第2章2.2橢圓2.2.2橢圓幾何性質（二）1/291.鞏固橢圓簡單幾何性質.2.掌握直線與橢圓三種位置關系，尤其是直線與橢圓相交相關問題.學習目標2/29知識梳理自主學習題型探究重點突破當堂檢測自查自糾欄目索引3/29知識梳理自主學習知識點一點與橢圓位置關系4/29答案知識點二直線與橢圓位置關系消去y得到一個關于x一元二次方程位置關系解個數Δ取值相交

解Δ

0相切

解Δ

0相離

解Δ

0兩一無>＝<5/29知識點三弦長公式設直線方程為y＝kx＋m(k≠0)，6/29返回其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2值，可經過由直線方程與橢圓方程聯立消去y(或x)后得到關于x(或y)一元二次方程求得.7/29題型探究重點突破題型一直線與橢圓位置關系解析答案反思與感悟8/29反思與感悟并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16(m2－7)＝0?m2＝16?m＝±4，9/29本題將求最小距離問題轉化為直線與橢圓位置關系問題.解這類問題常規解法是直線方程與橢圓方程聯立，消去y或x得到關于x或y一元二次方程，則(1)直線與橢圓相交?Δ>0；(2)直線與橢圓相切?Δ＝0；(3)直線與橢圓相離?Δ<0.所以判定直線與橢圓位置關系，方程及其判別式是最基本工具.反思與感悟10/29跟蹤訓練1

已知橢圓x2＋8y2＝8，在橢圓上求一點P，使P到直線l：x－y＋4＝0距離最短，并求出最短距離.解析答案解設與直線x－y＋4＝0平行且與橢圓相切直線為x－y＋a＝0，Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，解得a＝3或a＝－3，∴與直線l距離較近切線方程為x－y＋3＝0，11/29題型二直線與橢圓相交弦問題解析答案反思與感悟解由題意知直線l斜率存在，所以可設直線l方程為y－2＝k(x－4)，而橢圓方程能夠化為x2＋4y2－36＝0.將直線方程代入橢圓方程有(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.12/29研究直線與橢圓相交關系問題通法是經過解直線與橢圓組成方程，利用根與系數關系或中點坐標公式處理.包括弦中點，還可使用點差法：設出弦兩端點坐標，代入橢圓方程，兩式相減即得弦中點與斜率關系.反思與感悟13/29解析答案跟蹤訓練2

在橢圓x2＋4y2＝16中，求經過點M(2,1)且被這一點平分弦所在直線方程.14/29解析答案解方法一假如弦所在直線斜率不存在，即直線垂直于x軸，則點M(2,1)顯然不可能為這條弦中點.故可設弦所在直線方程為y＝k(x－2)＋1，代入橢圓方程得x2＋4[k(x－2)＋1]2＝16，即得(1＋4k2)x2－(16k2－8k)x＋16k2－16k－12＝0，∵直線與橢圓有兩個交點，故Δ＝16(12k2＋4k＋3)>0，∴直線方程為x＋2y－4＝0.15/29方法二設弦兩個端點分別為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)在橢圓上，兩式相減得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∵點M(2,1)是PQ中點，故x1≠x2，即x＋2y－4＝0.16/29例3

已知橢圓4x2＋y2＝1及直線y＝x＋m.(1)當直線和橢圓有公共點時，求實數m取值范圍；題型三橢圓中最值(或范圍)問題解析答案因為直線與橢圓有公共點，17/29反思與感悟(2)求被橢圓截得最長弦所在直線方程.解設直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，由(1)知：5x2＋2mx＋m2－1＝0，所以當m＝0時，AB最大，即被橢圓截得弦最長，此時直線方程為y＝x.解析答案18/29反思與感悟解析幾何中綜合性問題很多，而且可與很多知識聯絡在一起出題，比如不等式、三角函數、平面向量以及函數最值問題等.處理這類問題需要正確地應用轉化思想、函數與方程思想和數形結合思想.其中應用比較多是利用方程根與系數關系結構等式或函數關系式，這其中要注意利用根判別式來確定參數限制條件.19/29跟蹤訓練3

如圖，點A是橢圓C：解析答案

(a>b>0)短軸位于y軸下方端點，過點A且斜率為1直線交橢圓于點B，若P在y軸上，且BP∥x軸，(1)若點P坐標為(0,1)，求橢圓C標準方程；20/29解∵直線AB斜率為1，∴∠BAP＝45°，即b＝2，且B(3,1).21/29(2)若點P坐標為(0，t)，求t取值范圍.解由點P坐標為(0，t)及點A位于x軸下方，得點A坐標為(0，t－3)，∴t－3＝－b，即b＝3－t.顯然點B坐標是(3，t)，將它代入橢圓方程得：解析答案返回22/29當堂檢測12345解析答案∴Δ>0，∴m>1或m<0.又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.23/29123452.已知橢圓方程為2x2＋3y2＝m(m>0)，則此橢圓離心率為________.解析答案24/2912345

右焦點分別為F1，F2，弦AB過F1，若△ABF2內切圓周長為π，A、B兩點坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，則|y1－y2|值為________.解析答案25/2912345解析設P(x，y)，解析答案又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，26/2912345解析答案∴點M軌跡方程是x2＋y2＝c2，點M軌跡是以原點為圓心圓，其中F1F2為圓直徑.由題意知，橢圓上點P總在圓外，所以OP>c恒成立，由橢圓性質知OP≥b，∴b>c，∴a2>2c2，27/29課堂小結處理直線與橢圓位置關系問題，經常利用設而不求方法，