第一章集合與常用邏輯用語、不等式第1節集合1.了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關系.2.理解集合間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.3.理解兩個集合的并集、交集與補集的含義，會求兩個簡單集合的并集、交集與補集.4.能使用Venn圖表達集合間的基本關系與基本運算.考試要求目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點聚焦突破02課時分層精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.元素與集合(1)集合中元素的三個特性：確定性、

、無序性.(2)元素與集合的關系是______或不屬于，表示符號分別為____和?.(3)集合的三種表示方法：________、________、圖示法.(4)常用數集及記法

互異性屬于∈列舉法描述法名稱自然數集正整數集整數集有理數集實數集記法__________________________NN*或N＋ZQR2.集合間的基本關系(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的______，就稱集合A為集合B的子集.記作A

?B(或B

?A).(2)真子集：如果集合A?B，但______元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的________，記作A

B(或B

A).(3)相等：若A?B，且________，則A＝B.(4)空集的性質：

是任何集合的子集，是任何______集合的真子集.元素存在真子集B?A非空3.集合的基本運算

集合的并集集合的交集集合的補集符號表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補集為?UA圖形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}_______________{x|x∈U，且x?A}{x|x∈A，且x∈B}4.集合的運算性質(1)A∩A＝A，A∩

＝

，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪

＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(?UA)＝

，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A.1.若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個.2.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.3.?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).常用結論與微點提醒1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”)(1)任何一個集合都至少有兩個子集.(

)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(

)(3)若1∈{x2，x}，則x＝－1或1.(

)(4)對于任意兩個集合A，B，(A∩B)?(A∪B)恒成立.(

)×××√解析(1)錯誤.空集只有一個子集.(2)錯誤.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是拋物線y＝x2＋1上的點集.(3)錯誤.當x＝1時，不滿足集合中元素的互異性.2.(必修一P13T1改編)已知U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，則A∩(?UB)＝________.解析易知?UB＝{2，4，6}，故A∩(?UB)＝{2，4}.{2，4}3.已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，則m的值為________.解析當m＋2＝3時，m＝1，此時，m＋2＝2m2＋m＝3，故舍去；4.(必修一P9T5改編)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若B?A，則實數a的取值范圍是___________.[2，＋∞)解析由圖可知a≥2.考點聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點一集合的基本概念B所以x可取－1，0，1.當x＝－1時，得y＝0；當x＝0時，得y＝－1，0或1；當x＝1時，得y＝0.所以A＝{(－1，0)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)}，共有5個元素.C所以b＝0，所以a2＝1，解得a＝1或a＝－1.根據集合中元素的互異性可知a＝1應舍去，因此a＝－1，所以a2024＋b2024＝(－1)2024＋02024＝1.1.研究集合問題時，首先要明確構成集合的元素是數集、點集，還是其他集合；然后再看集合的構成元素滿足的限制條件，從而準確把握集合的含義.2.利用集合元素的限制條件求參數的值或確定集合中元素的個數時，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.感悟提升訓練1(1)(2023·石家莊聯考)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，集合B＝{(x，y)|y＝|x|－1}，則集合A∩B的真子集的個數為(

)A.3 B.4 C.7 D.8C解析結合圖象可知，集合A∩B有3個元素，所以集合A∩B的真子集的個數為23－1＝7.(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，則實數a的值為(

)A.1 B.1或0C.0 D.－1或0C解析

∵－1∈A，若a－2＝－1，即a＝1時，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互異性；若a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0時，A＝{1，－2，－1}，故a＝0.考點二集合間的基本關系A.M＝N B.M

NC.N

M D.M∩N＝

B因此M

N，故選B.[0，＋∞)1.若B?A，應分B＝

和B≠

兩種情況討論.2.已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將兩個集合間的關系轉化為元素或區間端點間的關系，進而求得參數范圍.注意合理利用數軸、Venn圖幫助分析及對參數進行討論.求得參數后，一定要把端點值代入進行驗證，否則易增解或漏解.感悟提升訓練2(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|x2－6x＜0}，則滿足A

