第33講直線方程【知識點總結】一、基本概念斜率與傾斜角我們把直線中的系數（）叫做這條直線的斜率，垂直于軸的直線，其斜率不存在。軸正方向與直線向上的方向所成的角叫這條直線的傾斜角。傾斜角，規定與軸平行或重合的直線的傾斜角為0，傾斜角不是的直線的傾斜角的正切值叫該直線的斜率，常用表示，即。當時，直線平行于軸或與軸重合；當時，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨的增大而增大；當時，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨的增大而減??；二、基本公式1.兩點間的距離公式2.的直線斜率公式3.直線方程的幾種形式（1）點斜式：直線的斜率存在且過，注：①當時，；②當不存在時，（2）斜截式：直線的斜率存在且過，（3）兩點式：，不能表示垂直于坐標軸的直線。注：可表示經過兩點的所有直線（4）截距式：不能表示垂直于坐標軸及過原點的直線。（5）一般式：，能表示平面上任何一條直線（其中，向量是這條直線的一個法向量）三、兩直線平行與垂直的判定兩條直線平行與垂直的判定.兩直線方程平行垂直(斜率存在)(斜率不存在)或或中有一個為0，另一個不存在.四、三種距離1．兩點間的距離平面上兩點的距離公式為.特別地，原點O(0,.0)與任一點P(x,y)的距離2．點到直線的距離點到直線的距離 特別地,若直線為l:x=m,則點到l的距離;若直線為l:y=n,則點到l的距離3.兩條平行線間的距離 已知是兩條平行線,求間距離的方法:(1)轉化為其中一條直線上的特殊點到另一條直線的距離.(2)設,則與之間的距離注:兩平行直線方程中,x,y前面對應系數要相等.【典型例題】例1．（2022·全國·高三專題練習）直線經過點，在軸上的截距的取值范圍是，則其斜率的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設直線的斜率為，則直線方程為，直線在軸上的截距為1－，令－3<1－<3，解不等式得或.故選：D.例2．（2022·全國·高三專題練習（文））設，直線恒過定點A，則點A到直線的距離的最大值為（）A．1 B． C． D．【答案】D【詳解】恒過的點為，直線變形為，恒過點，所以點到直線的距離最大值即為的長，其中.故選：D例3．（2022·全國·高三專題練習）已知點到直線的距離為，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由題意得．解得或．，．故選：C.例4．（2022·全國·高三專題練習）(多選)設點P(-4，2)，Q(6，-4)，R(12，6)，S(2，12)，則有（）A．PQ∥SR B．PQ⊥PSC．PS∥QS D．PR⊥QS【答案】ABD【詳解】依題意，直線PQ，SR，PS，QS，PR的斜率分別為：，，，，，由得PQ∥SR，由得PQ⊥PS，由得PR⊥QS，而得PS與QS不平行，即選項ABD正確，選項C不正確.故選：ABD例5．（2022·全國·高三專題練習）已知直線，直線，若直線關于直線l的對稱直線為，則直線的方程為_______________．【答案】.【詳解】由題意知，設直線，在直線上取點，設點關于直線的對稱點為，則，解得，即，將代入的方程得，所以直線的方程為.故答案為：例6．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）坐標原點關于直線對稱的點的坐標是________.【答案】【詳解】解：設原點關于直線對稱的點的坐標是，則中點坐標為在直線上，直線的斜率為則，解得，．要求的對稱的點的坐標是．故答案為：．【點睛】本題考查了中點坐標公式、相互垂直的直線斜率之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．例7．（2022·全國·高三專題練習）直線與直線之間的距離為__________．【答案】【詳解】化簡直線為，根據平行線間的距離公式，可得，即直線與直線之間的距離為.故答案為：.例8．（2022·全國·高三專題練習）已知兩條直線和，試分別確定的值，使：（1）與相交于一點；（2）且過點；（3）且l1在y軸上的截距為.【解析】（1）解：由于與相交于一點，故把點代入的方程可得，聯立解得.（2）解：當時，可得和，此時不滿足；當時，因為且過點，可得，解得或.（3）解：由且l1在y軸上的截距為，可得，解得.例9．（2022·全國·高三專題練習）已知的三個頂點分別為，，，BC中點為D點，求：（1）邊所在直線的方程（2）邊上中線AD所在直線的方程（3）邊的垂直平分線的方程.【解析】（1），故邊所在直線的方程為：，化簡得到.（2）中點為，即，故，故AD所在直線的方程為，即.（3），故垂直平分線的斜率為，中點為，故垂直平分線的方程為，即.例10．（2022·全國·高三專題練習）已知直線l經過點P(4，3)，且與x軸正半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B，O為坐標原點.