試題PAGE1試題試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題03基本不等式（期末壓軸專項訓練20題）一、單選題1．若，且，則的最小值為（

）．A． B． C． D．2．設表示與的最大值，若，都是正數(shù)，，則的最小值為（

）A． B．3 C．8 D．93．已知，，直線和垂直，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．85．已知，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．已知正數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B．6 C． D．7．已知，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．已知，且，則的最小值為（

）A．4 B．5 C． D．二、多選題9．早在公元前6世紀，畢達哥拉斯學派已經(jīng)知道算術中項、幾何中項以及調和中項，畢達哥拉斯學派哲學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，后人在此基礎上推導出一個基本不等式鏈，即已知正實數(shù)，有，當且僅當時等號成立．已知，且，請利用上述不等關系，判斷下列說法正確的是（

）A．的最小值為2 B．的最大值為C．的最大值為6 D．的最小值為10．已知，，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則11．已知，為正實數(shù)，且，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為三、填空題12．設且，則的最小值為．13．已知正實數(shù)滿足，則的最大值為.14．已知，且，則的最小值為．15．已知直線（，）過函數(shù)（，且）的定點T，則的最小值為.四、解答題16．已知某公司生產(chǎn)某品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)一千件需另投入2.7萬元，設該公司年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝千件并全部銷售完，銷售收入為萬元，且（注：年利潤年銷售收入年總成本）(1)寫出年利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；(2)求公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大時的年產(chǎn)量.17．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，且.(1)求的值，并求出的解析式；(2)若在上恒成立，求的取值范圍.18．師大附中考入北大的學生李聰畢業(yè)后幫助某地打造“生態(tài)果園特色基地”，他決定為該地改良某種珍稀水果樹，增加產(chǎn)量，提高收入，調研過程中發(fā)現(xiàn)：此珍稀水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與投入的成本（單位：元）滿足如下關系：，已知這種水果的市場售價為10元/千克，且供不應求.水果樹單株獲得的利潤為（單位：元）.(1)求的函數(shù)關系式；(2)當投入成本為多少時，該水果樹單株獲得的利潤最大?最大利潤是多少?19．已知均不等于1的正數(shù)滿足且且1，且.(1)若，求的最小值；(2)當時，求的最大值；(3)若的最小值為，求的值.20．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為全面實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，大力發(fā)展特色農(nóng)產(chǎn)業(yè)，提升特色農(nóng)產(chǎn)品的知名度，邀請了一家廣告牌制作公司設計一個寬為米、長為米的長方形展牌，其中，其面積為平方米.(1)求關于的函數(shù)解析式，并求出的取值范圍；(2)如何設計展牌的長和寬，才能使展牌的周長最小?并求出周長的最小值.專題03基本不等式（期末壓軸專項訓練20題）一、單選題1．若，且，則的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】D【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由題意可得，可得，由基本不等式可得．【詳解】，且，，即，當且僅當即且時取等號，故選：D2．設表示與的最大值，若，都是正數(shù)，，則的最小值為（

）A． B．3 C．8 D．9【答案】B【知識點】利用不等式求值或取值范圍、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質，結合基本不等式的“1“的妙用求出最小值.【詳解】由，得，于是，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為3.故選：B3．已知，，直線和垂直，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】基本不等式求和的最小值、已知直線垂直求參數(shù)【分析】由題意利用兩直線垂直的性質，求得，再利用基本不等式，求得的最小值．【詳解】，，直線，，且，，即．則，當且僅當時，等號成立，故的最小值為8，故選：B．4．已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【知識點】基本不等式求和的最小值【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】因為，，所以，所以，當且僅當，即時，取等號，所以的最小值為，故選：C5．已知，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】基本不等式的恒成立問題、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由已知條件得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式求出的最小值，根據(jù)題意可得出關于的不等式，解之即可.【詳解】因為，，且，則，所以，當且僅當時，即當，時，所以的最小值為，因為恒成立，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B.6．已知正數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B．6 C． D．【答案】D【知識點】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用“1”的妙用和代入消元思想，借助于基本不等式即可求得所求式的最小值.【詳解】由可得，因，則，于是，因，當且僅當時等號成立，即，時，的最小值為.故選：D.7．已知，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】基本不等式求和的最小值【分析】由題意知，然后根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】因為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為.故選：A.8．已知，且，則的最小值為（

）A．4 B．5 C． D．【答案】D【知識點】基本不等式求積的最大值、對勾函數(shù)求最值【分析】首先利用條件變形為，再利用基本不等式求的取值范圍，再構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性，即可求解.【詳解】，，因為，且，所以，設，，函數(shù)在區(qū)間單調遞減，所以函數(shù)的最小值為.故選：D二、多選題9．早在公元前6世紀，畢達哥拉斯學派已經(jīng)知道算術中項、幾何中項以及調和中項，畢達哥拉斯學派哲學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，后人在此基礎上推導出一個基本不等式鏈，即已知正實數(shù)，有，當且僅當時等號成立．已知，且，請利用上述不等關系，判斷下列說法正確的是（

