二次函數(shù)

選擇題

1.(2024?山東省濱州市?3分)拋物線丫=2/-2加x+1與坐標軸的交點個數(shù)是()

A.0B.1C.2I).3

【考點】拋物線與x軸的交點.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì).

【分析】對于拋物線解析式，分別令x=0與y=0求出對應y與x的值，即可確定出拋物線與

坐標軸的交點個數(shù).

【解答】解：拋物線y=2x?-2&x+1,

令x=0,得到y(tǒng)=l,即拋物線與y軸交點為(0,1):

令y=0,得到2x2-2V2x+l=0,即(V2x-1)J。，

擊V2

解得：x,=x2=2,即拋物線與X軸交點為(2,0),

則拋物線與坐標軸的交點個數(shù)是2,

故選C

【點評】此題考查了拋物線與坐標軸的交點，拋物線解析式中令一個未知數(shù)為0,求出另一

個未知數(shù)的值，確定出拋物線與坐標軸交點.

2.(2024?山東省濱州市-3分)在平面直角坐標系中，把一條拋物線先向上平移3個單

位長度，然后繞原點選擇18(T得到拋物線丫=/+5*+6,則原拋物線的解析式是()

_5H_5H_51

A.y=-(x-2)2-4B.y=-(x+2)2-4C.y=-(x-2)2-4

51

[).y=-(x+2)2+l

【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換.

【分析】先求出繞原點旋轉(zhuǎn)180。的拋物線解析式，求出向下平移3個單位長度的解析式即

可..

【解答】解：???拋物線的解析式為：y=x?+5x+6,

_51

???繞原點選擇180°變?yōu)椋瑈=-x2+5x-6,即y=-(x-2),

至工i11

???向下平移3個單位長度的解析式為y=-(x-2)2+1-3=-(x-2)2-4.

故選A.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知二次函數(shù)的圖象旋轉(zhuǎn)及平移的法則

是解答此題的關(guān)鍵.

3.(2024廣西南寧3分)二次函數(shù)y=ax4bx+c(aHO)和正比例函數(shù)y=x的圖象如圖

2

所示，則方程ax?+(b-5)x+c=O(a#0)的兩根之和()

A.大于0B.等于0C.小于0D.不能確定

【考點】拋物線與x軸的交點.

【分析】設(shè)ax?+bx+c=O(a^C)的兩根為x”x2,由二次函數(shù)的圖象可知xl+x2>0,a>0,

2

設(shè)方程ax'(b-5)x+c=O(a#0)的兩根為a,b再依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)ax2+bx+c=0(aWO)的兩根為x”x2,

???由二次函數(shù)的圖象可知x】+%>0,a>0,

b_

/.-a>0.

2

27_b_2_

設(shè)方程ax、'+(b-3)x+c=O(aWO)的兩根為a,b,貝i]a+b=-a=-a+3a,

Va>0,

2

?,.3a>0,

a+b>0.

故選C.

【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點，熟知拋物線與x4?日的交點與一元二次方程根的

關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

4.(2024貴州畢節(jié)3分)一次函數(shù)y=ax+b(a#0)與二次函數(shù)y=ax"+bx+c(aHO)在同一

平而直角坐標系中的圖象可能是()

【考點】二次函數(shù)的圖象：一次函數(shù)的圖象.

【分析】本題可先由一次函數(shù)y=ax+b圖象得到字母系數(shù)的正負，再與二次函數(shù)丫=@*2+6乂+。

的圖象相比較看是否一?樣.

【解答】解：A、由拋物線可知，a<0,由直線可知，故本選項錯誤：

b

B、由拋物線可知，a>0,x=-2a>0,得b<0,由直線不知，a>0,b>0,故木選項

錯誤：

b

C、由拋物線可知，a<0,x=-2a<0,得b<0,由直線可知，a<0,b<0,故本選項

正確；

b

I）、由拋物線可知，a<（）,x=-2a<0,得bVO,由直線可知，aVO,b>0故本選項錯

誤.

故選C.

5.（2024?福建龍巖?4分）已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則a-b+c|+|2a+b|=

【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

【分析】視察函數(shù)圖象找山“a>0,c=O,-2a<b<0?,由比即可得出|a-b?c|=a-b,

|2a+b|=2a+b,依據(jù)整式的加減法運算即可得出結(jié)論.

【解答】解：視察函數(shù)圖象，發(fā)覺：

圖象過原點，c=O；

拋物線開口向上，a>0；

拋物線的對稱軸0V-金VI,-2a<b<0.

/.Ia-b+c|=a-b,12a+b|=2a+b,

Ia-b+c|+2a+b|=a-b+2a+b=3a.

故選D.

