高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省福州市部分學校2025屆高三上學期元月聯考數學試題一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個選項是符合題意的.）1.已知復數（其中為虛數單位），則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故.故選：C.2.已知集合，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由題意可得，解得．故選：B.3.已知向量，若，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因為，所以．因為，所以，解得．故選：A4.“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，解得或，所以由可以得到，反之則不然，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.已知圓臺的母線長為，高為，體積為，則圓臺的側面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【解析】如下圖所示，設圓臺上底面半徑為，下底面半徑為，則，設為圓臺的一條母線，連接、，則四邊形為直角梯形，過點在平面內作，垂足為點，根據題意，，，，，因為，，，則四邊形為矩形，所以，，，則，由勾股定理可得，即，可得，①又因為圓臺的體積為，可得，②所以，，解得，所以，圓臺的側面積為.故選：C.6.已知函數的圖像向左平移后所得的函數為奇函數，則的最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】因為為奇函數，則，所以，又，所以，解得，因為，所以時，取得最小值，最小值為8.故選：D7.為豐富學生的校園文化生活，哈爾濱市第九中學每年冬天都會在操場上澆筑滑冰場，現欲測量操場兩側C，D兩點之間的距離，甲同學選定了與C，D不共線的兩處觀測點，如圖所示，并知，設，以下是測量數據的不同方案：①測量；②測量；③測量；④測量．若甲同學選擇的方案能唯一確定C，D兩點之間的距離，則這樣方案的個數有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】因為，即唯一確定對于①：已知，由三角形全等可知是唯一確定的，則唯一確定，若已知，則唯一確定，且已知，由三角形全等可知是唯一確定的，即唯一確定，符合題意；對于②：由①可知：唯一確定，若已知，由三角形全等可知是唯一確定的，則唯一確定，由三角形全等可知是唯一確定的，即唯一確定，符合題意；對于③：由①可知：是唯一確定的，則唯一確定，因為和唯一確定，可知點在以線段為弦的圓上，又因為和唯一確定，可知點在以線段為弦的圓上，若圓與圓可能重合，此時不唯一確定，不合題意；對于④：由①③可知：是唯一確定的，點在以線段為弦的圓上，如圖所示：雖然確定，但直線與圓有2個交點，所以不唯一確定，不合題意；綜上所述：符合題意的方案的有2個.故選：B.8.已知定義域為的函數為偶函數，且在區間上單調遞減，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，所以.因為，所以，即，又，所以，又在區間上單調遞減，所以，即.故選:A.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題有多個選項是符合題意的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的不得分.）9.在中，角所對的邊分別為，若，且，則下列結論一定成立的是（）A.B.的面積為C.的周長為D.外接圓半徑為【答案】BC【解析】，，可得，可得外接圓半徑，故D錯誤；因為，所以，所以，所以，當時，即，所以，，可得；當時，即，由正弦定理得；故A不一定成立；當時，此時，，，所以，，所以的周長為：，的面積為：；當時，，，，解得，，所以的周長為：，的面積為：；故BC一定成立.故選：BC.10.已知角滿足，，則下列結論正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因為，所以，故A正確；因為，所以，故B正確；由，，兩式相除可得，故C錯誤；，故D正確.故選：ABD11.法國數學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創始人”“微分幾何之父”，他發現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，過圓上的動點作橢圓的兩條切線，交圓于兩點，直線交橢圓于兩點，則下列結論正確的是（）A.