題型九二次函數綜合題類型十一二次函數與正方形有關的問題（專題訓練）1.（2022·浙江湖州）如圖1，已知在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC是邊長為3的正方形，其中頂點A，C分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上，拋物線經過A，C兩點，與x軸交于另一個點D．(1)①求點A，B，C的坐標；②求b，c的值．(2)若點P是邊BC上的一個動點，連結AP，過點P作PM⊥AP，交y軸于點M（如圖2所示）．當點P在BC上運動時，點M也隨之運動．設BP＝m，CM＝n，試用含m的代數式表示n，并求出n的最大值．【答案】(1)①A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；②(2)；【分析】（1）①根據坐標與圖形的性質即可求解；②利用待定系數法求解即可；（2）證明Rt△ABP∽Rt△PCM，根據相似三角形的性質得到n關于m的二次函數，利用二次函數的性質即可求解．(1)解：①∵正方形OABC的邊長為3，∴點A，B，C的坐標分別為A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；②把點A(3，0)，C(0，3)的坐標分別代入y=?x2+bx+c，得，解得；(2)解：由題意，得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=90°，∴Rt△ABP∽Rt△PCM，∴，即．整理，得，即．∴當時，n的值最大，最大值是．【點睛】本題綜合考查了正方形的性質，相似三角形的判定和性質，二次函數的性質，待定系數法求函數解析式，根據正方形的性質求出點A，B，C的坐標是解題的關鍵．2.（2022·山東泰安）若二次函數的圖象經過點，，其對稱軸為直線，與x軸的另一交點為C．(1)求二次函數的表達式；(2)若點M在直線上，且在第四象限，過點M作軸于點N．①若點N在線段上，且，求點M的坐標；②以為對角線作正方形（點P在右側），當點P在拋物線上時，求點M的坐標．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）利用待定系數解答，即可求解；（2）①先求出直線的表達式為，然后設點N的坐標為．可得．可得到，．再由，即可求解；②連接與交與點E．設點M的坐標為，則點N的坐標為根據正方形的性質可得E的坐標為，進而得到P的坐標．再由點P在拋物線上，即可求解．(1)解：二次函數的圖象經過點，．又拋物線經過點，對稱軸為直線，解得∶拋物線的表達式為．(2)解∶①設直線的表達式為．點A，B的坐標為，，∴，解得∶，直線的表達式為．根據題意得∶點C與點關于對稱軸直線對稱，．設點N的坐標為．軸，．∴．，解，得．點M的坐標；②連接與交與點E．設點M的坐標為，則點N的坐標為四邊形是正方形，，，．∵MN⊥x軸，軸．E的坐標為．．．∴P的坐標．點P在拋物線上，．解，得，．點P在第四象限，舍去．即．點M坐標為．【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合題，熟練掌握二次函數的圖形和性質，正方形的性質，一次函數的圖象和性質是解題的關鍵．3.（2020·吉林中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸正半軸交于點，且點的坐標為，過點作垂直于軸的直線．是該拋物線上的任意一點，其橫坐標為，過點作于點；是直線上的一點，其縱坐標為，以，為邊作矩形．（1）求的值．（2）當點與點重合時，求的值．（3）當矩形是正方形，且拋物線的頂點在該正方形內部時，求的值．（4）當拋物線在矩形內的部分所對應的函數值隨的增大而減小時，直接寫出的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或．【解析】【分析】（1）將A點坐標代入函數解析式即可求得b的值；（2）分別表示出P、Q、M的坐標，根據Q、M的橫坐標相同，它們重合時縱坐標也相同，列出方程求解即可；（3）分別表示出PQ和MQ的長度，根據矩形是正方形時，即可求得m的值，再根據頂點在正方形內部，排除不符合條件的m的值；（4）分，，，四種情況討論，結合圖形分析即可．【詳解】解：（1）將點代入得，解得b=1,；（2）由（1）可得函數的解析式為，∴,∵于點，∴,∵是直線上的一點，其縱坐標為，∴，若點與點重合，則，解得；（3）由（2）可得，，當矩形是正方形時，即，即或，解得，解得，又，∴拋物線的頂點為(1，2)，∵拋物線的頂點在該正方形內部，∴P點在拋物線對稱軸左側，即，且M點的縱坐標大于拋物線頂點的縱坐標，即，解得，故m的值為；（4）①如下圖當時，若拋物線在矩形內的部分所對應的函數值隨的增大而減小，則M點的縱坐標應該小于P點縱坐標，且P點應該在x軸上側，即且，解得，解得，∴，②如下圖當時，若拋物線在矩形內的部分所對應的函數值隨的增大而減小，則M點的縱坐標應該小于P點縱坐標，即，解得，∴；③當時，P點和M點都在直線x=3上不構成矩形，不符合題意；④如下圖當時，若拋物線在矩形內的部分所對應的函數值隨的增大而減小，則M點的縱坐標應該大于P點縱坐標，即，解得或，故，綜上所述或．