山東省高三年級適應性聯考（一）數學試題本試卷共3頁，22題，滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．3．非選擇題的作答，用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．4．考試結束后請將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B．C． D．2．若，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．陽馬和鱉臑是我國古代對一些特殊錐體的稱謂，取一長方體，按下圖斜割一分為二，得兩個一模一樣的三棱柱，稱為暫堵，再沿塹堵的一頂點與相對棱剖開得一四棱錐和一三棱錐，以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬，余下的三棱錐稱為鱉臑．（注：圖4由左依次是塹堵、陽馬、鱉臑）圖3圖4上圖中長方體為正方體，由該正方體得上圖陽馬和鱉臑，已知鱉臑的外接球的體積為，則鱉臑體積為（）A． B． C．2 D．4．已知，則（）A． B． C． D．5．已知，點在線段上（不包括端點），向量，的最小值為A． B． C． D．6．設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．設，，，則有（）A．最小值3 B．最大值3 C．最小值 D．最大值8．已知，，，則（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．設等差數列的前項和為，公差為，，，，下列結論正確的是（）A．B．當時，的最大值為13C．數列為等差數列，且和數列的首項、公差均相同D．數列前項和為，最大10．摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色．某摩天輪最高點距離地面高度為60米，轉盤直徑為50米，設置有24個座艙，摩天輪開啟前，距地面最近的點為0號座艙，距地面最遠的座艙為12號，座艙逆時針排列且均勻分布，游客甲坐2號艙位，乙坐6號艙位，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，開啟后的第8分鐘這一時刻，游客甲和乙首次距離地面高度相同，游客甲在摩天輪轉動過程中距離地面的高度為米，下列說法正確的是（）A．關于的函數解析式為B．開啟后第20分鐘這一時刻游客甲和乙第二次距離地面高度相同C．開啟后第10分鐘游客乙距離地面47.5米D．開啟后第10分鐘至第18分鐘游客甲和乙運動方向相同（上升或下降）11．已知函數，下列結論正確的是（）A．若函數無極值點，則沒有零點B．若函數無零點，則沒有極值點C．若函數恰有一個零點，則可能恰有一個極值點D．若函數有二個零點，則一定有二個極值點12．直四棱柱，所有棱長都相等，且，為的中點，為四邊形內一點（包括邊界），下列結論正確的是（）A．平面截四棱柱的截面為直角梯形B．面C．平面內存在點，使得D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，為非零向量，且，向量在向量上的投影向量為，則的模為______．14．對于數列，由作通項得到的數列，稱為數列的差分數列，已知數列為數列的差分數列，且是以1為首項以2為公差的等差數列，則______．15．已知矩形，，，是邊的中點．和交于點，將沿折起，在翻折過程中當與垂直時．異面直線和所成角的余弦值為______．16．已知函數及其導函數的定義域均為，記，若為偶函數，，且，則______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）如圖等腰直角的三個頂點分別在等腰直角的三條邊上，角和角為直角，，設，．（1）求的長（用，表示）；（2）求面積的最小值．18．（12分）記的內角，，的對邊分別為，，，已知．（1）求角和角之間的等式關系；（2）若，為角的角平分線，且，的面積為，求的長．19．（12分）已知函數．（1）求的極值；（2）若在區間有2個零點，求的取值范圍．20．（12分）如圖，三棱臺中，面面，．的面積為1，且與底面所成角為60°．（1）求到平面的距離；（2）求面與面所成角的正弦值．21．（12）設數列的首項，且數列的項和為．（1）求；（2）求．22．（12分）設，為實數，且，函數（），直線．（1）若直線與函數（）的圖像相切，求證：當取不同值時，切點在一條直線上；（2）當時，直線與函數有兩個不同的交點，交點橫坐標分別為，，且，求證：．山東省高三年級適應性聯考（一）數學試題答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．C解析：由得，選C．2．B解析：由不能得，由能得，選B．3．D解析：鱉臑的外接球和正方體的外接球是同一外接球，由鰲臑的外接球的體積為，得外接球的半徑為，正方體的體對角線長度是，正方體的棱長為2，鱉臑體積為，選D．4．D解析：由，得，則，選D．5．C解析：，點在線段上（不包括端點），向量，可得，，，，當且僅當時成立，選C．6．C解析：當時，在單調遞增，單調遞減，題目要求在區間上單調遞減，所以需滿足，當滿足題意，當時，在單調遞增，需滿足真數，則，綜上．選C．7．B解析：，，，當且僅當時成立，選B．8．A解析：先證，設，求導可得，所以，當時取等號，得，再證設時，成立，設，當時，，其中需證，因為，所，所以，選A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．AD解析：（1），顯然A正確（2）由題意得，，，，B錯（3）數列為等差數列，且和數列的首項相同、公差為，C錯（4）由題意得，，，得，，，令，，，D對10．BCD解析：（1）關于的函數解析式為，A錯（2）摩天輪速旋一周需24分鐘，第二次高度相同，，B對（3）游客乙在摩天輪轉動過程中距離地面的高度為米，C對（4）關于的函數解析式為與，兩個圖像遞減區間的交集為．D對11．AD解析：函數的圖像可以為如下4種圖像：12．ABD解析：（1）取的中點為，，為截面，垂直面，，A對（2），，B對（3）在面的射影不可能與垂直，C錯（4），，D對三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．解析：，為非零向量，由得，由，得，，，可求的模為14．65解析：由題意得，累加得，則．15．解析：矩形，，，是邊的中點．和交于點，可得，將沿折起，在翻折過程中當與垂直時．可得，即面和面垂直時，利用三余弦定理，異面直線和所成角的余弦值為．16．6解析：為偶函數，得，兩邊同時求導得，即，，得關于對稱，由，可得，兩式相加得的周期為6，關于對稱，，由，得，所以四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．解：（1）由，，得，由正弦定理得得（2），得當且僅當時，面積的最小值為18．解：（1）由得，得，即，得或（2）由（1）或，因為，得，為角的角平分線，得，，，由正弦定理得，，由的面積為，得，即，，得19．解：（1）因為，定義域為，所以，當時，由于，則恒成立，所以在上單調遞增，無極值當時，令，解得，當時，，則在上單調遞增；當時，，則在上單調遞減：所以當時，在處取極大值分；（2），令，得，令，在區間有2個零點，即與在區間有2個交點，，，，當，，單增，當，，單減，當，單調遞減，，的最大值為，與在區間有2個交點，則．20．解：（1）∵，作交于，∵平面平面，而平面平面，平面，∴平面而平面，即有，∵，，∴面，平面平面，作交于，平面，，為等邊三角形，為中點，到平面的距離為等于．（2）由的面積為1，得∴，以為坐標原點，取中點為，所，，在直線為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，設平面的法向量，則，令，∴，設平面的法向量，則，令，，，得∴，，所以面與面所成二面角的正弦值為．21．解：（1）若為偶數，則，即，所以，于是．故若為奇數，則，即，所以．于是，；（2），因為，為奇數，所以，，．2