橢圓的離心率為B.若點在橢圓上，將直線斜率分別記為，則C.點到橢圓的左焦點的距離的最小值為D.面積的最大值為【答案】BCD【解析】對于A，依題意，過橢圓的上頂點作軸的垂線，過橢圓的右頂點作軸的垂線，則這兩條垂線的交點在圓上，所以，得，所以橢圓的離心率，故A錯誤；對于D，因為點都在圓上，且，所以為圓的直徑，則，所以面積的最大值為，故D正確；對于C，設，橢圓的左焦點為，連接，因為，即，所以，又，所以，所以則到的左焦點的距離的最小值為，故C正確；對于B，由直線經過坐標原點，易得點關于原點對稱，設，則，又，所以，所以，所以，故B正確；故選：BCD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知的展開式的二項式系數和為64，各項系數和為729，則其展開式的常數項為______．【答案】240或3840【解析】由于的展開式的二項式系數和為64，即，解得n＝6．又由于展開式系數和為729，令得，即，解得或-4，的展開式的通項為，令，解得，所以展開式的常數項為，故當時，，當時，．故答案為：240或384013.若動直線，圓，則直線與圓相交的最短弦長為__________．【答案】【解析】直線，則，令，解得，所以動直線恒過點，又圓的圓心為，半徑，所以，所以點在圓內，所以當直線時直線與圓相交的弦長最短，最短弦長為.故答案為：14.已知在斜二測畫法下的直觀圖(其中A與對應，B與對應)為下圖所示的，其中，，則的面積為______；以該為底面的三棱錐中，，，則三棱錐的外接球半徑為______.【答案】①.②.【解析】由斜二測畫法原理可知中，，邊上的高，所以；由勾股定理得，故為等邊三角形，由得是邊長為2的等邊三角形.設D，E分別為，的外心，的中點為F，連接，，過點D，E分別作平面、平面的垂線，設兩垂線交于點O，則點O為該三棱錐外接球的球心，連接，，則為外接球的半徑，依題意，且，，由余弦定理得，所以，由E為的外心，所以，，因為，，，所以，所以，所以，所以，即外接球的半徑.故答案為：，四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.）15.良好的用眼習慣能夠從多方面保護眼睛的健康，降低近視發生的可能性，對于保護青少年的視力具有不可替代的重要作用．某班班主任為了讓本班學生能夠掌握良好的用眼習慣，開展了“愛眼護眼”有獎知識競賽活動，班主任將競賽題目分為兩組，規定每名學生從兩組題目中各隨機抽取2道題作答．已知該班學生甲答對組題的概率均為，答對組題的概率均為．假設學生甲每道題是否答對相互獨立．（1）求學生甲恰好答對3道題的概率；（2）設學生甲共答對了道題，求的分布列及數學期望．解：（1）學生甲恰好答對3道題有以下兩種情況：第一種情況是學生甲答對組的2道題和組的1道題，其概率；第二種情況是學生甲答對組的l道題和組的2道題，其概率．故學生甲恰好答對3道題的概率．（2）由題意可知的所有可能取值為．，，，，由（1）可知，則的分布列為01234故．16.已知是雙曲線的一條漸近線，點在上.（1）求的方程；（2）已知直線的斜率存在且不經過原點，與交于兩點，的中點在直線上.若，的面積為，求的方程.解：（1）由題可得，所以的方程為.（2）設，由得，由題意得，設中點的坐標為，則所以.因為的中點在直線上，所以，即，因為，所以故的方程為，且，又點到的距離，所以，解得，所以的方程為.17.三棱臺中，，平面平面ABC，，與交于D．（1）證明：平面；（2）求異面直線與DE的距離．（1）證明：三棱臺中，，則，有，得，所以，又，所以在平面內，，有，平面平面，所以平面．（2）解：已知平面平面ABC，平面平面，，平面，所以平面，由平面，得，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，由平面ABC，得.以B為坐標原點的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖空間直角坐標系．則有，，因為，所以，設向量，且滿足：，則有，令，在的投影數量為，異面直線與DE的距離.18.已知函數.（1）當時，討論的單調性；（2）.（i）當時，求的最小值；（ii）若在上恒成立，求的取值范圍.解：（1），若，則，故當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增；若，則，而，若在上恒成立，故同理可得在上單調遞減，在上單調遞增；綜上，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）（i）,當時，，則，其中，因在0,+∞上增函數，且當時，，故當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增；故.