專題25新高考數學模擬卷（二）（模擬測試）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項:1.答題前,先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內。寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。4.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知為虛數單位，、，復數，則（

）A． B． C． D．3．在所在平面內，是延長線上一點且，是的中點，設，，則（

）A． B．C． D．4．已知函數的最小正周期為，若將其圖象向右平移個單位長度后關于軸對稱，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．5．在這個正整數中隨機選取三個數，能構成遞增等差數列的概率是（

）A． B． C． D．6．菠蘿眼常有兩種剔除法：用圖甲所示的去眼刀逐個挖掉菠蘿眼，或者用圖乙所示的三角刀沿著菠蘿眼挖出一條一條的螺旋線現有一個波蘿準備去眼，假設：該菠蘿為圓柱體，菠蘿有個菠蘿眼，都均勻的錯位排列在側面上如圖甲若使用去眼刀，則挖出的每一個菠蘿眼可看成側棱為，且側棱與底面成夾角的正四棱錐若使用三角刀，可挖出根螺紋條，其側面展開圖如圖丙所示，設螺紋條上兩個相鄰菠蘿眼，的距離為若將根螺紋條看成個完全一樣的直三棱柱，每個直三棱柱的高為，其底面為等腰三角形，該等腰三角形的底邊長為，頂角為，則當菠蘿眼的距離接近于（

）時，兩種刀法留下的菠蘿果肉一樣多參考數據：A． B． C． D．7．已知函數的定義域為，是偶函數，是奇函數，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．已知F1，F2分別是雙曲線C：的左、右焦點，點P在雙曲線上，，圓O：，直線PF1與圓O相交于A，B兩點，直線PF2與圓O相交于M，N兩點．若四邊形AMBN的面積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，有選錯得0分，部分選對得2分）9．已知，，且，則（

）A． B．C． D．10．如圖，在棱長為2的正方體中，Q為線段的中點，P為線段上的動點（含端點），則下列結論正確的有（

）

A．P為中點時，過D，P，Q三點的平面截正方體所得的截面的面積為B．存在點P，使得平面平面C．的最小值為D．三棱錐外接球表面積最大值為11．已知拋物線的焦點為，點為拋物線上兩個位于第一象限的動點，且有．直線與準線分別交于兩點，則下列說法正確的是（

）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，延長交準線于12．已知函數的圖象是連續不間斷的，函數的圖象關于點對稱，在區間上單調遞增.若對任意恒成立，則下列選項中的可能取值有（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．某校1000名學生參加數學文化知識競賽，每名學生的成績，成績不低于90分為優秀，依此估計優秀的學生人數為（結果填整數）.附：若，則，.14．冪函數滿足：任意有，且，請寫出符合上述條件的一個函數．15．已知函數，在處取到極小值，則實數．16．設過雙曲線左焦點的直線與交于兩點，若，且（O為坐標原點），則的離心率為四、解答題（本題共6小題，其中17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題：在中，內角的對邊分別為，且滿足_______________．(1)求角的值；(2)若的面積為，點在邊上，且，求的最小值．18．如圖所示，在等邊中，，，分別是，上的點，且，是的中點，交于點．以為折痕把折起，使點到達點的位置（），連接，，．

