第四單元第6節(jié)余弦定理和正弦定理2023屆1《高考特訓(xùn)營(yíng)》·數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀命題方向數(shù)學(xué)素養(yǎng)掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題1.利用正弦定理、余弦定理解三角形數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理直觀想象2.判斷三角形的形狀3.三角形的最值或范圍問(wèn)題0102知識(shí)特訓(xùn)能力特訓(xùn)01知識(shí)特訓(xùn)知識(shí)必記拓展鏈接對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC

2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC[注意]

(1)應(yīng)用正弦定理求角時(shí)容易出現(xiàn)增解或漏解的錯(cuò)誤，要根據(jù)條件和三角形的限制條件合理取舍．(2)求角時(shí)易忽略角的范圍而導(dǎo)致錯(cuò)誤，需要根據(jù)大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊的規(guī)則，畫(huà)圖幫助判斷．

[思考]

對(duì)于三角形面積公式該如何使用呢？點(diǎn)撥：(1)對(duì)于面積公式一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式．(2)與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化．1．[知識(shí)外延]解三角形，如何判定解的情況？在△ABC中，已知a，b和A，解的個(gè)數(shù)見(jiàn)下表：

A為鈍角A為直角A為銳角a>b一解一解一解a＝b無(wú)解無(wú)解一解a<b無(wú)解無(wú)解a>bsinA兩解a＝bsinA一解a<bsinA無(wú)解【例】在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，判斷此三角形的解的情況．

(2)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcos

C＋ccos

B；b＝acos

C＋ccos

A；c＝bcos

A＋acos

B．(3)在△ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，A>B?a>b?sin

A>sinB?cos

A<cosB．答案：45°【易錯(cuò)點(diǎn)撥】利用正弦定理求角時(shí)，因忽視條件限制而出現(xiàn)增根．

A

A

02能力特訓(xùn)特訓(xùn)點(diǎn)1特訓(xùn)點(diǎn)2特訓(xùn)點(diǎn)3

特訓(xùn)點(diǎn)1利用正弦定理、余弦定理解三角形【多維考向類】D解析：設(shè)AB＝c，AC＝b，BC＝a，結(jié)合余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，可得19＝a2＋4－2×2×a×cos120°，即a2＋2a－15＝0，解得a＝3(a＝－5舍去)，故BC＝3.(2)(2019·全國(guó)Ⅱ卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知bsin

A＋acos

B＝0，則B＝________．利用正、余弦定理解三角形的策略(1)已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形，可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理時(shí)，需判斷其解的個(gè)數(shù)；用余弦定理時(shí)，可根據(jù)一元二次方程根的情況判斷解的個(gè)數(shù)．(2)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角進(jìn)行判斷．結(jié)合圖象求解較為直觀易解．

(2)結(jié)合正弦定理以及恒等變換，然后化簡(jiǎn)求值即可．

與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題的解題策略(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關(guān)邊、角之后，直接求三角形的面積；(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他量．典例3在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.若c－acos

B＝(2a－b)cosA，則△ABC的形狀為(

)A．等腰三角形

B．直角三角形C．等腰直角三角形

D．等腰或直角三角形[解題指導(dǎo)]運(yùn)用正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為角→整理關(guān)系式→求出結(jié)果→判斷三角形形狀．特訓(xùn)點(diǎn)2判斷三角形的形狀【師生共研類】D解析：因?yàn)閏－acos

B＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，由正弦定理得sinC－sinAcos

B＝2sinAcos

A－sinBcos

A，所以sinAcos

B＋cosAsin

B－sinAcos

B＝2sinAcos

A－sinBcos

A，所以cosA(sinB－sinA)＝0，所以cosA＝0或sinB＝sinA，所以△ABC為等腰或直角三角形．

A2．(變條件)將典例中的條件變?yōu)椤叭?sinAcos

B＝sinC”，那么△ABC的形狀為_(kāi)_______．答案：等腰三角形解析：方法一：由已知得2sinAcos

B＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcos

B＋cosAsin

B，即sin(A－B)＝0.因?yàn)椋校糀－B＜π，所以A＝B，所以△ABC為等腰三角形．方法二：由正弦定理得2acosB＝c，3．(變條件)將典例條件變?yōu)椤叭鬮cos

B＋ccos

C＝acos

A”，試判斷三角形的形狀．1．判斷三角形形狀的常用途徑2．判斷三角形的形狀的注意點(diǎn)在判斷三角形的形狀時(shí)，一定要注意三角形的解是否唯一，并注重挖掘隱含條件．另外，在變形過(guò)程中，要注意角A，B，C的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響．在等式變形時(shí)，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解．

A

特訓(xùn)點(diǎn)3三角形的最值或范圍問(wèn)題【師生共研類】[解題指導(dǎo)](1)根據(jù)正弦定理進(jìn)行角化邊→