（1）若點O到直線l的距離為4，求直線l的方程；（2）求△OAB面積的最小值.【詳解】解：（1）由題意可設直線的方程為，即，則，解得．故直線的方程為，即；（2）直線的方程為，，，依題意，解得，則的面積為．則（當且僅當時，等號成立）．故面積的最小值為．【技能提升訓練】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習）若圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別是k1，k2，k3，則有（）A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1 D．k2<k3<k1【答案】D【分析】根據圖像可知，，，再由與傾斜角的大小得到，進而得到結果.【詳解】由圖可知，，，且直線的傾斜角大于直線的傾斜角，所以.綜上可知.故選:D.2．（2022·全國·高三專題練習）已知直線l的方程為，則直線l的傾斜角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】D【分析】由直線方程可得斜率，根據斜率與傾斜角的關系即可求傾斜角大小.【詳解】由題設，直線斜率，若直線的傾斜角為，則，∵，∴.故選：D3．（2022·全國·高三專題練習）已知直線的傾斜角為，直線經過點和，且直線與平行，則實數的值為（）A．0 B．1 C．6 D．0或6【答案】C【分析】求出直線的與的斜率，利用兩個斜率相等列方程即可求解.【詳解】因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，因為直線經過點和，所以直線斜率為，因為直線與平行，所以，解得：，故選：C.4．（2022·全國·高三專題練習）若直線的斜率，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據斜率的取值范圍，結合來求得傾斜角的取值范圍.【詳解】設傾斜角為，因為，且，所以.故選：B5．（2022·全國·高三專題練習）已知，，，，且直線與平行，則的值為（）A． B．0 C．1 D．0或1【答案】D【分析】分直線與的斜率不存在與存在兩類分別討論，斜率存在時由斜率相等建立關于的關系式，解之即可.【詳解】當直線與的斜率不存在，即時，直線AB的方程為：，直線CD的方程為：，顯然，滿足題意.②當直線與的斜率存在，即時，直線AB的斜率，直線CD的斜率要使直線與平行，須，即，解得：或（舍）當時，直線AB的方程為：，直線CD的方程為：，顯然，滿足題意.故.綜上所述，或.故選：D.6．（2022·全國·高三專題練習）已知兩點A(-2，4)，B(2，3)，過點P（1，0）的直線與線段AB有公共點，則直線斜率的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據直線的斜率，利用數形結合法求解.【詳解】如圖所示：由圖象知：過點P（1，0）的直線為直線PA，PB之間任意一條直線，而，因為直線與線段AB有公共點，所以或，故選：D7．（2022·全國·高三專題練習）已知點A(1，3)，B(－2，－1)．若直線l：y＝k(x－2)＋1與線段AB相交，則k的取值范圍是（）A． B．C．或 D．【答案】D【分析】直線經過定點，利用斜率計算公式可得：，，根據直線與線段相交，即可得出．【詳解】解：直線經過定點，，，又直線與線段相交，，故選：．8．（2021·云南昆明·模擬預測（理））若等邊三角形一邊所在直線的斜率為，則該三角形另兩條邊所在直線斜率為（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據題意，設三角形另兩條邊所在直線的斜率為，且，由直線的到角公式即可求出.【詳解】根據題意，設三角形另兩條邊所在直線的斜率為，且，則有，解得，，故另兩條邊所在直線斜率為，.故選：C.【點睛】關鍵點睛：解題的關鍵是正確利用直線的夾角公式.9．（2022·全國·高三專題練習）直線的傾斜角為，經過點，，則直線與直線的位置關系是（）A．平行 B．垂直 C．重合 D．平行或重合【答案】D【分析】求出直線的斜率，根據，的斜率關系，即可求解.【詳解】由點，，可求得直線的斜率，因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率，則有，則直線與直線平行或重合.故選：D.10．（2022·全國·高三專題練習）直線，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用充分條件，必要條件和充要條件的定義判斷.【詳解】當時，直線，，，所以，故充分；當時，，解得或，故不必要；所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A11．