6.（2024?廣西桂林?3分）已知直線丫=?J5x+3與坐標軸分別交于點A,B,點P在拋物

線y=-（x-73）>+4上，能使aABP為等腰三角形的點P的個數(shù)有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

【考點】一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；?次函數(shù)圖象上點的坐標特征；等腰三角形的判定.

【分析】以點B為圓心線段AB長為半徑做圓，交拋物線于點C、M、N點，連接AC、BC,由

直線y=-無x+3可求出點A、B的坐標，結(jié)合拋物線的解析式可得出AABC等邊三角形,

再令拋物線解析式中y=0求出拋物線與x軸的兩交點的坐標，發(fā)覺該兩點與M、N重合，結(jié)

合圖形分三種狀況探討aABP為等腰三角形，由此即可得出結(jié)論.

【解答】解：以點B為圓心線段AB長為半徑做圓，交拋物線于點C、M、N點，連接AC、BC,

如圖所示.

令一次函數(shù)y=?遭x+3中x=0,則y=3,

???點A的坐標為(0,3)；

令一次函數(shù)y=-V3x+3中y=0,則-V3x+3,

解得：x=V3,

???點B的坐標為(避，0).

；?AB=2衣.

?.?拋物線的對稱軸為x=V3,

???點C的坐標為(2^3,3),

.,.AC=2VS=AB=BC,

/.△ABC為等邊三角形.

令y=-3(x-V3)?+4中y=0,則-3(x-V3)2-4=0,

解得；x=-V3,或x=3%.

???點E的坐標為(-5,0),點F的坐標為(3右,0).

△ABP為等腰三角形分三種狀況：

①當AB=BP時，以B點為圓心，AB長度為半徑做圓，與拋物線交于C、MN三點；

②當AB=AP時，以A點為圓心，AB長度為半徑做圓，與拋物線交于C、M兩點，；

③當AP=BP時，作線段AB的垂直平分線，交拋物線交于C、V兩點：

???能使△ABP為等腰三角形的點P的個數(shù)有3個.

故選A.

2

7.(2024廣西南寧3分)二次函數(shù)y=ax，bx+c(a^O)和正比例函數(shù)y=3x的圖象如圖

2

所示，則方程ax?+(b-5)x+c=O(a#0)的兩根之和()

A.大于0B.等于0C.小于0D.不能確定

【考點】拋物線與x軸的交點.

【分析】設(shè)ax?+bx+c=O(a^C)的兩根為x”x2,由二次函數(shù)的圖象可知xl+x2>0,a>0,

2

設(shè)方程ax'(b-5)x+c=O(a#0)的兩根為a,b再依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)ax2+bx+c=0(aWO)的兩根為x”x2,

???由二次函數(shù)的圖象可知x】+%>0,a>0,

b_

/.-a>0.

2

27_b_2_

設(shè)方程ax、'+(b-3)x+c=O(aWO)的兩根為a,b,貝i]a+b=-a=-a+3a,

Va>0,

2

?,.3a>0,

a+b>0.

故選C.

【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點，熟知拋物線與x4?日的交點與一元二次方程根的

關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

8.(2024貴州畢節(jié)3分)一次函數(shù)y=ax+b(a^O)與二次函數(shù)y=ax、bx+c(aWO)在同一

平面直角坐標系中的圖象可能是()

【考點】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象.

【分析】本題可先由?次函數(shù)丫=2乂+6圖象得到字母系數(shù)的正負，再與二次函數(shù)y=ax'+bx+c

的圖象相比較看是否一樣.

【解答】解：A、由拋物線可知，a<0,由直線可知，故本選項錯誤：

b

B、由拋物線可知，a>0,x=-2a>0,得b<0,由直線可知，a>0,b>0,故本選項

錯誤；

b

C、由拋物線可知，a<0,x=-2a<0,得b<0,由直線可知，a<0,b<0,故本選項

正確；

b

D、由拋物線可知，a<0,x=-2a<0,得b<0,由直線可知，a<0,b>0故本選項錯

誤.

故選C.

2

9.(2024廣西南寧3分)二次函數(shù)y=ax、bx+c(a#0)和正比例函數(shù)y="3x的圖象如圖

2

所示，則方程ax'(b-3)x+c=O(aWO)的兩根之和()

A.大于0B.等于0C.小于0D.不能確定

【考點】拋物線與x軸的交點.

【分析】設(shè)ax2+bx+c=O(a#=C)的兩根為x”X2,由二次函數(shù)的圖象可知xl+x2>0,a>0,

2

設(shè)方程ax'(b-3)x+c=O(aWO)的兩根為a,b再依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)ax、bx+c=O(a#=0)的兩根為x”x2,

?.?由二次函數(shù)的圖象可知xI+x2>0,a>0,

b_

??.-a>0.

