蘇科版七年級下三角形中角的關系的七種常見題型練素養第十二章證明溫馨提示：點擊進入講評習題鏈接1234567三角形內角和定理與三角形外角的性質是解角的有關計

算及推理論證問題時經常使用的理論依據.利用三角形內角和

定理與外角的性質求角的度數時，要通過內角和外角相互轉

化，溝通已知和未知，進而求出角的度數.題型1

三角形內角和定理在求角度中的應用1.[2023·徐州]如圖，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，

∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，則∠C＝

?.55°

【點撥】∵∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，∠BDE＋∠ADE＝

180°，∠DFG＋∠BFG＝180°，∴∠ADE＝60°，∠BFG＝65°.∵DE∥BC，FG∥AC，∴∠B＝∠ADE＝60°，∠A＝∠BFG＝65°.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C＝180°－65°－60°＝55°.2.[2023·無錫江陰市期中]如圖，已知在直角三角形ABC中，

∠ACB＝90°，點D是AB上一點，∠ACD＝∠B.題型2

三角形內角和定理在折疊問題中的應用(1)求證：CD⊥AB.【證明】因為∠ACB＝90°，所以∠A＋∠B＝90°.因為∠ACD＝∠B，所以∠A＋∠ACD＝90°.所以∠ADC＝180°－(∠A＋∠ACD)＝90°.所以CD⊥AB.(2)將△ACD沿CD所在直線翻折，點A落在BD邊所在直線

上，記為點A'.①若∠B＝32°，求∠A'CB的度數；【解】①因為CD⊥AB，所以∠B＋∠BCD＝90°，所以∠BCD＝90°－∠B＝90°－32°＝58°.由折疊的性質知∠DCA'＝∠ACD＝∠B＝32°，所以∠A'CB＝∠BCD－∠DCA'＝58°－32°＝26°.②若∠B＝α°，則∠A'CB的度數為

?

(用含α的代數式表示).90°－2α°或2α°－

90°

【點撥】

易知∠DCA'＝∠ACD＝∠B＝α°，∠BCD＝90°－∠B＝90°－α°.當0＜α≤45時，點A'在線段BD上，∠A'CB＝∠BCD－∠DCA'＝90°－α°－α°＝90°－2α°.當45＜α＜90時，點A'在DB的延長線上，∠A'CB＝∠DCA'－∠BCD＝α°－(90°－α°)＝2α°－90°.故答案為90°－2α°或2α°－90°.題型3

三角形內、外角的關系在探究角的關系中的應用3.如圖，在△ABC中，點O是外角∠DBC的平分線與外角

∠ECB的平分線的交點.探究∠BOC與∠A的數量關系，并

說明理由.

題型4

三角形內、外角的關系在旋轉中的應用4.將一副三角尺按照如圖①所示的位置放置在直線EF上，現

將含30°角的三角尺OCD繞點O逆時針旋轉180°，在這個過

程中，(1)如圖②，當OD平分∠AOB時，則∠BOC＝

?；112.5°

【點撥】因為OD平分∠AOB，∠AOB＝45°，

又因為∠COD＝90°，所以∠BOC＝∠COD＋∠DOB＝90°＋22.5°＝112.5°.(2)當OC在直線EF上方，且∠COE＝30°時，求∠AOD

的度數；【解】如圖.因為∠BOA＋∠AOD＋∠DOC＋∠COE＝180°，所以∠AOD＝180°－∠BOA－∠DOC－∠COE＝180°－45°－90°－30°＝15°.(3)若∠BOC＝α，∠AOD＝β，請直接寫出α，β滿足的數量

關系.【解】α＋β＝135°或α－β＝135°或α＋β＝225°.題型5

三角形內、外角的關系在方程思想中的應用5.如圖，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.(1)求證：∠EAC＝∠B；【證明】因為AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD.

又因為∠EAD＝∠EDA，所以∠EAC＝∠EAD－∠CAD＝∠EDA－∠BAD＝∠B.【解】設∠CAD＝x，則∠BAD＝x，∠E＝3x.由(1)知，∠EAC＝∠B＝50°，所以∠EAD＝∠EDA＝x＋50°.在△EAD中，∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°，所以3x＋2(x＋50°)＝180°，解得x＝16°.所以3x＝48°，即∠E＝48°.(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度數.題型6

三角形內、外角的關系在整體思想中的應用6.如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點O，

點D是外角∠ACH與內角∠ABC的平分線的交點，∠BOC

＝120°.(1)求∠A的度數；【解】因為∠BOC＝120°，所以∠OBC＋∠OCB＝

180°－∠BOC＝60°.因為∠ABC，∠ACB的平分線交于點O，所以∠ABC＋∠ACB＝2(∠OBC＋∠OCB)＝120°.所以∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝60°.【解】因為點D是外角∠ACH與內角∠ABC的平分線的交點，

(2)求∠D的度數.題型7

三角形內角和定理在轉化思想中的應用7.在蘇科版七年級(下)冊數學教材第12章證明中，我們學習

了證明定理“三角形三個內角的和等于180°”.(1)請你根據你的課堂學習回憶并證明“三角形三個內角的

和等于180°”，如圖①，在△ABC中，求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°；【證明】如圖，延長△ABC的邊BC至點D，過點C作

CE∥AB.因為CE∥AB，所以∠A＝∠ACE，∠B＝∠DCE.因為∠ACB＋∠ACE＋∠DCE＝180°，所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.(2)如圖②，點A，D，C，F在一條直線上，BC∥DE，求

證：∠A＋∠B＝∠E＋∠F；【證明】因為BC∥DE，所以∠ACB＝∠EDF.因為∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∠E＋∠F＋∠EDF＝180°，所以∠A＋∠B＝∠E＋∠F.(3)如圖③，AD是∠BAC的平分線，點E是BC延長線上一

點，∠EAC＝∠B，EF⊥AD，垂足為點F，求證：EF平分

∠AED.【證明】因為AD是∠BAC的平分線，所以∠BAD＝∠CAD.因為∠BAD＋∠B＝∠ADC，所以∠CAD＋∠B＝∠ADC.因