（2022·全國·高三專題練習）已知直線與直線平行，則實數的值是（）A． B． C．或 D．不存在【答案】C【分析】先判斷兩條直線的斜率都存在，再根據兩條直線平行的關系，得到的方程，從而解得的值.【詳解】因為直線，互相平行則兩直線的斜率都應存在，所以由兩直線平行得到，解得或，故選：C12．（2022·全國·高三專題練習）直線與直線平行，那么的值是（）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】根據兩直線平行的等價條件列方程組，解方程組即可求解.【詳解】因為直線與直線平行，所以，解得：，故選：B.13．（2022·全國·高三專題練習）已知直線與直線垂直，則實數a的值為（）A． B． C．或 D．不存在【答案】C【分析】分為直線斜率存在和不存在兩種情況直接求解即可.【詳解】當時，直線，直線，兩直線垂直，符合題意；當時，由兩直線垂直可得，解得或1（舍去），綜上所述，或.故選：C14．（2022·全國·高三專題練習）設，則“”是“直線與直線垂直”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據兩直線垂直，求的值，再根據充分必要條件的定義，判斷選項.【詳解】由題知，當時，直線的方程為，斜率，直線的方程為，斜率．因為，所以兩直線垂直，故充分性成立；若直線與垂直，則有，解得或，故必要性不成立.故選：A．15．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）過點且與原點距離最大的直線方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】結合圖形可知，所求直線為過點且與原點和點連線垂直的直線，通過點斜式即可得結果.【詳解】結合圖形可知，所求直線為過點且與原點和點連線垂直的直線，其斜率為，直線方程為，即.故選：A.16．（2022·全國·高三專題練習）過點且垂直于的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出直線l的斜率，再借助垂直關系的條件即可求解作答.【詳解】直線的斜率為，而所求直線垂直于直線l，則所求直線斜率為，于是有：，即，所以所求直線方程為.故選：B17．（2022·江蘇·高三專題練習）已知直線和直線都過點，則過點和點的直線方程是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】把坐標代入兩條直線和得,,求出,再用兩點式方程求過點,的直線的方程．【詳解】把坐標代入兩條直線和,得,,,過點,的直線的方程是：,,則,,,所求直線方程為：．故選：A.18．（2022·全國·高三專題練習）已知直線，當變化時，所有直線都恒過點（）A．B．C．D．【答案】D【分析】將直線方程整理為，從而可得直線所過的定點.【詳解】可化為，∴直線過定點，故選：D.19．（2022·全國·高三專題練習）過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為()A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】分截距為零和不為零兩種情況討論即可﹒【詳解】當直線過原點時，滿足題意，方程為，即2x－y＝0；當直線不過原點時，設方程為，∵直線過(1，2)，∴，∴，∴方程為，故選：D﹒20．（2022·全國·高三專題練習）直線l經過點，與x軸、y軸分別交于A，B兩點，當P為AB中點時，直線l的方程為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】設，，利用中點坐標公式即可得出a，b，利用截距式即可得出直線l的方程.【詳解】解：設，，∵P為AB中點，∴，解得，，∴直線的方程為：，化為：，故選：D.21．（2022·全國·高三專題練習）經過兩直線與的交點，且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線方程是（）A．或 B．或C． D．【答案】B【分析】先求出兩直線的交點為，再對直線是否經過原點分兩種情況討論得解.【詳解】解：由，求得，可得兩直線與的交點為．當要求的直線經過原點時，直線的方程為，即．當要求的直線不經過原點時，直線的方程為，把代入，可得，，此時，直線的方程為．綜上可得，要求的直線方程為或，故選：B．22．（2022·江蘇·高三專題練習）已知直線l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能圍成三角形，則實數a的取值不可能為（）A．1 B． C．﹣2 D．﹣1【答案】A【分析】分析可得直線一定相交，聯立兩方程，求得交點坐標為，當時，直線為，分析可得不滿足題意，當時，當直線l3分別與直線l1、l2平行時，以及過直線交點時，均滿足題意，分別求解，即可得答案.