2

27_b_2_

設(shè)方程ax4(b-3)x+c=O(arO)的兩根為a,b,則a+b=-a=-a+3a,

Va>0,

2

/.3a>0,

a+b>0.

故選C.

【點評】本題考杏的是拋物線與x軸的交點，熟知拋物線與x知的交點與一元二次方程根的

關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

10.(2024貴州畢節(jié)3分)一次函數(shù)y=ax+b(a#0)與二次函數(shù)y=ax，+bx+c(aWO)在同一

平面直角坐標系中的圖象可能是()

【考點】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象.

【分析】本題可先由一次函數(shù)y=ax+b圖象得到字母系數(shù)的正負，再與二次函數(shù)y=ax?+bx+c

的圖象相比較看是否一樣.

【解答】解：A、由拋物線可知，a<0,由直線可知，故本選項錯誤:

b

B、由拋物線可知，a>0,x=-2a>0,得b<0,由直線兀知，a>0,b>0,故本選項

錯誤；

b

C、由拋物線可知，a<0,x=-2a<0,得b<0,由直線兀知，a<0,b<0,故本選項

正確；

b

D、由拋物線可知，a<0,x=-2a<0,得b<0,由直線可知，a<0,b>0故本選項錯

誤.

故選C.

11.(2024?浙江省紹興市?4分)拋物線y=x、bx+c(其中b：c是常數(shù))過點A(2,6),

且拋物線的對稱釉與線段y=0(1WXW3)有交點，則c的值不行能是()

A.4B.6C.8D.10

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).

【分析】依據(jù)拋物線y=(+bx北(其中b,c是常數(shù))過點A(2,6),且拋物線的對稱軸與

線段y=0(l《xW3)有交點，可以得到c的取值范圍，從而可以解答本題.

【解答】解：???拋物線y=x2+bx+c(其中b,c是常數(shù))過點A(2,6),且拋物線的對稱軸

與線段y=0(1WXW3)有交點,

r4+2b+c=6

14-貴(3

..ZA1

解得6WcW14,

故選A.

12.(2024?湖北隨州-3分)二.次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO)的部分圖象如圖所示，圖象過

點(?1,0),對稱軸為直線x=2,下列結(jié)論：(1)4a+b=0；(2)9a+c>3b；(3)8a+7b+2c

1_7_

>0；(4)若點A(-3,y。、點B(-E,y?)、點C(1,y3)在該函數(shù)圖象上，則y.

<ya<y2；(5)若方程a(x+1)(x-5)=?3的兩根為xi和X2,且x】Vx2,則xV-1V5V

【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

【分析】(1)正確.依據(jù)對稱軸公式計算即可.

(2)錯誤，利用x=-3時，yVO,即可推斷.

(3)正確.由圖象可知拋物線經(jīng)過(?1,0)和(5,0),列出方程組求出a、b即可推斷.

(4)錯誤.利用函數(shù)圖象即可推斷.

(5,)正確.利用二次函數(shù)與二次不等式關(guān)系即可解決問題.

b

【解答】解：(1)正確.丁-豆=2,

.*.4a+b=0.故正確.

(2)錯誤.二、』-3時，y<0,

.\9a-3b+c<0,

.*.9a+c<3b,故(2)錯誤.

(3)正確.由圖象可知拋物線經(jīng)過(?1,0)和(5,0),

卜-b+c=Ob=-4a

A125a+5b+c=0解得］c=-5a,

A8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a,

Va<0,

.\8a+7b=2c>0,故(3)正確.

1_7_

(4)錯誤，?.?點A(-3,y。、點B(-2,y2)、點C(2,y3),

7__315.

2-2=2,2-(-2)=2,

35

2<2

，點c離對稱軸的距離近，

ys>y2?

Va<0,-3<-2<2,

?*?yi<y2

.*.yi<y2<ya?故(4)錯誤.

(5)正確.Va<0,

(x+1)(x-5)=-3/a>0,

即(x+1)(x-5)>0,

故xV-1或x>5,故(5)正確.

.??正確的有三個，

故選B.

13.(2024?四川南充)拋物線y=x'2x+3的對稱軸是()

A.直線x=lB.直線x=-1C.直線x=-2D.直線x=2

【分析】先把一般式化為頂點式，然后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定拋物線的對稱軸方程.

【解答】解：：y=x2+2x+3=(x+1)2+2,

??.拋物線的對稱軸為直線x=-l.

故選B.

【點評】本題考兗了二次函數(shù)的性質(zhì)：對于二次函數(shù)y=ax?山xic(aKO),它的頂點坐標是

b4ac-b2b

(-2^,4a)，對稱軸為直線乂=-五.