(1)證明：；(2)設點在平面內的射影為點，若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．19．近年來，隨著智能手機的普及，網絡購物、直播帶貨、網上買菜等新業態迅速進入了我們的生活，改變了我們的生活方式.現將一周網上買菜次數超過3次的市民認定為“喜歡網上買菜”，不超過3次甚至從不在網上買菜的市民認定為"不喜歡網上買菜".某市社區為了解該社區市民網上買菜情況，隨機抽取了該社區100名市民，得到的統計數據如下表所示：喜歡網上買菜不喜歡網上買菜合計年齡不超過45歲的市民401050年齡超過45歲的市民203050合計6040100(1)是否有99.9%的把握認為社區的市民是否喜歡網上買菜與年齡有關?(2)社區的市民李華周一、周二均在網上買菜，且周一從，兩個買菜平臺隨機選擇其中一個下單買菜.如果周一選擇平臺買菜，那么周二選擇平臺買菜的概率為；如果周一選擇平臺買菜，那么周二選擇平臺買菜的概率為，求李華周二選擇平臺買菜的概率；(3)用頻率估計概率，現從社區市民中隨機抽取20名市民，記其中喜歡網上買菜的市民人數為，事件“”的概率為，求使取得最大值時的的值.參考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82820．已知數列滿足.(1)求數列的通項公式；(2)設，數列的前n項和，求證：.21．如圖，過軸左側的一點作兩條直線分別與拋物線交于和四點，并且滿足，．(1)設的中點為，證明垂直于軸(2)若是雙曲線左支上的一點，求面積的最小值．22．已知函數．(1)若函數在上單調遞增，求正實數的取值范圍；(2)求證：當時，在上存在唯一極小值點，且．專題25新高考數學模擬卷（二）（模擬測試）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項:1.答題前,先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內。寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。4.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出集合，利用補集和交集的定義可求得集合.【詳解】因為或，故，又因為，則.故選：C.2．已知為虛數單位，、，復數，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復數的除法以及復數相等求出、的值，即可得出結果.【詳解】因為，所以，，，因此，.故選：A.3．在所在平面內，是延長線上一點且，是的中點，設，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據給定條件，借助向量的線性運算用、表示即可判斷作答.【詳解】在所在平面內，在延長線上，且，則，又是的中點，所以.故選：C4．已知函數的最小正周期為，若將其圖象向右平移個單位長度后關于軸對稱，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】先根據函數圖象的平移得到平移后函數圖象對應的解析式，再根據其圖象關于軸對稱及得到的值，進而可得函數可能的解析式．【詳解】解：由題意知．將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，因為其圖像關于軸對稱，所以．又，所以．即，由誘導公式知，故選：B．【點睛】本題主要考查三角函數圖象的平移、三角函數圖象的對稱性等，考查數學運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養．5．在這個正整數中隨機選取三個數，能構成遞增等差數列的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意可得公差，進一步確定滿足題意的可能情況數，再由古典概型概率公式計算即可．【詳解】因為三個數成遞增等差數列，設為，按題意必須滿足，，若給定了，則可以取，故三數成遞增等差數列的個數為，所以三數成遞增等差數列的概率為，故選：C．6．菠蘿眼常有兩種剔除法：用圖甲所示的去眼刀逐個挖掉菠蘿眼，或者用圖乙所示的三角刀沿著菠蘿眼挖出一條一條的螺旋線現有一個波蘿準備去眼，假設：該菠蘿為圓柱體，菠蘿有個菠蘿眼，都均勻的錯位排列在側面上如圖甲若使用去眼刀，則挖出的每一個菠蘿眼可看成側棱為，且側棱與底面成夾角的正四棱錐若使用三角刀，可挖出根螺紋條，其側面展開圖如圖丙所示，設螺紋條上兩個相鄰菠蘿眼，的距離為若將根螺紋條看成個完全一樣的直三棱柱，每個直三棱柱的高為，其底面為等腰三角形，該等腰三角形的底邊長為，頂角為，則當菠蘿眼的距離接近于（

）時，兩種刀法留下的菠蘿果肉一樣多參考數據：A． B． C． D．【答案】B【分析】根據棱錐及棱柱的體積的計算公式即可得到答案．【詳解】欲使留下的果肉一樣多，只需兩種刀法下削掉的菠蘿果肉的體積一樣大．若用去眼刀削菠蘿，削掉的每個菠蘿眼視為一個正四棱錐，該錐體的高為，底面對角線長為，故正四棱錐的體積為，菠蘿眼共有個，故用去眼刀去掉的菠蘿果肉的體積為，若用三角刀削菠蘿削掉的每根螺紋條視為一個直三棱柱，其底面的高為，底面積為，直三棱柱的體積為，故用三角刀去掉的菠蘿果肉的體積為，由題可得：，則，故選：B．7．已知函數的定義域為，是偶函數，是奇函數，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函數奇偶性的定義可求得函數的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因為函數為偶函數，則，即，①又因為函數為奇函數，則，即，②聯立①②可得，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，故函數的最小值為.故選：B.8．已知F1，F2分別是雙曲線C：的左、右焦點，點P在雙曲線上，，圓O：，直線PF1與圓O相交于A，B兩點，直線PF2與圓O相交于M，N兩點．若四邊形AMBN的面積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，，有，，，由弦長公式可得，，四邊形AMBN的面積為，解得，可求雙曲線的離心率.【詳解】根據對稱性不妨設點P在第一象限，如圖所示，圓O：，圓心為，半徑為，設，，點P在雙曲線上，，則有，，可得，過O作MN的垂線，垂足為D，O為的中點，則，，同理，，由，四邊形AMBN的面積為，，化簡得，則有，則C的離心率.故選：D二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，有選錯得0分，部分選對得2分）9．已知，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】對于A利用基本不等式可判斷；對于B利用不等式的基本性質以及指數函數的單調性即可判斷；對于C可用特殊值法判斷；對于D直接根據不等式的基本性質判斷即可．【詳解】，，且，，，當且僅當取等號，故A正確；，，且，，故B正確；則，故D正確；取，則，故C錯誤.故選：ABD．10．如圖，在棱長為2的正方體中，Q為線段的中點，P為線段上的動點（含端點），則下列結論正確的有（