【詳解】因為直線l1的斜率為3，直線l2的斜率為，所以直線一定相交，交點坐標是方程組的解，解得交點坐標為：.當時，直線與x軸垂直，方程為：不經過點，所以三條直線能構成三角形；當時，直線的斜率為：.當直線l1與直線l3的斜率相等時，即，此時這兩直線平行，因此這三條直線不能三角形；當直線l2與直線l3的斜率相等時，即，此時這兩直線平行，因此這三條直線不能三角形；當直線l3過直線交點時，三條直線不能構成三角形，即有，所以實數a的取值不可能為1.故選：A23．（2022·全國·高三專題練習）點關于直線的對稱點是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設出對稱點，根據對稱關系列出式子即可求解.【詳解】解：設點關于直線的對稱點是，則有，解得，，故點關于直線的對稱點是.故選：B.【點睛】方法點睛：關于軸對稱問題：（1）點關于直線的對稱點，則有；（2）直線關于直線的對稱可轉化為點關于直線的對稱問題來解決.24．（2022·全國·高三專題練習）已知直線，則點P(2，2)關于對稱的點的坐標為（）A．(1，3) B．(-1，-1) C．(-1，5) D．(-2，-2)【答案】C【分析】設點，根據對稱得到,計算得到答案.【詳解】設點，根據對稱得到,解得：，所以(-1，5).故選：C.25．（2022·全國·高三專題練習）若入射光線所在直線的方程為，經x軸反射，則反射光線所在直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意可得已知直線過點，，由反射原理，反射光線必經過點和點關于軸的對稱點，然后由求直線方程的方法可得答案．【詳解】解：由已知直線方程，令可得，令可得，即入射光線所在直線與軸、軸分別相交于點，，由反射原理，反射光線必經過點和點關于軸的對稱點，故可得其斜率為：，由斜截式方程可得，所求反射光線所在直線方程為：故選：．26．（2022·全國·高三專題練習）兩條平行直線3x+4y-10=0與ax+8y+11=0之間的距離為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出a，利用兩平行線間的距離公式即可求解.【詳解】因為兩直線3x+4y-10=0與ax+8y+11=0平行，所以，解得：a=6，所以ax+8y+11=0為6x+8y+11=0，即，由兩平行線間的距離公式可得：兩條平行直線3x+4y-10=0與6x+8y+11=0之間的距離為：.故選：B.27．（2022·全國·高三專題練習）直線關于點對稱的直線方程是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】設對稱的直線方程上的一點的坐標為,則其關于點對稱的點的坐標為，代入已知直線即可求得結果.【詳解】設對稱的直線方程上的一點的坐標為，則其關于點對稱的點的坐標為，因為點在直線上，所以即.故選：D.二、多選題28．（2022·全國·高三專題練習）下列說法中，正確的有（）A．過點且在軸截距相等的直線方程為B．直線在y軸上的截距是；C．直線的傾斜角是D．過點并且傾斜角為的直線方程為【答案】BD【分析】求出截距相等的直線方程判斷A，求出直線的縱截距判斷B，由直線方程求得傾斜角判斷C，根據傾斜角得出直線方程判斷D．【詳解】解：對A：過點且在x，y軸截距相等的直線方程，要分直線過原點和不過原點兩種情況討論，當直線過原點時，直線方程為；當直線不過原點時，直線方程為，所以A錯誤.對B：直線在y軸上的截距，令，得，所以直線在y軸上的截距為，所以B正確.對C：直線的斜率為，設傾斜角為，則，所以，所以C錯誤.對D：過點并且傾斜角為，斜率不存在，所以直線方程為，即，所以D正確.故選：BD.29．（2022·全國·高三專題練習）對于直線：，下列說法錯誤的是（）A．時直線的傾斜角為 B．直線斜率必定存在C．直線恒過定點 D．時直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為【答案】AB【分析】由斜率、傾斜角的定義判斷AB，由方程可判斷CD.【詳解】當時，直線的傾斜角為，故A錯誤；當時，直線斜率不存在，故B錯誤；由直線方程可知直線恒過定點，故C正確；當時，直線與兩坐標軸交點為，所以直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為，故D正確.故選：AB.30．（2022·全國·高三專題練習）關于直線，下列說法正確的有（）A．過點 B．斜率為C．傾斜角為60° D．在軸上的截距為1【答案】BC【分析】A.當時，，所以該選項錯誤；B.直線的斜率為，所以該選項正確；C.直線的傾斜角為60°，所以該選項正確；D.當時，，所以該選項錯誤.【詳解】A.當時，，所以直線不經過點，所以該選項錯誤；B.由題得，所以直線的斜率為，所以該選項正確；C.