2023-2024學(xué)年廣東省深圳實驗學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一.選擇題（每題3分，共30分，將正確答案的代號寫在答題卷上）1．（3分）下列幾何體中，三視圖的三個視圖完全相同的幾何體是（）A． B． C． D．答案：D．2．（3分）如果與的和等于3，那么a的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：C．3．（3分）從背面朝上的分別畫有等腰三角形、平行四邊形、矩形、圓的四張形狀、大小相同的卡片中，隨機抽取一張，則所抽得的圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的概率為（）A． B． C． D．1答案：B．4．（3分）在數(shù)學(xué)活動課上，小明同學(xué)將含30°角的直角三角板的一個頂點按如圖方式放置在直尺上，測得∠1＝23°，則∠2的度數(shù)是（）A．23° B．53° C．60° D．67°答案：B．5．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，E為邊BC的中點，連結(jié)OE．若AC＝6，BD＝8，則OE＝（）A．2 B． C．3 D．4答案：B．6．（3分）如圖，在△ABC中，PM、QN分別是線段AB、AC的垂直平分線，若∠BAC＝110°，則∠PAQ的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°答案：A．7．（3分）如圖，要使?ABCD成為矩形，需添加的條件是（）A．AB＝BC B．AO＝BO C．∠1＝∠2 D．AC⊥BD答案：B．8．（3分）函數(shù)y＝與y＝kx+1（k為常數(shù)，k≠0）在同一平面直角坐標系中的大致圖象是（）A． B． C． D．答案：C．9．（3分）當(dāng)b+c＝5時，關(guān)于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情況為（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法確定答案：A．10．（3分）如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC上的點，DE交AC于M，AF交BD于點N，若AF平分∠BAC，DE⊥AF，記x＝，y＝，z＝，則有（）A．x＞y＞z B．x＝y(tǒng)＝z C．x＝y(tǒng)＞z D．x＞y＝z答案：D．二.填空題（每空3分，共15分，將答案寫在答題卷上）11．（3分）因式分解：﹣2x2+18＝﹣2（x+3）（x﹣3）．12．（3分）若點A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則y1＞y2（填“＞”或“＜”）．13．（3分）若a、b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式a+b﹣ab的值為2．14．（3分）如圖，直角三角形紙片ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，點D，E分別在邊AC，AB上，點F是邊BC的中點．現(xiàn)將該紙片沿DE折疊，使點A與點F重合，則AE＝cm．15．（3分）如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數(shù)和的圖象的四個分支上，則n的值＝﹣3．?三.解答題（共7小題，16題8分，17題5分，18題7分，19題8分，20題8分，21題9分，22題10分）16．（8分）（1）解方程：2x2+x﹣2＝0；（2）解不等式組：．解：（1）2x2+x﹣2＝0，∵a＝2，b＝1，c＝﹣2，∴b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣2）＝17，∴x＝＝，∴，；（2），解不等式①得x＞﹣1，解不等式②得：x＜3，∴不等式組的解集為：﹣1＜x＜3．17．（5分）先化簡，再求值：，其中x＝1．解：原式＝﹣+＝＝＝＝，當(dāng)x＝1時，原式＝＝．18．（7分）某校對九年級學(xué)生進行“綜合素質(zhì)”評價，評價結(jié)果分優(yōu)秀，良好，合格，不合格四個等級（分別用A，B，C，D表示），現(xiàn)從中隨機抽取若干名學(xué)生的“綜合素質(zhì)“的等級作為樣本進行數(shù)據(jù)分析，并繪制下列兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題．（1）本次隨機抽取的學(xué)生有50名，等級為優(yōu)秀（A）的學(xué)生人數(shù)所占的百分比是40%；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，等級為合格（C）的學(xué)生所在扇形的圓心角度數(shù)是57.6°；（3）將條形統(tǒng)計圖補充完整；（4）若該校九年級學(xué)生共1200名，請根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果估算，等級為良好及良好以上的學(xué)生共有多少名？解：（1）∵被調(diào)查的學(xué)生數(shù)為：18÷36%＝50（人），∴A等級人數(shù)為50﹣（18+8+4）＝20（人），則等級為優(yōu)秀（A）的學(xué)生人數(shù)所占的百分比是×100%＝40%，故答案為：50，40%；（2）等級為合格（C）的學(xué)生所在扇形的圓心角度數(shù)是360°×＝57.6°，故答案為：57.6°；（3）補全條形統(tǒng)計圖如下：（4）（名），答：評價結(jié)果為良好及良好等級以上的學(xué)生大約共有912名．