）

A．P為中點時，過D，P，Q三點的平面截正方體所得的截面的面積為B．存在點P，使得平面平面C．的最小值為D．三棱錐外接球表面積最大值為【答案】AD【分析】連接，由三角形中位線性質和正方體性質可知，過D，P，Q三點的截面為梯形，然后計算即可得截面面積，可判斷A；假設存在，然后利用面面平行性質定理推得，矛盾，可判斷B；利用側面展開圖可求得最小值，判斷C；利用補形法求外接球表面積即可判斷D.【詳解】A選項：連接，由三角形中位線性質和正方體性質可知，，且，所以過D，P，Q三點的截面為梯形，易知，作，則，，所以梯形的面積，A正確；

B選項：若存在點P，使得平面平面，則由平面平面，平面平面可知，顯然不平行，故B錯誤；

C選項：將側面展開如圖，顯然當Q、P、D三點共線時，取得最小值，最小值為，C錯誤；

D選項：由題知，兩兩垂直，所以三棱錐外接球，即為以為共頂點的三條棱的長方體的外接球，記其半徑為R，則，顯然，當點P與C重合時，取得最大值，此時外接球表面積取得最大值，D正確.故選：AD11．已知拋物線的焦點為，點為拋物線上兩個位于第一象限的動點，且有．直線與準線分別交于兩點，則下列說法正確的是（

）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，延長交準線于【答案】ACD【分析】易得拋物線的焦點為，準線為，則，，求出的坐標即可判斷A；根據即可判斷B；結合B選項即可判斷C；結合A選項，求出，即可判斷D.【詳解】拋物線的焦點為，準線為，則，由，得，對于A，當時，，則，，故A正確；對于B，當時，可得，，則，設直線，把代入，可得，令，則，同理，則，因為，所以，所以，故B錯誤；對于C，由B選項知，，故C正確；對于D，當時，，則，，，由選項A知，，，，故D正確．故選：ACD．

【點睛】思路點睛：求三角形面積的比值可轉化為邊長的比值，進而可轉化為相似比問題.12．已知函數的圖象是連續不間斷的，函數的圖象關于點對稱，在區間上單調遞增.若對任意恒成立，則下列選項中的可能取值有（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據函數的對稱性和單調性得到函數為上單調遞增，進而得到，利用參變分離和的取值范圍求出的取值范圍，進而求解.【詳解】由函數的圖象關于點對稱且在區間上單調遞增可得，函數的圖象關于對稱，函數為上單調遞增，由可得，，也即，則有恒成立，即因為，所以，當時，得到恒成立；當時，則有，令，則，因為函數在上單調遞增，且，所以，則，所以BC適合題意，AD不合題意.故選：BC.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．某校1000名學生參加數學文化知識競賽，每名學生的成績，成績不低于90分為優秀，依此估計優秀的學生人數為（結果填整數）.附：若，則，.【答案】23（22也可以）【分析】根據，得出，再乘以總人數得出結果.【詳解】由每名學生的成績，得，則，則優秀的學生人數為.故答案為：23.14．冪函數滿足：任意有，且，請寫出符合上述條件的一個函數．【答案】（答案不唯一）【分析】取，再驗證奇偶性和函數值即可.【詳解】取，則定義域為R，且，，，滿足.故答案為：.15．已知函數，在處取到極小值，則實數．【答案】1【分析】首先求函數的導數，并求函數的多階導數，并分析求得的取值.【詳解】，由題意可知，，設，，，設，，，若，則存在，使，則，單調遞增，即單調遞增，又，所以，，函數單調遞減，，，函數單調遞增，所以，，即，那么，，函數單調遞增，在處不能取到極小值，故不成立，若，則存在，使，則，單調遞減，即單調遞減，又，所以，，函數單調遞增，，，函數單調遞減，所以，，即，那么，，函數單調遞減，在處不能取到極小值，故不成立，所以，即.故答案為：1【點睛】思路點睛：本題表面是一道普通的根據極小值點求參數的取值問題，實際得需要求多階導數，再分析出的取值.16．設過雙曲線左焦點的直線與交于兩點，若，且（O為坐標原點），則的離心率為【答案】【分析】利用雙曲線的定義結合向量知識建立關于、的方程即可求出離心率．【詳解】如圖，

