，則的值為___________．【答案】【分析】由雙曲線離心率求出，設出點A，M的坐標并代入雙曲線方程相減，再結合斜率坐標公式即可得解.【詳解】設雙曲線半焦距c，由題意知，設，，根據對稱性可得，則，，兩式相減得，即，由斜率坐標公式得，所以的值為.11．雙曲線的左右頂點為，以為直徑作圓，為雙曲線右支上不同于頂點的任一點，連接交圓于點，設直線的斜率分別為，若，則_____.【答案】【解析】根據雙曲線上的點的坐標關系得，交圓于點，所以，建立等式，兩式作商即可得解.【詳解】設，，，交圓于點，所以，易知:即.12．設是雙曲線上的動點,若到兩條漸近線的距離分別為,,則____.【答案】【解析】【分析】先確定兩條漸近線方程，求出點到漸近線的距離，結合點在雙曲線上，即可求.【詳解】由條件可知:兩條漸近線分別為,設雙曲線上的點,則點到兩條漸近線的距離分別為,,所以.13．已知直線與雙曲線交于，兩點，為雙曲線上不同于，的點，當直線，的斜率，存在時，__________．【答案】【詳解】聯立得,設因為為雙曲線上不同于的點,設且滿足,,,,故填.14．雙曲線與橢圓的焦點相同，且漸近線方程為，雙曲線的上下頂點分別為A，B．過橢圓上頂點R的直線l與雙曲線交于點P，Q（P，Q不與A，B重合），記直線的斜率為，直線的斜率為．(1)求雙曲線的方程；(2)證明為定值，并求出該定值．【答案】(1)(2)證明見解析，【分析】（1）由與的焦點相同，可得，又因為漸近線方程為，可得，即可得出雙曲線的方程.（2）設直線方程為，聯立雙曲線的方程可得韋達定理，可求出，又因為，，所以代入化簡有：，即可求出答案.【解析】(1)由橢圓的焦點，即中，漸近線方程為即，則由，即可求出.所以雙曲線的方程為：.(2)，由題意可知，直線的斜率k存在，所以，設直線方程為聯立方程，得由韋達定理得，兩式相除，有①，，∴②將①代入②得，15．已知雙曲線過點，且離心率(1)求該雙曲線的標準方程：(2)如果，為雙曲線上的動點，直線與直線的斜率互為相反數，證明直線的斜率為定值，并求出該定值.【答案】(1)(2)證明見解析，【分析】（1）根據雙曲線的離心率及雙曲線過點可得方程；（2）設點與點的坐標，根據直線與直線的斜率互為相反數，可得直線的斜率.【解析】(1)由題意，解得，，故雙曲線方程為(2)設點，，設直線的方程為，代入雙曲線方程，得，，，，同理，.16．在平面直角坐標系中，已知點，，點滿足，記點的軌跡為.(1)求的方程；(2)已知，是經過圓上一點且與相切的兩條直線，斜率分別為，，直線的斜率為，求證：為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】