14.(2024?四川瀘州)已知二次函數(shù)y=ax'-bx-2(a#=0)的圖象的頂點在

第四象限，且過點(-1,0),當a-b為整數(shù)時，ab的值為()

_311XX1

A.4或1B.4或1C.4或2D.4或4

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).

【分析】首先依據(jù)題意確定a、b的符號，然后進一步確定a的取值范圍，依

據(jù)a-b為整數(shù)確定a、b的值，從而確定答案.

b

【解答】解：依題意知a>0,2a>0,a+b-2=0,

故b>0,且b=2-a,a-b=a-(2-a)=2a-2,

于是0Va<2,

-2<2a-2<2,

又a-b為整數(shù)，

2a-2--1*0.1,

_i2

故a=2,1,2,

31

b=2,1,2,

3

:.ab=4或1,

故選A.

15.（2024?四川攀枝花）如圖，二次函數(shù)y=ax?+bx+c（a>0）圖象的頂點為D,其圖象與

x軸的交點A、B的橫坐標分另J為-1和3,則下列結(jié)論正確的是（）

B.a+b+c>0

C.3a-c=0

D.當a=E時，AABD是等腰直角三角形

【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

【分析】由于拋物線與x軸的交點A、B的橫坐標分別為-1,3,得到對稱軸為直線x=l,

b

則-21=1,即2a+b=0,得出，選項A錯誤:

當x=l時，y<0,得出aibicVO,得山選項B錯誤；

當x=-1時，y=0,即a-b+c=O,而b=-2a,可得到a與c的關(guān)系，得出選項C錯誤；

13_

由a=2，則b=-1,c=-2,對稱軸x=l與x軸的交點為E,先求出頂點D的坐標，由

三角形邊的關(guān)系得出4ADE和ABDE都為等腰直角三角形，得出選項D正確；即可得出結(jié)論.

【解答】解：???拋物線與x軸的交點A、B的橫坐標分別為-I,3,

b

???拋物線的對稱軸為直線x=l,貝ij-五=1,

/.2a+b=0,

?二選項A錯誤：

???當自變量取1時，對應的函數(shù)圖象在x軸下方，

.\x=l時，y<0,則a+b+c<C,

??.選項B錯誤；

1A點坐標為（7,0）,

Aa-b+c=O,而b=-2a,

a+2a+c=0?

3a+c=0,

???選項C錯誤：

當a=2,則b=-Lc=-2,對稱軸x=l與x軸的交點為E,如圖，

ia

??.拋物線的解析式為y=2x2-x-2,

_13

把x=l代入得y=2-1-2=-2,

???1）點坐標為（1,-2）,

/.AE=2,BE=2,DE=2,

AAADE和ABDE都為等腰直角三角形,

???△ADB為等腰直角三角形，

???選項D正確.

【點評】本題考查了二次函數(shù)y=ax/+bx+c的圖象與系數(shù)的關(guān)系；當a>0,拋物線開口向上:

b

拋物線的對稱軸為直線x=-2a；拋物線與y軸的交點坐標為（0,c）.

16.（2024?黑龍江齊齊哈爾?3分）如圖，拋物線y=ax斗bx+c（a#0）的對稱軸為直線x=l,

與x軸的一個交點坐標為（-1,0）,其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：

①4acVb’；

②方程ax-+bx+c=O的兩個根是x.=-1,X2=3；

③3a+c>0

④當y>0時，x的取值范圍是-1WXV3

⑤當xVO時，y隨x增大而增大

其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

【分析】利用拋物線與x軸的交點個數(shù)可對①進行推斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與

x軸的一個交點坐標為（3,0）,則可對②進行推斷：由對稱軸方程得到b=-2a,然后依據(jù)

x=?1時函數(shù)值為負數(shù)可得到3a+cV0,則可對③進行推斷；依據(jù)拋物線在x軸上方所對應

的白變量的范圍可對④進行推斷：依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對⑤進行推斷.

【解答】解：???拋物線與x軸有2個交點，

.\b2-4ac>0,所以①正確；

???拋物線的對稱軸為直線x=L

而點（-L0）關(guān)于直線x=l的對稱點的坐標為（3,0）,

工方程ax"+bx+c=O的兩個根是xi=-1,X2=3,所以②正確;

b

Vx=-2a=1,即b=-2a,

而x=-l時，y<0?即a-b+cVO,

.*.a+2a+c<0,所以③錯誤：

???拋物線與x軸的兩點坐標為(-1,0),(3,0),

?,.當-1VXV3時，y>0,所以④錯誤；

???拋物線的對稱軸為直線x=L

???當xVl時，y|?x增大而增大，所以⑤正確.

故選B.