由于直線的斜率為，所以直線的傾斜角為60°，所以該選項正確；D.當時，，所以直線在軸上的截距不為1，所以該選項錯誤.故選：BC31．（2022·江蘇·高三專題練習）已知直線過，且，到直線的距離相等，則的方程可能是（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由條件可知直線平行于直線或過線段的中點,當直線時，利用點斜式求出直線方程；當直線經過線段的中點時，利用點斜式可得直線方程.【詳解】由條件可知直線平行于直線或過線段的中點，當直線時，的斜率為，的方程是，即；當直線經過線段的中點時，的斜率為，的方程是，即，故選：AC32．（2022·全國·高三專題練習）已知，，，則（）A．直線與線段有公共點B．直線的傾斜角大于C．的邊上的中線所在直線的方程為D．的邊上的高所在直線的方程為【答案】BCD【分析】因為，，所以可以判斷A錯誤；因為，所以直線的傾斜角大于，B正確；因為求出直線方程可判斷C、D.【詳解】、因為，，所以直線與線段無公共點，A錯誤；因為，所以直線的傾斜角大于，B正確；因為線段的中點為，所以邊上的中線所在直線的方程為，C正確；因為，所以上的高所在直線的方程為，即，D正確.故選：BCD33．（2022·全國·高三專題練習）(多選)若兩平行直線3x-2y-1＝0，6x＋ay＋c＝0之間的距離為，則實數c的值是（）A．2 B．-4C．5 D．-6【答案】AD【分析】根據兩直線平行先計算參數a的值，再運用兩平行線間的距離公式計算參數c的值即可.【詳解】依題意知，，解得a＝-4，c≠-2，即直線6x＋ay＋c＝0可化為，又兩平行線之間的距離為，根據兩平行線間的距離公式可得：，解得c＝2或-6.選項AD正確，選項BC錯誤.故選：AD.34．（2022·全國·高三專題練習）已知直線過點且與點、等距離，則直線的方程為（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】設所求直線的方程為，解方程即得解.【詳解】設所求直線的方程為，即，由已知及點到直線的距離公式可得，解得或，即所求直線方程為或，故選：BC.35．（2022·全國·高三專題練習）過點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為（）A． B． C． D．【答案】AC【分析】分截距為零和不為零兩種情況討論即可.【詳解】當截距為0時，過點和原點，直線方程為，即，當截距不為0時，設直線方程為，可得，∴，所以直線方程為,故選：AC.36．（2022·全國·高三專題練習）與直線平行且到直線l的距離為2的直線方程是（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】設所求直線方程為，由平行線間距離公式求得參數值，得直線方程．【詳解】解：設所求直線方程為，由題意得，解得或.故選：AB．三、填空題37．（2022·全國·高三專題練習）若直線經過點A(－,3)，且傾斜角為直線x＋y＋1＝0的傾斜角的一半，則該直線的方程為___________．【答案】x－y＋6＝0.【分析】由題設可得已知直線的傾斜角為120°，即知所求直線的斜率，結合所過的點，應用點斜式寫出直線方程.【詳解】由x＋y＋1＝0得此直線的斜率為-，∴傾斜角為120°，從而所求直線的傾斜角為60°，故所求直線的斜率為，又直線過點A(-,3)，∴所求直線方程為y－3＝(x＋)，即x－y＋6＝0.故答案為：x－y＋6＝038．（2022·江蘇·高三專題練習）若經過，兩點的直線的傾斜角為，則________.【答案】2【分析】由斜率公式與斜率的定義求解即可【詳解】由題意可得：，解得，故答案為：239．（2022·全國·高三專題練習）若正方形一條對角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為______．【答案】和.【分析】根據題意，設正方形一邊所在直線的傾斜角為，得到，得出對角線所在直線的斜率為，結合兩角和的正切公式，求得，再結合兩直線的位置關系，即可求解.【詳解】設正方形一邊所在直線的傾斜角為，其斜率，則其中一條對角線所在直線的傾斜角為，其斜率為，根據題意值，可得，解得，即正方形其中一邊所在直線的斜率為，又由相鄰邊與這邊垂直，可得相鄰一邊所在直線的斜率為.故答案為：和.40．（2022·全國·高三專題練習）已知點，若直線過點與線段相交，則直線的斜率的取值范圍________【答案】或【分析】求出的斜率，利用的斜率可求出結果.【詳解】如圖：，，因為直線過點與線段相交，所以或.故答案為：或41．（2021·上海市建平中學高二階段練習）直線和直線夾角的余弦值為________．【答案】【分析】由直線方程可得兩直線斜率，，，利用求出夾角正切值，再結合同角三角函數可求其余弦值.【詳解】設的斜率為，由得，設的斜率為，由得，設兩直線夾角為，則，則.故答案為：42．