19．（8分）班級搞活動，需要購置甲乙兩種物品．已知每件甲種物品的價格比每件乙種物品的價格貴10元，用150元購買甲種物品的件數(shù)恰好與用120元購買乙種物品的件數(shù)相同．（1）求甲乙兩種物品每件的價格分別是多少元？（2）若550元班會費全部用于購買甲乙兩種物品（兩種都要有），問可購買甲乙兩種物品各幾件？解：（1）設(shè)每件乙種物品的價格為x元，則每件甲種物品的價格為（x+10）元，依題意得：＝，解得：x＝40，經(jīng)檢驗，x＝40是原方程的解，且符合題意，∴x+10＝50．答：每件甲種物品的價格為50元，每件乙種物品的價格為40元．（2）設(shè)可以購進甲種物品m件，乙種物品n件，依題意得：50m+40n＝550，∴m＝11﹣n．又∵m，n均為正整數(shù)，∴或．答：可以購進7件甲種物品、5件乙種物品或3件甲種物品、10件乙種物品．20．（8分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BM∥DN，且分別交對角線AC于點M，N，連接MD，BN．（1）求證：∠DMN＝∠BNM；（2）若∠BAC＝∠DAC．求證：四邊形BMDN是菱形．證明：（1）連接BD，交AC于點O，如圖：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，∵BM∥DN，∴∠MBO＝∠NDO，又∠BOM＝∠DON，∴△BOM≌△DON（ASA），∴BM＝DN，∴四邊形BMDN為平行四邊形，∴BN∥DM，∴∠DMN＝∠BNM；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，∴∠BCA＝∠DAC，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴MN⊥BD，∴平行四邊形BMDN是菱形．21．（9分）如圖，一次函數(shù)y1＝kx+b（k≠0）與函數(shù)為的圖象交于兩點．（1）求這兩個函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足y1﹣y2＞0時x的取值范圍；（3）點P在線段AB上，過點P作x軸的垂線，垂足為M，交函數(shù)y2的圖象于點Q，若△POQ的面積為3，求點P的坐標．解：（1）∵反比例函數(shù)y2＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點A（4，1），∴1＝．∴m＝4．∴反比例函數(shù)解析式為y2＝（x＞0）．把B（，a）代入y2＝（x＞0），得a＝8．∴點B坐標為（，8），∵一次函數(shù)解析式y(tǒng)1＝kx+b圖象經(jīng)過A（4，1），B（，8），∴．∴．故一次函數(shù)解析式為：y1＝﹣2x+9．（2）由y1﹣y2＞0，∴y1＞y2，即反比例函數(shù)值小于一次函數(shù)值．由圖象可得，＜x＜4．（3）由題意，設(shè)P（p，﹣2p+9）且≤p≤4，∴Q（p，）．∴PQ＝﹣2p+9﹣．∴S△POQ＝（﹣2p+9﹣）?p＝3．解得p1＝，p2＝2．∴P（，4）或（2，5）．22．（10分）【閱讀理解】如圖1，在矩形ABCD中，若AB＝a，BC＝b，由勾股定理，得AC2＝a2+b2同理BD2＝a2+b2，故AC2+BD2＝2（a2+b2）．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形ABCD為平行四邊形，若AB＝a，BC＝b，則上述結(jié)論是否依然成立？請加以判斷，并說明理由．【拓展提升】如圖3，已知BO為△ABC的一條中線，AB＝a，BC＝b，AC＝c．求證：．【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形ABCD中，若AB＝8，BC＝12，點P在邊AD上，則PB2+PC2的最小值為200．【閱讀理解】解：如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，∴AC2＝AB2+BC2，∵AB＝a，BC＝b，∴AC2+BD2＝2（AB2+BC2）＝2a2+2b2；【探究發(fā)現(xiàn)】解：上述結(jié)論依然成立，理由：如圖②，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，且AB＝DC，∴∠ABE＝∠DCF，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AE＝DF，BE＝CF，在Rt△ACE中，由勾股定理，可得AC2＝AE2+CE2＝AE2+（BC﹣BE）2…①，在Rt△BDF中，由勾股定理，可得BD2＝DF2+BF2＝DF2+（BC+CF）2＝DF2+（BC+BE）2…②，由①②，可得AC2+BD2＝AE2+DF2+2BC2+2BE2＝2AE2+2BC2+2BE2，在Rt△ABE中，由勾股定理，可得AB2＝AE2+BE2，∴AC2+BD2＝2AE2+2BC2+2BE2＝2（AE2+BE2）+2BC2＝2AB2+2BC2＝2a2+2b2；【拓展提升】證明：如圖3，延長BO至點E，使BO＝OE，∵BO是AC邊上的中線，∴AO＝CO，又∵AO＝CO，∴四邊形ABCE是平行四邊形，由【探究發(fā)現(xiàn)】，可得BE2+AC2＝2AB2+2BC2，∵BE＝2BO，∴BE2＝4BO2，∵AB＝a，BC＝b，AC＝c，∴4BO2+c2＝2a2+2b2，∴．【嘗試應(yīng)用】解：過P作PH⊥BC于H，則四邊形APHB和四邊形PHCD是矩形，∴AB＝PH＝CD＝8，AP＝BH，PD＝CH，設(shè)BH＝x，CH＝12﹣x，∴PB2+PC2＝PH2+BH2+PH2+CH2＝82