17.(2024?湖北黃石?3分)以x為自變量的二次函數(shù)y=x2-2(b-2)x+b2-1的圖象不

經(jīng)過第三象限，則實數(shù)b的取值范圍是()

A.b2芻.b21或bW-lC.b22D.lWbW2

4

【分析】由于二次函數(shù)y=x2-2(b-2)x+b2-1的圖象不經(jīng)過第三象限，所以拋物線在x

軸的上方或在x軸的下方經(jīng)過一、二、四象限，依據(jù)二次項系數(shù)知道拋物線開口方向向上，

由此可以確定拋物線與x軸有無交點，拋物線與y軸的交點的位置，由此即可得出關(guān)于b

的不等式組，解不等式組即可求解.

【解答】解：???二次函數(shù)y=x'-2(b-2)x+b"-1的圖象不經(jīng)過第三象限，

.??拋物線在x軸的上方或在x軸的下方經(jīng)過一、二、四象限，

當拋物線在x軸的上方時，

???二次項系數(shù)a=L

???拋物線開口方向向上，

Ab2-120,△=[2(b-2)『-4(b2-1)這0,

解得心且

4

當拋物線在X軸的下方經(jīng)過一、二、四象限時，

設(shè)拋物線與X軸的交點的橫坐標分別為x“X2,

2

.\XI+X2=2(b-2)>0,b-1^0,

.*.△=[2(b-2)]2-4(b2-1)>0,①

b-2>0,②

b2-l>0,③

由①得bV互，由②得b>2,

4

???此種狀況不存在，

4

故選A.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象利性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是會依據(jù)圖象的位置得到關(guān)于

b的不等式組解決問題.

18.(2024?湖北荊門-3分)若二次函數(shù)y=x2+mx的對稱軸是產(chǎn)3,則關(guān)于x的方程/+mx=7

的解為()

A.Xi=0?XL=6B.XI=LXz=7C.x)=Lxz=-7D.x)=-1,Xz=7

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)：解一元二次方程-因式分解法.

【分析】先依據(jù)二次函數(shù)y=x、mx的對稱軸是x=3求出m的值，再把m的值代入方程x%nx=7,

求出x的值即可.

【解答】解：???二次函數(shù)y=x：+mx的對稱軸是x=3,

in

:.~2=3?解得m=-6,

???關(guān)于x的方程x?+mx=7可化為x?-6x-7=0,即(x+1)(x-7)=0,解/得xi=?l,x2=7.

故選D.

3

19.(2024?青海西寧?3分)如圖，在aABC中，NB=90。,tanZC=4,AB=6cm.動點

P從點A起先沿邊AB向點B以lcm/s的速度移動，動點Q從點B起先沿邊BC向點C以2cm/s

的速度移動.若P,Q兩點分別從A,B兩點同時動身，在運動過程中，APBa的最大面積是

()

3cm"

【考點】解直角三角形：二次函數(shù)的最值.

【分析】先依據(jù)已知求邊長BC,再依據(jù)點P和Q的速度表示BP和BQ的長，設(shè)的而枳

為S,利用直角二角形的面積公式列關(guān)于S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求最值即可.

3

【解答】解:VtanZC=4,AB=6cm,

AB^_6_3

.-.BC=BC

??.BC=8,

由題意得：AP=t,BP=6-t,EQ=2t,

設(shè)aPBQ的面積為S,

則S=2XBPXBQ=2X2tX(6-t),

S=-tz+6t=-(tz-6t+9-9)=-(t-3)*9,

P：0WtW6,Q：0WtW4,

???當t=3時，S有最大值為9,

即當t=3時，△PBQ的最大面積為9cin；

故選C.

20.(2024?陜西?3分)已知拋物線y=-x2-2x+3與x軸交于A、B兩點，將這條拋物線

的頂點記為C,連接AC、BC,則tanNCAB的值為()

1S誣

A.2B.5C.5D.2

【考點】拋物線與x軸的交點:銳角三角函數(shù)的定義.

CD

【分析】先求出A、B、C坐標,作CD1AB于D,依據(jù)tan/ACD二AD即可計算.

【解答】解：令y=0，WJ-x2-2x+3=0,解得x=-3或1,不妨設(shè)A(-3,0),B(1,0),

Vy=-x2-2x+3="(x+1)M,

???頂點C(-1,4),

如圖所示，作CD_LAB于D.

CD4_

在RTZ\ACD中，tanZCAD=AD=2=2,

故答案為I).

21.(2024?四川眉山-3分)若拋物線y=x2-2x+3不動，將平.面直角坐標系xOy先沿水

平方向向右平移一個單位，再沿鉛直方向向上平移三個單位，則原拋物線圖象的解析式應變

為()

A.y=(x-2)2+3B.y=(x-2)2+5C.y=x2-1D.y=x2+4

【分析】思想判定出拋物線的平移規(guī)律，依據(jù)左加右減，上加下減的規(guī)律即可解決問題.

