第五單元第4節復數2023屆1《高考特訓營》·數學課程標準解讀命題方向數學素養1.通過方程的解，認識復數.2.理解復數的代數表示及其幾何意義，理解兩個復數相等的含義.3.掌握復數代數表示式的四則運算，了解復數加、減運算的幾何意義1.復數的有關概念、模數學抽象直觀想象數學運算邏輯推理2.復數的幾何意義3.復數的運算0102知識特訓能力特訓01知識特訓知識必記拓展鏈接對點訓練

實部虛部(2)復數相等：a＋bi＝c＋di?_________________(a，b，c，d∈R)．(3)共軛復數：a＋bi與c＋di共軛?_______________(a，b，c，d∈R)．[注意]

①兩個虛數不能比較大小；②利用復數相等a＋bi＝c＋di列方程時，注意a，b，c，d∈R的前提條件．a＝c且b＝d

a＝c，b＝－d

3．復數的運算(1)復數的加、減、乘、除運算法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝________________；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝_______________；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝_____________________；(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i(2)復數加法的運算定律設z1，z2，z3∈C，則復數加法滿足以下運算律：①交換律：z1＋z2＝________；②結合律：(z1＋z2)＋z3＝____________．z2＋z1z1＋(z2＋z3)

3．[學以致用]巧構圖，妙得解【例】已知|z－1－i|＝1，則|z－3|的最大值為________．提示：|z－1－i|＝1表示以C(1，1)為圓心，1為半徑的圓，|z－3|表示復數z所對應的點P到點Q(3，0)的距離，

ABC

D3．[模擬演練](2022·重慶月考)德國數學家阿甘得在1806年公布了虛數的圖象表示法，形成由各點都對應復數的“復平面”，后來又稱“阿甘得平面”．高斯在1831年，用實數組(a，b)代表復數a＋bi，并建立了復數的某些運算，使得復數的某些運算也象實數一樣地“代數化”．設i為虛數單位，復數z滿足z＝i4(1＋2i)，則z的共軛復數是(

)A．2＋i B．2－iC．1－2i D．1＋2iC

B02能力特訓特訓點1特訓點2特訓點3

特訓點1復數的有關概念【自主沖關類】C解析：對于A選項，若z為純虛數，可設z＝bi(b∈R，b≠0)，則z2＝－b2<0，A選項錯誤；對于B選項，取z＝0，則z為實數，B選項錯誤；

B

BD

[錦囊·妙法]解決復數概念問題的方法及注意事項(1)求一個復數的實部與虛部，只需將已知的復數化為代數形式z＝a＋bi(a，b∈R)，則該復數的實部為a，虛部為b.(2)求一個復數的共軛復數，只需將此復數整理成標準的代數形式，實部不變，虛部變為相反數，即得原復數的共軛復數．復數z1＝a＋bi與z2＝c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．典例1

(1)(2020·北京卷)在復平面內，復數z對應的點的坐標是(1，2)，則i·z＝(

)A．1＋2iB．－2＋iC．1－2iD．－2－i解析：由題意得z＝1＋2i，∴iz＝i－2.故選B.特訓點2復數的運算【師生共研類】B

D答案：－i復數代數形式運算問題的解題策略復數的加減法在進行復數的加減法運算時，可類比合并同類項，運用法則(實部與實部相加減，虛部與虛部相加減)計算即可復數的乘法復數的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可復數的除法除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式

A答案：－i考向1復數與復平面內點、向量的對應典例2

(1)已知復數z滿足z(1－i)＝2＋i2021，則zi在復平面內對應的點位于(

)A．第一象限

B．第二象限C．第三象限 D．第四象限特訓點3復數的幾何意義【多維考向類】B

AC[解題指導]由復數與向量的關系，取特殊值對A，B作出判斷；由復數運算及向量數量積的坐標運算對C，D作出判斷．

A．(x－2)2＋y2＝9B．(x＋2)2＋y2＝9C．x2＋(y－2)2＝9D．x2＋(y＋2)2＝9D(2)(2022·河北唐山模擬)已知復數z滿足|z－(2＋i)|＝3，則|z|的最小值是_____．解析：設z＝x＋yi，(x，y∈R)，則z－(2＋i)＝(x－2)＋(y－1)i，由|z－(2＋i)|＝3，可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，故z的對應點的軌跡是圓心為(2，1)，半徑為3的圓C，|z|表示原點到圓C上的最短距離，[解題指導]法一：代數法，設出z1＝a＋bi，(a∈R，b∈R)，z2＝c＋di，(c∈R，d∈R)，通過加法運算和等號相等的條件列出方程組．根據模的關系求解變量參數關系，從而通過變形求得|z1－z2|.法二：幾何法，設復數z1，z2所對應的點為Z1，Z2，通過長度關系判斷四邊形形狀，