（ii），設，則，設，則當時，，故在為增函數，故，若，則即在上恒成立，故即在上為增函數，故，故在上為增函數，故恒成立.若，，而，故在上有且只有一個零點，且當時，，故在為減函數，故時，，故在為減函數，故時，，這與題設矛盾，綜上，.19.已知數列的前項積為．定義：若存在，使得對任意的，恒成立，則稱數列為“數列”．（1）若，且為“2數列”，求．（2）若，且為“數列”，的前項的平方和為，數列是各項均為正數的等比數列，滿足，求的值和的通項公式．（3）若，，且為“數列”，的前項和為，證明：．（1）解：由，且為“2數列”，得，即，則，，，．（2）解：設數列的公比為，由，得，即，則．兩式相減得，即．因為是首項為2的“數列”，所以，即，所以，即對任意的恒成立．因為，，則，即，解得，．又由，即，得，所以．檢驗可知符合要求，故數列的通項公式為．（3）證明：因為為“數列”，所以，即對任意的恒成立，因為，，所以．再結合，，，反復利用，可得對任意的，．設函數，則．由，得．當時，f'x所以在1,+∞上單調遞減．所以當時，，即．又，所以．可得，，，，累加可得，即，即，所以．福建省福州市部分學校2025屆高三上學期元月聯考數學試題一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個選項是符合題意的.）1.已知復數（其中為虛數單位），則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故.故選：C.2.已知集合，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由題意可得，解得．故選：B.3.已知向量，若，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因為，所以．因為，所以，解得．故選：A4.“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，解得或，所以由可以得到，反之則不然，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.已知圓臺的母線長為，高為，體積為，則圓臺的側面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【解析】如下圖所示，設圓臺上底面半徑為，下底面半徑為，則，設為圓臺的一條母線，連接、，則四邊形為直角梯形，過點在平面內作，垂足為點，根據題意，，，，，因為，，，則四邊形為矩形，所以，，，則，由勾股定理可得，即，可得，①又因為圓臺的體積為，可得，②所以，，解得，所以，圓臺的側面積為.故選：C.6.已知函數的圖像向左平移后所得的函數為奇函數，則的最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】因為為奇函數，則，所以，又，所以，解得，因為，所以時，取得最小值，最小值為8.故選：D7.為豐富學生的校園文化生活，哈爾濱市第九中學每年冬天都會在操場上澆筑滑冰場，現欲測量操場兩側C，D兩點之間的距離，甲同學選定了與C，D不共線的兩處觀測點，如圖所示，并知，設，以下是測量數據的不同方案：①測量；②測量；③測量；④測量．若甲同學選擇的方案能唯一確定C，D兩點之間的距離，則這樣方案的個數有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】因為，即唯一確定對于①：已知，由三角形全等可知是唯一確定的，則唯一確定，若已知，則唯一確定，且已知，由三角形全等可知是唯一確定的，即唯一確定，符合題意；對于②：由①可知：唯一確定，若已知，由三角形全等可知是唯一確定的，則唯一確定，由三角形全等可知是唯一確定的，即唯一確定，符合題意；對于③：由①可知：是唯一確定的，則唯一確定，因為和唯一確定，可知點在以線段為弦的圓上，又因為和唯一確定，可知點在以線段為弦的圓上，若圓與圓可能重合，此時不唯一確定，不合題意；對于④：由①③可知：是唯一確定的，點在以線段為弦的圓上，如圖所示：雖然確定，但直線與圓有2個交點，所以不唯一確定，不合題意；綜上所述：符合題意的方案的有2個.故選：B.8.已知定義域為的函數為偶函數，且在區間上單調遞減，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，所以.因為，所以，即，又，所以，又在區間上單調遞減，所以，即.故選:A.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題有多個選項是符合題意的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的不得分.）9.