C?B的集合C的個數為(

)A.4 B.6 C.7 D.8C解析∵A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，且A

C?B，∴集合C的所有可能為{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7個.B解析依題意，有a－2＝0或2a－2＝0.當a－2＝0時，解得a＝2，此時A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不滿足A?B；當2a－2＝0時，解得a＝1，此時A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，滿足A?B.所以a＝1，故選B.考點三集合的運算例3(1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6

≥0}，則M∩N＝(

)A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2}C.{－2} D.{2}C解析因為N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3，或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故選C.(2)(2023·全國乙卷)設集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|－1＜x＜2}，則{x|x≥2}＝(

)A.?U(M∪N) B.N∪?UMC.?U(M∩N) D.M∪?UNA解析因為M∪N＝{x|x＜2}，所以?U(M∪N)＝{x|x≥2}，故選A.(3)(2024·湖南師大附中調研)已知集合A＝{x|－1<x≤4}，B＝{x|(x－2a)(x－a2－1)<0}.若A∩B＝

，則實數a的取值范圍為(

)A.{a|a>2} B.{a|a≥2}C.{a|a＝1，或a≥2} D.{a|a≥1}C解析

因為a2＋1≥2a，當a＝1時，a2＋1＝2a，則B＝

，滿足A∩B＝

；當a≠1時，a2＋1>2a，則B＝{x|2a<x<a2＋1}，1.進行集合運算時，首先看集合能否化簡，能化簡的先化簡，再研究其關系并進行運算.2.對于集合的交、并、補運算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；如果集合中的元素是連續的，可用數軸表示，此時要注意端點的情況.感悟提升訓練3(1)(2023·全國乙卷)設全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，則M∪?UN＝(

)A.{0，2，4，6，8} B.{0，1，4，6，8}C.{1，2，4，6，8} D.UA解析由題意知，?UN＝{2，4，8}，所以M∪?UN＝{0，2，4，6，8}.(2)(2024·廣州調研)已知全集U＝R，集合A＝{x|x>1}，B＝{x|－2≤x<2}，則圖中陰影部分表示的集合為(

)A.{x|x≥－2} B.{x|x<－2}C.{x|1<x<2} D.{x|x≤1}B解析由Venn圖知，圖中陰影部分表示的集合為?U(A∪B)，因為集合A＝{x|x>1}，B＝{x|－2≤x<2}，則A∪B＝{x|x≥－2}，所以?U(A∪B)＝{x|x<－2}，故選B.(3)(2023·駐馬店模擬)已知集合A＝{x|(x－1)(x－4)<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝{x|x>1}，則a的取值范圍是(

)A.[1，4) B.(1，4)C.[4，＋∞) D.(4，＋∞)A解析由題意可得A＝{x|1<x<4}，因為A∪B＝{x|x>1}，所以1≤a<4.考點四集合的新定義問題ABD解析對于A，若a∈F，則a－a＝0∈F，故A正確；解決集合新定義問題的關鍵解決新定義問題時，一定要讀懂新定義的本質含義，緊扣題目所給定義，結合題目所給定義和要求進行恰當轉化，切忌同已有概念或定義相混淆.感悟提升(1，8)B＝{y|y＝3x＋1}＝{y|y＞1}，C＝{x|log2x＜3}＝{x|0＜x＜8}，所以A·B·C＝(1，8).拓展視野

Venn圖的應用在部分有限集中，我們經常遇到元素個數的問題，常用Venn圖表示兩個集合的交、并、補集，借助于Venn圖解決集合問題，直觀簡捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的個數，即Card(A)表示有限集A的元素個數.例

(2020·新高考Ⅰ卷)某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學生喜歡足球或游泳，60%的學生喜歡足球，82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的比例是(

) A.62% B.56% C.46% D.42%C解析用Venn圖表示該中學喜歡足球和游泳的學生所占比例之間的關系如圖，設既喜歡足球又喜歡游泳的學生占該中學學生總數的比例為x，則(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.訓練