【點睛】本題考查二次函數綜合，正方形的性質定理，求二次函數解析式．能分別表示出M、P、Q的坐標并結合圖形分析是解決此題的關鍵，注意分類討論．4.（2020·山東濰坊?中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點和點，與y軸交于點C，頂點為D，連接與拋物線的對稱軸l交于點E．（1）求拋物線的表達式；（2）點P是第一象限內拋物線上的動點，連接，當時，求點P的坐標；（3）點N是對稱軸l右側拋物線上的動點，在射線上是否存在點M，使得以點M，N，E為頂點的三角形與相似？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）在射線上存在點M，使得以點M，N，E為頂點的三角形與相似，點M的坐標為：，或．【解析】【分析】（1）直接將和點代入，解出a，b的值即可得出答案；（2）先求出點C的坐標及直線BC的解析式，再根據圖及題意得出三角形PBC的面積；過點P作PG軸，交軸于點G，交BC于點F，設，根據三角形PBC的面積列關于t的方程，解出t的值，即可得出點P的坐標；（3）由題意得出三角形BOC為等腰直角三角形，然后分MN=EM，MN=NE，NE=EM三種情況討論結合圖形得出邊之間的關系，即可得出答案．【詳解】（1）拋物線過點和點拋物線解析式為：（2）當時，直線BC解析式為：過點P作PG軸，交軸于點G，交BC于點F設即（3）為等腰直角三角形拋物線的對稱軸為點E的橫坐標為3又點E在直線BC上點E的縱坐標為5設①當MN=EM，,時解得或（舍去）此時點M的坐標為②當ME=EN，時解得：或（舍去）此時點M的坐標為③當MN=EN，時連接CM，易知當N為C關于對稱軸l的對稱點時，，此時四邊形CMNE為正方形解得：（舍去）此時點M的坐標為在射線上存在點M，使得以點M，N，E為頂點的三角形與相似，點M的坐標為：，或．【點睛】本題是一道綜合題，涉及到二次函數的綜合、相似三角形的判定及性質、等腰三角形的性質、勾股定理、正方形的性質等知識點，綜合性比較強，解答類似題的關鍵是添加合適的輔助線．5.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=?23x2+bx+c，經過A（0，﹣4），B（x（1）求b，c的值；（2）在拋物線上求一點D，使得四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形；（3）在拋物線上是否存在一點P，使得四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形？若存在，求出點P的坐標，并判斷這個菱形是否為正方形？若不存在，請說明理由．【答案】（1）b=?143，c=?4；（2）D（?7【解析】試題分析：（1）把A（0，﹣4）代入可求c，運用根與系數的關系及|x（2）因為菱形的對角線互相垂直平分，故菱形的另外一條對角線必在拋物線的對稱軸上，滿足條件的D點，就是拋物線的頂點；（3）由四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中點坐標，代入拋物線解析式即可，再根據所求點的坐標與線段OB的長度關系，判斷是否為正方形即可．試題解析：（1）∵拋物線y=?23x又∵由題意可知，x1、x2是方程?23x2+bx?4=0的兩個根，∴x1+x2=32b，當b=143時，拋物線與x軸的交點在x軸的正半軸上，不合題意，舍去．∴b=?（2）∵四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形，根據菱形的性質，點D必在拋物線的對稱軸上，又∵y=?23x2?143x?4=（3）∵四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形，點B的坐標為（﹣6，0），根據菱形的性質，點P必是直線x=﹣3與拋物線y=?23x2?143四邊形BPOH不能成為正方形，因為如果四邊形BPOH為正方形，點P的坐標只能是（﹣3，3），但這一點不在拋物線上．考點：1．二次函數綜合題；2．探究型；3．存在型；4．壓軸題．6.如圖，頂點為的拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．（1）求這條拋物線對應的函數表達式；（2）問在軸上是否存在一點，使得為直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．（3）若在第一象限的拋物線下方有一動點，滿足，過作軸于點，設的內心為，試求的最小值．【答案】（1）；（2）點坐標為或或或時，為直角三角形；（3）最小值為.【解析】（1）結合題意，用待定系數法即可求解；（2）分3種情況討論，用勾股定理即可求解；（3）根據正方形的判定和勾股定理，即可得到答案.