【解答】解：將平面直角坐標系xOy先沿水平方向向右平移一個單位，再沿鉛直方向向上平

移三個單位，這個相當于把拋物線向左平移有關(guān)單位，再向下平移3個單位，

Vy=(x-1)212,

，原拋物線圖象的解析式應變?yōu)閥=(x-1+1)2+2-3=x2-1,

故答案為C.

【點評】本題考查二次函數(shù)圖象的平移，解題的關(guān)鍵是理解坐標系的平移和拋物線的平移是

反方向的，記住左加右減，上加下減的規(guī)律，屬于中考常考題型.

填空題

1.(2024?山東省前澤市?3分)如圖，一段拋物線：y=-x(x-2)(0WxW2)記為G,

它與x軸交于兩點0,Ai；將C繞Ai旋轉(zhuǎn)180°得到G,交x軸于心將C2繞A?旋轉(zhuǎn)180°

得到C3,交x軸于k；…如此進行下去，直至得到C6,若點P(ll,m)在第6段拋物線金

【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換；拋物線與x軸的交點.

【專題】規(guī)律型.

【分析】將這段拋物線G通過配方法求出頂點坐標及拋物線與x軸的交點，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

可以知道G與C?的頂點到x軸的距離相等，且OALA也，照此類推可以推導知道點P(11,

m)為拋物線a的頂點，從而得到結(jié)果.

【解答】解：Vy=-x(x-2)(0WxW2),

???配方可得y=?(x-1)2+1(0<x<2),

???頂點坐標為（1,1）,

；?A】坐標為（2,0）

??七2由G旋轉(zhuǎn)得到，

JOA產(chǎn)A也,即C?頂點坐標為（3,-1）,Az（4,0）:

照此類推可得，a頂點坐標為（5,1）,As（6,0）；

C頂點坐標為（7,-1）,A.（8,0）；

G頂點坐標為（9,1）,AsCO,0）:

a頂點坐標為（11,-1）,As（12,0）；

m=-1.

故答案為：-1.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出拋物線的頂點坐標.

2.（2024?黑龍江哈爾濱?3分）二次函數(shù)y=2（x-3）2-4的最小值為-4.

【考點】二次函數(shù)的最值.

【分析】題中所給的解析式為頂點式，可干脆得到頂點坐標，從而得出解答.

【解答】解：二次函數(shù)y=2（:4-3）2-4的開口向上，頂點坐標為（3,-4）,

所以最小值為-4.

故答案為：*4.

3.（2024河南）已知A（0,3）,B（2,3）是拋物線y=-x2+bx+c上兩點，該拋物線的頂

點坐標是（1,4）.

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.

【分析】把A、B的坐標代入函數(shù)解析式，即可得出方程組，求出方程組的解，即可得出解

析式，化成頂點式即可.

【解答】解：???A（0,3）,E（2,3）是拋物線y'-x'bx+c上兩點，

[c=3

???代入得：1-4+2b+c=3,

解得：b=2,c=3,

y=-x'+2x+3

=-（x-1）2+4,

頂點坐標為（1,4）,

故答案為：（I,4）.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征的應用，能求出函數(shù)的

解析式是解此題的關(guān)鍵.

1

4.（2024?四川南充）已知拋物線y=ax?+bx+c開口向上且經(jīng)過點（1,1）,雙曲線y=N

經(jīng)過點（a,be）,給出下列結(jié)論：①bc>0：②b+c>0：③b,c是關(guān)于x的一元二次方程x+

1

（a-1）x+-2a=0的兩個實數(shù)根；④a-b-c23.其中正確結(jié)論是①③（填寫序號）

1

【分析】依據(jù)拋物線y=ax'+bx+c開口向上且經(jīng)過點（1,1）,雙曲線y=2x經(jīng)過點（a,

be）,可以得到a>0,a、b、。的關(guān)系，然后對a、b、c進行探討，從而可以推斷①②③@

是否正確，本題得以解決.

1

【解答】解：???拋物線丫=2乂24*+。開口向上且經(jīng)過點(1,1),雙曲線yZ經(jīng)過點(a,

be),

a>0

a+b+c=1

/.bc>0,故①正確；

，a>l時，則b、c均小于0,此時b+eVO,

當a=l時，b+c=O,則與題意沖突，

當OVaVl時，則b、c均大于0,此時b+c>0,

故②錯誤：

/.x2+(a-1)x+2e=0可以轉(zhuǎn)化為：x2+(b+c)x+bc=O,得:《=1)或乂=，，故③正確;

Vb,c是關(guān)于x的一元二次方程xz+(a-1)x+2e=0的兩個實數(shù)根，

a-b-c=a-(b+c)=a+(a-1)=2a-1,

當a>1時，2a-1>3,

當OVaVl時，-lV2a-lV3,

故④錯誤：

故答案為：??.