(2024·西安調研)某學校舉辦運動會，比賽項目包括田徑、游泳、球類，經統計高一年級有57人參加田徑比賽，有11人參加游泳比賽，有62人參加球類比賽.參加球類比賽的同學中有14人參加田徑比賽，有4人參加游泳比賽；同時參加田徑比賽和游泳比賽的有8人；同時參加三項比賽的有2人.則高一年級參加比賽的同學的人數為________.106解析設集合A，B，C分別指參加田徑、游泳、球類比賽的學生構成的集合，作出Venn圖，如圖所示.由圖可知，高一年級參加比賽的同學的人數為46＋37＋1＋12＋2＋6＋2＝106.課時分層精練3KESHIFENCENGJINGLIAN1.(2023·上海卷)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P，且x?Q}，則

M＝(

)A.{1} B.{2}C.{1，2} D.{1，2，3}A解析由M＝{x|x∈P，且x?Q}知，M＝{1}.2.(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x||x－1|≤1}，則A∩B＝(

)A.{－1，2} B.{1，2}C.{1，4} D.{－1，4}B解析由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，所以B＝{x|0≤x≤2}，所以A∩B＝{1，2}.3.設集合A＝{x|log2(x－1)＜2}，B＝{x|x＜5}，則(

)A.A＝B B.B?AC.A?B D.A∩B＝

C解析由log2(x－1)＜2得0＜x－1＜4，解得1＜x＜5，則A＝{x|1＜x＜5}，又B＝{x|x＜5}，所以A?B.4.(2023·全國甲卷)設全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，則N∪?UM＝(

)A.{2，3，5} B.{1，3，4}C.{1，2，4，5} D.{2，3，4，5}A解析由題意知，?UM＝{2，3，5}，又N＝{2，5}，所以N∪?UM＝{2，3，5}，故選A.5.(2024·臨汾模擬)已知集合A＝{x|lnx≤1}，B＝{x||2x＋1|≤3}，則A∪B＝(

)A.{x|－2≤x≤1} B.{x|－2≤x≤e}C.{x|x≤1} D.{x|x≤e}B解析易知lnx≤1的解集為{x|0<x≤e}，則A＝{x|0<x≤e}.由|2x＋1|≤3可得－3≤2x＋1≤3，即－2≤x≤1，所以B＝{x|－2≤x≤1}.所以A∪B＝{x|－2≤x≤e}.C所以集合M∩N含有2個元素，其真子集的個數為22－1＝3.A8.(2023·洛陽模擬)設集合A＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|2x2＋(a－4)x－2a≤0}，且A∩B＝{x|－1≤x≤1}，則a＝(

)A.1 B.－1 C.2 D.－2C解析由2x2＋(a－4)x－2a≤0，得(2x＋a)(x－2)≤0，因為A＝{x|－2≤x≤1}，A∩B＝{x|－1≤x≤1}，9.若全集U＝R，A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|0＜x≤8}，則圖中陰影部分所表示的集合為____________.{x|0＜x≤6}解析由題圖知陰影部分所表示的集合為A∩B＝{x|0＜x≤6}.10.(2024·鄭州質檢)設集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x2－6x＋5≤0}，則A∩B＝___________.[1，3]解析由x2－6x＋5＝(x－1)(x－5)≤0，解得1≤x≤5，即B＝[1，5]，又A＝{x|x≤3}，∴A∩B＝[1，3].12.已知集合A＝{x|y＝lg(a－x)}，B＝{x|1＜x＜2}，且(?RB)∪A＝R，則實數a的取值范圍是_______________.[2，＋∞)解析由已知可得A＝(－∞，a)，?RB＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，∵(?RB)∪A＝R，∴a≥2.13.(2023·全國甲卷)設全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，則?U(M∪N)＝(

)A.{x|x＝3k，k∈Z} B.{x|x＝3k－1，k∈Z}C.{x|x＝3k－2，k∈Z} D.

A解析集合M∪N表示被3除余1或2的整數集，則它在整數集中的補集是恰好被3整除的整數集，故選A.14.(多選)(2024·德宏質檢)在整數集Z中，被4除所得余數為k的所有整數組成一個“類”，記為[k]＝{4n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，則下列結論正確的為(

)A.2025∈[3]B.－2∈[2]C.Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]D.“整數a，b屬于同一‘類’”的充要條