【詳解】（1）∵拋物線過點，，∴，解得：，∴這條拋物線對應的函數表達式為.（2）在軸上存在點，使得為直角三角形．∵，∴頂點，∴，設點坐標為，∴，，①若，則.∴，解得：，∴.②若，則，∴，解得：，，∴或.③若，則，∴，解得：，∴.綜上所述，點坐標為或或或時，為直角三角形．（3）如圖，過點作軸于點，于點，于點，∵軸于點，∴，∴四邊形是矩形，∵點為的內心，∴，，，，∴矩形是正方形，設點坐標為，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴化簡得：，配方得：，∴點與定點的距離為.∴點在以點為圓心，半徑為的圓在第一象限的弧上運動，∴當點在線段上時，最小，∵，∴，∴最小值為.【點睛】本題考查用待定系數法求二元一次方程、勾股定理和正方形的判定，解題的關鍵是熟練掌握用待定系數法求二元一次方程、勾股定理和正方形的判定.7.（2019·浙江中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的邊長為4，邊OA,OC分別在x軸，y軸的正半軸上，把正方形OABC的內部及邊上，橫、縱坐標均為整數的點稱為好點．點P為拋物線的頂點．（1）當時，求該拋物線下方（包括邊界）的好點個數．（2）當時，求該拋物線上的好點坐標．（3）若點P在正方形OABC內部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個好點，求m的取值范圍．【答案】（1）好點有：，，，和，共5個；（2），和；（3）.【解析】【分析】（1）如圖1中，當m＝0時，二次函數的表達式y＝﹣x2+2，畫出函數圖象，利用圖象法解決問題即可；（2）如圖2中，當m＝3時，二次函數解析式為y＝﹣（x﹣3）2+5，如圖2，結合圖象即可解決問題；（3）如圖3中，拋物線的頂點P（m，m+2），推出拋物線的頂點P在直線y＝x+2上，由點P在正方形內部，則0＜m＜2，如圖3中，E（2，1），F（2，2），觀察圖象可知，當點P在正方形OABC內部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個好點時，拋物線與線段EF有交點（點F除外），求出拋物線經過點E或點F時Dm的值，即可判斷．【詳解】解：（1）當時，二次函數的表達式為畫出函數圖像（圖1）圖1當時，；當時，拋物線經過點和好點有：，，，和，共5個（2）當時，二次函數的表達式為畫出函數圖像（圖2）圖2當時，；當時，；當時，該拋物線上存在好點，坐標分別是，和（3）拋物線頂點P的坐標為點P支直線上由于點P在正方形內部，則如圖3，點，圖3當頂點P支正方形OABC內，且好點恰好存在8個時，拋物線與線段EF有交點（點F除外）當拋物線經過點時，解得：，（舍去）當拋物線經過點時，解得：，（舍去）當時，頂點P在正方形OABC內，恰好存在8個好點【點睛】本題屬于二次函數綜合題，考查了正方形的性質，二次函數的性質，好點的定義等知識，解題的關鍵是理解題意，學會正確畫出圖象，利用圖象法解決問題，學會利用特殊點解決問題．8.（2017·湖北中考真題）如圖，矩形OABC的兩邊在坐標軸上，點A的坐標為（10，0），拋物線y=ax2+bx+4過點B，C兩點，且與x軸的一個交點為D（﹣2，0），點P是線段CB上的動點，設CP=t（0＜t＜10）．（1）請直接寫出B、C兩點的坐標及拋物線的解析式；（2）過點P作PE⊥BC，交拋物線于點E，連接BE，當t為何值時，∠PBE=∠OCD？（3）點Q是x軸上的動點，過點P作PM∥BQ，交CQ于點M，作PN∥CQ，交BQ于點N，當四邊形PMQN為正方形時，請求出t的值．【答案】（1）B（10，4），C（0，4），；（2）3；（3）或.【解析】試題分析：（1）由拋物線的解析式可求得C點坐標，由矩形的性質可求得B點坐標，由B、D的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；（2）可設P（t，4），則可表示出E點坐標，從而可表示出PB、PE的長，由條件可證得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性質可得到關于t的方程，可求得t的值；（3）當四邊形PMQN為正方形時，則可證得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性質可求得CQ的長，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，則可用t分別表示出PM和PN，可得到關于t的方程，可求得t的值．試題解析：解：（1）在y＝ax2＋bx＋4中，令x＝0可得y＝4，∴C（0，4），∵四邊形OABC為矩形，且A（10，0），∴B（10，4），把B、D坐標代入拋物線解析式可得，解得，∴拋物線解析式為y＝x2＋x＋4；（2）由題意可設P（t，4），則E（t，t2＋t＋4），∴PB＝10﹣t，PE＝t2＋t＋4﹣4＝t2＋t，∵∠BPE＝∠COD＝90°，當∠PBE＝∠OCD時