（2022·全國·高三專題練習）若點在直線上，則與的位置關系是________．【答案】垂直【分析】由點在直線上，求出的值，再驗證兩直線的位置關系，可得答案.【詳解】由點在直線上，得，解得所以直線，則又，則則，所以故答案為：垂直43．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知直線則直線與的夾角是________．【答案】【分析】將直線方程化為斜截式方程，進而求得傾斜角，再求解夾角即可.【詳解】解：將直線方程化為斜截式方程得，所以直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，所以直線與的夾角是故答案為：44．（2022·全國·高三專題練習）已知點和點，P是直線上的一點，則的最小值是__________．【答案】3【分析】由題意可得兩點在直線的同側，求出點關于直線的對稱點，所以當點為直線與直線的交點時，取得最小值為【詳解】如圖，可得兩點在直線的同側，設點關于直線的對稱點，則，所以的最小值為，因為，直線為，所以，所以，所以的最小值是3故答案為：345．（2022·全國·高三專題練習）如圖，已知A(4，0)，B(0，4)，從點P(2，0)射出的光線經直線AB反射后再射到直線OB上，最后經直線OB反射后又回到P點，則光線所經過的路程是_________．【答案】2【分析】求出關于直線和的對稱點，由兩個對稱點間距離得結論．【詳解】設點P關于直線AB的對稱點為，直線方程為，因此．解得，即，關于y軸的對稱點為C(－2，0)，則光線所經過的路程PMN的長為CD＝2．故答案為：．46．（2020·全國·高三專題練習）已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A（－1，－2），則直線l關于點A對稱的直線的方程為____________.【答案】2x－3y－9＝0【分析】在l上任取兩點，求出其關于點A的對稱點坐標，再利用兩點式即可求出直線l關于點A對稱的直線的方程.【詳解】法一在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點，如M（1,1），N（4,3），則M，N關于點A的對稱點M′，N′均在直線l′上，易知M′（－3，－5），N′（－6，－7），由兩點式可得l′的方程為2x－3y－9＝0.法二設P（x，y）為l′上任意一點，則P（x，y）關于點A（－1，－2）的對稱點為P′（－2－x，－4－y），∵P′在直線l上，∴2（－2－x）－3（－4－y）＋1＝0，即2x－3y－9＝0.故答案為：2x－3y－9＝0.【點睛】本題考查直線關于點的對稱直線，關鍵是對稱點的求解，是基礎題.47．（2022·全國·高三專題練習）直線恒過定點，則直線關于點對稱的直線方程為_________．【答案】【分析】根據直線過定點的求法可求得點坐標，根據關于對稱的兩條直線平行，且到點距離相等可構造方程求得結果.【詳解】由得：，當時，，；設直線關于點對稱的直線方程為，，解得：或（舍），直線關于點對稱的直線方程為.故答案為：.48．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）直線關于直線對稱的直線方程是__________.【答案】【分析】先求得兩條直線的交點坐標,再在直線上取一個點,求得點關于直線的對稱點,即可利用兩個點的坐標求得其對稱點的直線方程.【詳解】因為直線與直線所以聯立直線方程可得,解方程組可得即兩條直線的交點的坐標為在直線上取一個點,設關于直線的對稱點為,由中點坐標公式及斜率關系可得,解方程組可得所以則直線方程的斜率為由點斜式可得直線的方程為化簡可得即直線關于直線對稱的直線方程為故答案為:【點睛】本題考查了直線交點坐標的求法,點關于直線的對稱點求法,兩條垂直直線的斜率關系點斜式方程的用法,屬于基礎題.四、解答題49．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三學業考試）已知，，線段的垂直平分線為直線．（1）求直線的一般式方程；（2）若點在直線上，且，求點坐標．【答案】（1）（2）或【分析】（1）由題意，求出線段的中點坐標及直線的斜率，然后利用點斜式寫出直線方程，化簡即可得答案；（2）設點坐標為，由題意，列出關于的方程組求解即可得答案.（1）解：因為，，所以線段的中點為，，又線段的垂直平分線為直線，所以，所以直線的方程為，即，所以直線的一般式方程為；（2）解：設點坐標為，由題意有，解得或，所以點坐標為或.50．（2022·全國·高三專題練習）已知直線l1：2x+y+3＝0，l2：x﹣2y＝0．(1)求直線l1關于x軸對稱的直線l3的方程，并求l2與l3的交點P；(2)求過點P且與原點O（0，0）距離等于2的直線m的方程．【答案】(1)2x﹣y+3＝0，P（﹣2，﹣1）；(2)3x+4y+10＝0或x＝﹣2.【分析】(1)由對稱關系求直線l