【點評】本題考查二次函數(shù)與圖象的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題須要的條

件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題.

5.(2024?四川瀘州)若二次函數(shù)y=2x2-4x-1的圖象與x軸交于A(x,,0)、

B(x2,0)兩點，則+乂2的值為-2.

【考點】拋物線與x軸的交點.

【分析】設(shè)y=0，則對應一元二次方程的解分別是點A和點B的橫坐標，利

用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出X1+x2的值.

【解答】解：

設(shè)y=0,則2x2-4x-1=0,

??.一元二次方程的解分別是點A和點B的橫坐標，即xi,xz,

-41

=

xi+xz-2=2,xx2=-2

3

2

2

2X(-1)3

???原式=2,=-2,

3_

故答案為：-~2.

6.（2024?四川內(nèi)江）二次函數(shù)y=a*+bx+c的圖象如圖11所示，且Q|2a+力|+13》

—2c\,Q=2a—b—\3b+2c\,則R。的大小關(guān)系是.

［答案］

［考點］二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)。

［解析「??拋物線的開口向下，，=。.???一冬=1,??">0且々=心.

??.|2a+引=0,\2a-b\=b-2a.

:拋物線與y軸的正半軸相交，，|38+2c|=38+2c.

由圖象可知當*=-1時，yVO,即a—8+cVO.

:.一號――,即3〃-2c>（）.A\3,b-2c\=3b-2c.

??.-0+3。-2c=3。-20>0,

Q=b-2a-（3Z,+2c）=-（b+2c）<0.

:.P>Q.

故答案為：P>Q.

7.（2024?湖北荊州?3分）若函數(shù)y=（a-1）x2-4x+2a的圖象與x軸有且只有一個交點,

則a的值為7或2或1.

【分析】干脆利用拋物線與x軸相交，1/-4ac=0,進而解方程得出答案.

【解答】解：???函數(shù)y=（a-l）x?-4x+2a的圖象與x軸有且只有一個交點，

當函數(shù)為二次函數(shù)時，b2-4ac=16-4（a-1）X2a=0,

解得:ai=-1?a2=2,

當函數(shù)為一次函數(shù)時，a-1=C,解得：a=l.

故答案為：?1或2或1.

【點評】此題主要考查了拋物線與x軸的交點，正確得出關(guān)于a的方程是解題關(guān)鍵.

解答題

1.（2024?湖北隨州-9分）九年級（3）班數(shù)學愛好小組經(jīng)過市場調(diào)查整理出某種商品在

第x天（1WXW90,且x為整數(shù)）的售價與銷售量的相關(guān)信息如下.已知商品的進價為30

元/件，設(shè)該商品的售價為y1單位：元/件），每天的銷售量為P（單位：件），每天的銷售

利潤為w（單位：元）.

時間x（天）1306090

每天銷售量P（件）1981408020

（1）求出w與x的函數(shù)關(guān)系式：

（2）問銷售該商品第幾天時,當天的銷售利潤最大？并求出最大利潤:

（3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元？請干脆寫出結(jié)果.

y(元件)

-o5090萩)

【考點】二次函數(shù)的應用；一?元一次不等式的應用.

【分析】(1)當0WXW50時，設(shè)商品的售價y與時間X的函數(shù)關(guān)系式為丫=1^+.1),由點的坐

標利用待定系數(shù)法即可求出此時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，依據(jù)圖形可得出當50VxW90時，

y=90.再結(jié)合給定表格，設(shè)每天的銷售量p與時間x的函數(shù)關(guān)系式為p=mx+n,套入數(shù)據(jù)利

用待定系數(shù)法即可求出p關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，依據(jù)銷售利潤=單件利潤X銷售數(shù)量即可得

出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式：

(2)依據(jù)w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，分段考慮其最值問題.當0WxW50時，結(jié)合二次函數(shù)的

性質(zhì)即可求出在此范圍內(nèi)w的最大值：當50VxW90時，依據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出在此

范惘內(nèi)w的最大值，兩個最大值作比較即可得出結(jié)論：

(3)令W25600,可得出關(guān)于4的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x

的取值范圍，由此即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)當OWxW50時，設(shè)商品的售價y與時間x的函數(shù)關(guān)系式為丫=1^+1)(k、b

為常數(shù)且k關(guān)0)，

丁尸kx+b經(jīng)過點(0,40)、(50,90),

fb=40(k=l

.\l50k+b=90,解得：lb=40,

，售價y與時間x的函數(shù)關(guān)系式為y=x+40：

當50VxW90時,y=90.