）A．的最小值為2 B．的最大值為C．的最大值為6 D．的最小值為【答案】ABD【知識點】條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據(jù)題意利用基本不等式以及乘“1”法逐項分析判斷即可.【詳解】因為，且，對于選項A：因為，可得，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為2，故A正確；對于選項B：因為，可得，即當且僅當時，等號成立，所以的最大值為，故B正確；對于選項C：因為，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為6，故C錯誤；對于選項D：，可得，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為，故D正確；故選：ABD.10．已知，，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確、基本不等式求和的最小值【分析】由基本不等式判斷AB選項，由不等式的基本性質判斷CD選項.【詳解】當且僅當時取等號，A選項正確；當且僅當時取等號，B選項錯誤；∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，C選項正確；∵，∴，∴，D選項正確.故選：ACD.11．已知，為正實數(shù)，且，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】AD【知識點】基本不等式求和的最小值【分析】選項A，對條件進行變形得，從而得到，再利用基本不等式，即可求解；選項B，根據(jù)條件，直接利用基本不等式，即可求解；選項C，根據(jù)條件，利用基本不等式得到，解不等式，即可求解；選項D，利用，得到，再利用基本不等式，即可求解.【詳解】對于選項A，由，得，所以，當且僅當，即時取等號，所以選項A正確，對于選項B，因為，所以，當且僅當時取等號，此時取得最小值，所以選項B錯誤，對于選項C，因為，當且僅當，即時取等號，又，解不等式得，即，得到的最大值為，所以選項C錯誤，對于選項D，由選項A知，所以，當且僅當，即時取等號，此時取得最小值，所以選項D正確，故選：AD.三、填空題12．設且，則的最小值為．【答案】/【知識點】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值【分析】根據(jù)已知條件得出，再應用基本不等式求出最小值即可.【詳解】因為，所以，因為，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為．故答案為：1213．已知正實數(shù)滿足，則的最大值為.【答案】【知識點】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值【分析】將代入可得，再由基本不等式求解即可.【詳解】解：因為，所以.又，所以，當且僅當時，等號成立，則的最大值為.故答案為：14．已知，且，則的最小值為．【答案】【知識點】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據(jù)分母特點，將化為，將化為.然后用基本不等式即可.【詳解】由于，因此，則，當且僅當時取等號．故答案為：.15．已知直線（，）過函數(shù)（，且）的定點T，則的最小值為.【答案】【知識點】對數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】先根據(jù)對數(shù)型函數(shù)的特點求得定點坐標，代入直線方程得，運用常值代換法即可求得結論.【詳解】令時，可得，可知函數(shù)，且的圖象恒過定點，因為定點在直線上，可得，且，則，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.四、解答題16．已知某公司生產(chǎn)某品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)一千件需另投入2.7萬元，設該公司年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝千件并全部銷售完，銷售收入為萬元，且（注：年利潤年銷售收入年總成本）(1)寫出年利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；(2)求公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大時的年產(chǎn)量.【答案】(1)(2)9千件【知識點】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、利潤最大問題、基本不等式求和的最小值【分析】（1）分段利用“年利潤年銷售收入年總成本”可得所求函數(shù)的解析式.（2）分段求函數(shù)的最大值，進行比較可得結論.【詳解】（1）當時，；當時，.綜上：.（2）當時，，.由；由.所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以.當時，.因為，當且僅當即時取“”.此時.因為.所以當年產(chǎn)量為千件時，年利潤最大.17．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，且.(1)求的值，并求出的解析式；(2)若在上恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)【知識點】由奇偶性求函數(shù)解析式、指數(shù)函數(shù)最值與不等式的綜合問題、基本不等式求和的最小值、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）利用偶函數(shù)性質以及函數(shù)值可得，再由偶函數(shù)定義可得其解析式；（2）將不等式恒成立轉化為求恒成立問題，由基本不等式計算可得的取值范圍.【詳解】（1）因為是偶函數(shù)，所以，解得，當時，可得，所以，所以函數(shù)的解析式為（2）由（1）知，當時，，因為在上恒成立，所以，又因為，當且僅當時，即時等號成立，所以，即的取值范圍是.18．師大附中考入北大的學生李聰畢業(yè)后幫助某地打造“生態(tài)果園特色基地”，他決定為該地改良某種珍稀水果樹，增加產(chǎn)量，提高收入，調研過程中發(fā)現(xiàn)：此珍稀水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與投入的成本（單位：元）滿足如下關系：，已知這種水果的市場售價為10元/千克，且供不應求.水果樹單株獲得的利潤為（單位：元）.(1)求的函數(shù)關系式；(2)當投入成本為多少時，該水果樹單株獲得的利潤最大?最大利潤是多少?【答案】(1)(2)當投入成本為90元時，該水果樹單株獲得的利潤最大，最大利潤是元【知識點】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、分段函數(shù)模型的應用、基本（均值）不等式的應用、分段函數(shù)的值域或最值【分析】（1）由題意可知：，結合題意代入運算即可；（2）分和，結合二次函數(shù)和基本不等式求最大值.【詳解】（1）由題意可知：.（2）由（1）可知：，若，則，可知其圖象開口向上，對稱軸為，此時的最大值為；若，則，當且僅當，即時，等號成立，此時的最大值為；又因為，可知的最大值為，所以當投入成本為90元時，該水果樹單株獲得的利潤最大，最大利潤是元.19．已知均不等于1的正數(shù)滿足且且1，且.(1)若，求的最小值；(2)當時，求的最大值；(3)若的最小值為，求的值.【答案】(1)8(2)16(3)【知識點】對數(shù)的運算性質的應用、基本不等式求積的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】（1）當時，，然后利用基本不等式可求出的最小值；（2）由已知得，結合基本不等式可求出的最大值；（3）由已知得，則，所以，化簡后利用基本不等式可求得答案.【詳解】（1）當時，，，當且僅當時取等號，的最小值為8.（2）由已知，，，當且僅當時取等號，的最大值為16.（3）由（2）知，則，，當且僅當時取等號.因為的最小值為，所以，則，解得，20．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為全面實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，大力發(fā)展特色農(nóng)產(chǎn)業(yè)，提升特色農(nóng)產(chǎn)品的知名度，邀請了一家廣告牌制作公司設計一個寬為米、長為米的長方形展牌，其中，其面積為平方米.(1)求關于