在中，角所對的邊分別為，若，且，則下列結論一定成立的是（）A.B.的面積為C.的周長為D.外接圓半徑為【答案】BC【解析】，，可得，可得外接圓半徑，故D錯誤；因為，所以，所以，所以，當時，即，所以，，可得；當時，即，由正弦定理得；故A不一定成立；當時，此時，，，所以，，所以的周長為：，的面積為：；當時，，，，解得，，所以的周長為：，的面積為：；故BC一定成立.故選：BC.10.已知角滿足，，則下列結論正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因為，所以，故A正確；因為，所以，故B正確；由，，兩式相除可得，故C錯誤；，故D正確.故選：ABD11.法國數學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創始人”“微分幾何之父”，他發現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，過圓上的動點作橢圓的兩條切線，交圓于兩點，直線交橢圓于兩點，則下列結論正確的是（）A.橢圓的離心率為B.若點在橢圓上，將直線斜率分別記為，則C.點到橢圓的左焦點的距離的最小值為D.面積的最大值為【答案】BCD【解析】對于A，依題意，過橢圓的上頂點作軸的垂線，過橢圓的右頂點作軸的垂線，則這兩條垂線的交點在圓上，所以，得，所以橢圓的離心率，故A錯誤；對于D，因為點都在圓上，且，所以為圓的直徑，則，所以面積的最大值為，故D正確；對于C，設，橢圓的左焦點為，連接，因為，即，所以，又，所以，所以則到的左焦點的距離的最小值為，故C正確；對于B，由直線經過坐標原點，易得點關于原點對稱，設，則，又，所以，所以，所以，故B正確；故選：BCD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知的展開式的二項式系數和為64，各項系數和為729，則其展開式的常數項為______．【答案】240或3840【解析】由于的展開式的二項式系數和為64，即，解得n＝6．又由于展開式系數和為729，令得，即，解得或-4，的展開式的通項為，令，解得，所以展開式的常數項為，故當時，，當時，．故答案為：240或384013.若動直線，圓，則直線與圓相交的最短弦長為__________．【答案】【解析】直線，則，令，解得，所以動直線恒過點，又圓的圓心為，半徑，所以，所以點在圓內，所以當直線時直線與圓相交的弦長最短，最短弦長為.故答案為：14.已知在斜二測畫法下的直觀圖(其中A與對應，B與對應)為下圖所示的，其中，，則的面積為______；以該為底面的三棱錐中，，，則三棱錐的外接球半徑為______.【答案】①.②.【解析】由斜二測畫法原理可知中，，邊上的高，所以；由勾股定理得，故為等邊三角形，由得是邊長為2的等邊三角形.設D，E分別為，的外心，的中點為F，連接，，過點D，E分別作平面、平面的垂線，設兩垂線交于點O，則點O為該三棱錐外接球的球心，連接，，則為外接球的半徑，依題意，且，，由余弦定理得，所以，由E為的外心，所以，，因為，，，所以，所以，所以，所以，即外接球的半徑.故答案為：，四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.）15.良好的用眼習慣能夠從多方面保護眼睛的健康，降低近視發生的可能性，對于保護青少年的視力具有不可替代的重要作用．某班班主任為了讓本班學生能夠掌握良好的用眼習慣，開展了“愛眼護眼”有獎知識競賽活動，班主任將競賽題目分為兩組，規定每名學生從兩組題目中各隨機抽取2道題作答．已知該班學生甲答對組題的概率均為，答對組題的概率均為．假設學生甲每道題是否答對相互獨立．（1）求學生甲恰好答對3道題的概率；（2）設學生甲共答對了道題，求的分布列及數學期望．解：（1）學生甲恰好答對3道題有以下兩種情況：第一種情況是學生甲答對組的2道題和組的1道題，其概率；第二種情況是學生甲答對組的l道題和組的2道題，其概率．故學生甲恰好答對3道題的概率．（2）由題意可知的所有可能取值為．，，，，由（1）可知，則的分布列為01234故．16.已知是雙曲線的一條漸近線，點在上.（1）求的方程；（2）已知直線的斜率存在且不經過原點，與交于兩點，的中點在直線上.若，的面積為，求的方程.解：（1）由題可得，所以的方程為.（2）設，由得，由題意得，設中點的坐標為，則所以.因為的中點在直線上，所以，即，因為，所以故的方程為，且，又點到的距離，所以，解得，所以的方程為.17.三棱臺中，，平面平面ABC，，與交于D．（1）證明：平面；（2）求異面直線與DE的距離．（1）證明：三棱臺中，，則，有，得，所以，又，所以在平面內，，有，平面平面，所以平面