???售價y與時間x的函數(shù)關(guān)系式為

'x+40(0<x<50,且x為整數(shù)；

y.(90(50<x<90,且x為整數(shù))

由書記可知每天的銷售量P與時間x成一次函數(shù)關(guān)系，

設(shè)每天的銷售量P與時間x的函數(shù)關(guān)系式為p=nix+n(m、n為常數(shù)，且mWO)，

???p=mx+n過點(60,80)、(30,140),

(60ird-n=80(nF-2

/.(30irH-n=140,解得:n=200

.,.p=-2x+200(0Wx<90,且x為整數(shù))，

當0這xW50時，w=(y-30)?p=(x+40-30)(-2x+200)=-2x2+180x+2000：

當50VxW90時,w=(90-30(-2x+200)=-120x+12000.

綜上所示，每天的銷售利潤w與時間x的函數(shù)關(guān)系式是

-2x2+l80x+2000(0<x<50,且x為整數(shù):

w:-120x+12000(50<x<90,且x為整數(shù))

（2）當0WxW50時，W=-2X2+180X+2000=-2（X-45）2+6050,

?.?a=?2V0且0WxW50,

???當x=45時，w取最大值,最大值為6050元.

當50Vx&90時,w=-120x+12000,

Vk=-120<0,w隨x增大而減小,

??.當x=50時，w取最大值，最大值為6000元.

V6050>6000,

:.當x=45時，w最大，最大值為6050元.

即銷售第45天時，當天獲得的銷售利潤最大，最大利潤是6050元.

（3）當0WxW50時，令w=-2X2+180X+2000N5600,即-2x、180x-360020,

解得：30WxW50,

50-30+1=21（天）：

當50VxW90時，令w=-120x+12000^5600,即-120x+6400^0,

_1

解得：50VXW533,

?.?x為整數(shù)，

.*.50Vx這53,

53-50=3（天）.

綜上可知：21+3=24（天），

故該商品在銷售過程中，共有24天每天的銷售利潤不低于5600元.

2.（2024?湖北隨州?12分）已知拋物線y=a（x+3）（x-1）（a#0）,與x軸從左至右依

次相交于A、B兩點，與y軸相交于點C,經(jīng)過點A的直線y=-V3x+b與拋物線的另一

個交點為D.

（1）若點D的橫坐標為2,求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點P,使得以A、B、P為頂點的三角形與AABC相像，求

點P的坐標；

（3）在（1）的條件下，設(shè)點E是線段AD上的一點（不含端點），連接BE.一動點Q從點B

2^3

動身，沿線段BE以每秒1個單位的速度運動到點E,再沿線段ED以每秒3個單位

的速度運動到點D后停I匕問當點E的坐標是多少時，點Q在整個運動過程中所用時間最少？

備用圖備用圖

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【分析】(1)依據(jù)二次函數(shù)的交點式確定點A、B的坐標，求出直線的解析式，求出點D的

坐標，求出拋物線的解析式；

(2)作PH_Lx軸于H,設(shè)點P的坐標為(m,n),分△BPAs/y,BC和△PBAsaABC,依據(jù)相

像三角形的性質(zhì)計算即可；.

(3)作DM〃x軸交拋物線于M,作DN_Lx軸于N,作EF1DM于F,依據(jù)正切的定義求出Q

的運動時間LBE+EF時，I最小即可.

【解答】解：(I)Vy=a(x+3)(x-1),

???點A的坐標為(-3,0)、點B兩的坐標為(1,0),

,/直線y=-V3x+b經(jīng)過點A,

Ab=-3VS,

,\y=-VSX-3V3,

當x=2時，y=-5VS,

則點D的坐標為(2,?5加)，

???點D在拋物線上，

Aa(2+3)(2-1)=-5VS,

解得，a=-V3,

則拋物線的解析式為y=-&(x+3)(x-1)=-V3x2-x+3加；

(2)作PH_Lx軸于H,

設(shè)點P的坐標為(m,n),

當△BPAS/\ABC時，ZBAC=ZPBA,

PCPH

.,.tanZB/\C=tanZPBA,HP0A=HB,

-3a-n

_

3=m+1,即n=-a(m-1),

n二一a(ID-1)

n=(m+3)(m-1)

解得，m.=-4,m2=l(不合題意，舍去)，

當m=-4時，n=5a,

VABPA^AABC,

ACAB

..?.AB=PB,即AB?二AC?PB,

;.42=V9a2+9R25a2+25,

V15V15

解得，a.="ir(不合題意,舍去)，a尸-F-

V15

則n=5a=-3,

V15

???點P的坐標為(-4,--)：