設為中點，，由可知，，由雙曲線的定義可知，，由可知，又為中點，為中點，可知，則,從而為線段的垂直平分線，，即，所以，則為正三角形，，在直角△中，，即，所以．故答案為：．四、解答題（本題共6小題，其中17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題：在中，內角的對邊分別為，且滿足_______________．(1)求角的值；(2)若的面積為，點在邊上，且，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①：利用三角恒等變換化簡整理得，即可得結果；若選②：利用正弦定理結合兩角和差公式運算求解；若選③：利用正弦定理結合輔助角公式運算求解；（2）利用面積可得，利用向量運算結合基本不等式分析求解.【詳解】（1）若選①：因為，則，解得，且，所以；若選②：因為，由正弦定理可得：，且，則，可得，整理得，且，所以；若選③：因為，由正弦定理可得，且，則，可得，即，可得，且，則可知，所以.（2）因為的面積為，則，由題意可得：，則，當且僅當，即時，等號成立，即，所以的最小值.18．如圖所示，在等邊中，，，分別是，上的點，且，是的中點，交于點．以為折痕把折起，使點到達點的位置（），連接，，．

(1)證明：；(2)設點在平面內的射影為點，若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據條件得到折疊前，折疊后由等腰三角形得到，，從而證明平面，結合線面垂直的性質即可得到；（2）根據二面角的定義得到二面角的平面角為，結合（1）得到平面平面，從而可以確定的位置，再建立空間直角坐標系，利用空間向量即可求解．【詳解】（1）證明：因為是等邊三角形，是的中點，所以，因為，所以，則，所以折疊后，，又，所以平面，又平面，所以．（2）因為，，且平面，平面，平面平面，所以二面角的平面角為，所以，則，由（1）知，平面，平面，所以平面平面，又因為平面平面，所以點在平面內的射影在上，在等邊中，所以，即，，，過作直線交于點，以為坐標原點，，，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，，，設平面的法向量為，則，令，取，設直線與平面所成角為所以，故直線與平面所成角的正弦值為．19．近年來，隨著智能手機的普及，網絡購物、直播帶貨、網上買菜等新業態迅速進入了我們的生活，改變了我們的生活方式.現將一周網上買菜次數超過3次的市民認定為“喜歡網上買菜”，不超過3次甚至從不在網上買菜的市民認定為"不喜歡網上買菜".某市社區為了解該社區市民網上買菜情況，隨機抽取了該社區100名市民，得到的統計數據如下表所示：喜歡網上買菜不喜歡網上買菜合計年齡不超過45歲的市民401050年齡超過45歲的市民203050合計6040100(1)是否有99.9%的把握認為社區的市民是否喜歡網上買菜與年齡有關?(2)社區的市民李華周一、周二均在網上買菜，且周一從，兩個買菜平臺隨機選擇其中一個下單買菜.如果周一選擇平臺買菜，那么周二選擇平臺買菜的概率為；如果周一選擇平臺買菜，那么周二選擇平臺買菜的概率為，求李華周二選擇平臺買菜的概率；(3)用頻率估計概率，現從社區市民中隨機抽取20名市民，記其中喜歡網上買菜的市民人數為，事件“”的概率為，求使取得最大值時的的值.參考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)有99.9%的把握認為社區的市民是否喜歡網上買菜與年齡有關.(2)(3)12【分析】（1）根據題意，計算出的值即可求解；（2）根據概率的乘法公式求解；（3）利用二項分布求出，然后計算，可得結果.【詳解】（1）零假設社區的市民是否喜歡網上買菜與年齡無關，由題可得，，所以零假設不成立，所以有99.9%的把握認為社區的市民是否喜歡網上買菜與年齡有關.（2）周二選擇平臺買菜的情況有：①周一選擇平臺買菜，周二選擇平臺買菜，概率為,②周一選擇平臺買菜，周二選擇平臺買菜，概率為,所以李華周二選擇平臺買菜的概率為.（3）