專題25二次函數(shù)與最大角問(wèn)題解題點(diǎn)撥【問(wèn)題描述】1471年，德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒向諾德爾提出這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖，點(diǎn)A、B直線l的同一側(cè)，在直線l上取一點(diǎn)P，使得∠APB最大，求P點(diǎn)位置．【問(wèn)題鋪墊】圓外角：如圖，像∠APB這樣頂點(diǎn)在圓外，兩邊和圓相交的角叫圓外角．相關(guān)結(jié)論：圓外角等于這個(gè)角所夾兩條弧的度數(shù)差（大減小）的一半．如圖，．換句話說(shuō)，對(duì)同一個(gè)圓而言，圓周角>圓外角．【問(wèn)題解決】結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)P不與A、B共線時(shí)，作△PAB的外接圓，當(dāng)圓與直線l相切時(shí)，∠APB最大．證明：在直線l上任取一點(diǎn)M（不與點(diǎn)P重合），連接AM、BM，∠AMB即為圓O的圓外角，∴∠APB>∠AMB，∠APB最大．∴當(dāng)圓與直線l相切時(shí)，∠APB最大．特別地，若點(diǎn)A、B與P分別在一個(gè)角的兩邊，如下圖，則有．（切割線定理）證明：∵∠POA=∠BOP，∠OPA=∠OBP（弦切角定理）∴△AOP∽△POB，∴，∴．即可通過(guò)OA、OB線段長(zhǎng)確定OP長(zhǎng)，便知P點(diǎn)位置．直擊中考1．（山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，頂點(diǎn)為的拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于另一點(diǎn)，作軸，垂足為點(diǎn).雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，連接，.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)，分別是軸，軸上的兩點(diǎn)，當(dāng)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形周長(zhǎng)最小時(shí)，求出點(diǎn)，的坐標(biāo)；（3）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿0C方向運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，∠BPD的度數(shù)最大?(請(qǐng)直接寫出結(jié)果)

2．如圖，已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是線段OB，OC上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在點(diǎn)E，F(xiàn)，使得DEF為等邊三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)∠BFD的度數(shù)最大時(shí)，求tan∠OBF的值．

3．（2022·山東日照·日照市新營(yíng)中學(xué)校考一模）如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若P是直線BC下方的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（不點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)D，①求線段PD長(zhǎng)度的最大值．②若為直角三角形，求出P點(diǎn)坐標(biāo)(3)點(diǎn)E為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，BE，形成，當(dāng)?shù)亩葦?shù)最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

4．（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）如圖，頂點(diǎn)為M的拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A(﹣1，0)，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸交拋物線于另一點(diǎn)D，作DE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，雙曲線y=(x＞0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，連接MD，BD．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)N，F(xiàn)分別是x軸，y軸上的兩點(diǎn)，當(dāng)以M，D，N，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形周長(zhǎng)最小時(shí)，求出點(diǎn)N，F(xiàn)的坐標(biāo)；（3）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OC方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，∠BPD的度數(shù)最大？

5．（2020·浙江寧波·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，如圖1，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線（a≠0）經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，AB⊥y軸于點(diǎn)A，AB=2，AO=4，OC=5，點(diǎn)D是線段AO上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD、BD．（1）求出拋物線的解析式；（2）如圖2