1第5章軸對稱與旋轉5.1.1軸對稱圖形【教學目標】1.通過觀察、分析現實生活實例和典型圖形的過程，認識軸對稱圖形，會找出簡單的對稱圖形的對稱軸.2.通過大量的實例初步認識軸對稱圖形，能識別簡單的軸對稱圖形.3.通過欣賞現實生活中的軸對稱圖形，體驗軸對稱在現實生活中的廣泛應用，體會數學來源于生活.【教學重點】正確理解軸對稱圖形的概念.【教學難點】正確理解軸對稱圖形的概念.【教學過程】從各小組收集的圖片中選擇一些有代表性的，用投影儀演示.使學生能夠形象直觀地感受圖形的對稱.看完圖片以后教師總結：自遠古以來，對稱形式被認為是和諧、美麗并且是真實的.不論在自然界里還是在建筑中，不論在藝術中還是在科學中，甚至最普通的日常生活用品中，對稱的形式都隨處可見.請學生自己討論，在生活中你見過那些對稱圖形?[教學說明]通過觀察圖片，使學生能夠形象直觀地感受圖形的對稱，使學生明白對稱在美學和自然界中的作用.二、思考探究，獲取新知1.觀察教材第113頁圖5-1,你能發(fā)現這些圖形有什么共同特征么?用自己的語言描述.[歸納結論]如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這樣的圖形叫做軸對稱圖形.這條直線叫做這個圖形的對稱軸.理解軸對稱圖形應注意三點：(1)軸對稱圖形是一個圖形；(2)對折；(3)重合.2.哪些圖形是軸對稱圖形?(1)用對折的方法判斷一個圖形是否是軸對稱圖形；(2)被折疊的那條直線就是它的對稱軸.3.動腦筋：下列圖像各有幾條對稱軸?2[教學說明]通過感官加深對軸對稱圖形和對稱軸的理解.三、運用新知，深化理解1.如圖所示的幾個圖案中，是軸對稱圖形的是(A)A.2.如圖所示，下面的5個英文字母中是軸對稱圖形的有(B)3.如圖所示的圖案中，是軸對稱圖形的有(B)4.如圖所示，從軸對稱的角度來看，你覺得下面哪一個圖形比較獨特?簡單說明你的理由.解：(3)比較獨特，它有無數條對稱軸，其他圖形只有兩條對稱軸.5.觀察如圖所示的圖案，它們都是軸對稱圖形，它們各有幾條對稱軸?在圖中畫出所有的對稱軸.解：(1)2條(2)4條(3)5條(4)3條；畫圖略.6.你認識世界上各國的國旗嗎?如圖所示，觀察下面的一些國家的國旗，是軸對稱圖形的有7.如圖所示的四個圖形中，從幾何圖形的性質考慮哪一個與其他三個不同?請指出這個圖形，并簡述你的理由.3解：②;不是軸對稱圖形.[教學說明]進行適當的由淺入深，由感性到理性的一些練習，老師進行一些必要的講解，打好學生的知識技能和運算能力的基礎.先小組內交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結.教師作以補充.[課后作業(yè)]1.布置作業(yè)：教材第117頁“習題5.1”中第1、2題.2.完成同步練習冊中本課時的練習【教學后記】5.1.2軸對稱變換【教學目標】1.學生通過觀賞多媒體課件，掌握軸對稱變換的有關概念.2.通過本課學習，學生能用變換的思想來理解生活中的相關現象，并能用變換的思想來加以3.通過學生操作軸對稱變換，師生共同總結其性質并應用.4.培養(yǎng)學生的作圖能力及知識的應用能力.【教學重點】軸反射和兩個圖形成軸對稱的理解.【教學難點】軸反射和兩個圖形成軸對稱的理解.【教學過程】一、情景導入，初步認知觀察：在一張紙上蓋上一個印，趁油墨未干之時，將紙張對折得到一個圖形，隨后打開紙張展平，觀察兩圖形會有怎樣的現象?我們上面探討的是一個圖形具有的特點.這里是兩個圖形關于直線1對折后重合，我們又把它叫做什么呢?[教學說明]通過情景導入，提高學生的學習興趣.二、思考探究，獲取新知1.兩圖形沿著某直線對折后能互相重合，就叫做該圖形關于直線作了軸對稱變換，也稱軸反射.如上圖，(a)叫做原像，圖形(b)叫做圖形(a)在這個軸反射下的像.2.如果一個圖形關于某一條直線作軸對稱變換后，能夠與另一個圖形重合，那么這兩個圖形關于這條直線對稱，也稱兩個圖形成軸對稱.這條直線叫做對稱軸.原像與像中能夠互相重合的兩個點，其中一個叫做另外一個關于這條直線的對應點.如上圖，點A'是A的對應點.43.觀察上面的兩個圖形，它們的大小、形狀發(fā)生變化了嗎?[歸納結論]軸對稱變換不改變圖形的形狀和大小.軸反射后，長度、角度和面積等都不改變.如圖，三角形ABC和三角形A'B'C'關于直線MN對稱，點A'B'C'分別是點A、B、C的對應點，線段AA'、BB'、CC′與直線MN有什么關系?(1)設AA'交對稱軸MN于點P,將三角形ABC和三角形A'B'C'沿MN折疊后，點A與A'重合嗎?于是有PA=,∠MPA=二度.(2)對于其他的對應點，如點B、B',C、C'也有類似的情況嗎?(3)那么MN與線段AA',BB',CC′的連線有什么關系呢?[歸納結論]成軸對稱的兩個圖形中，對應點的連線被對稱軸垂直平分.如果兩個圖形的對應點的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱.5.如圖，已知三角形ABC和直線1,請你作出三角形ABC關于直線1對稱的圖形.作法：1.過點A作直線1的垂線，垂足為點0,延長A0至點A',使AO=A'0,點A'就是點A關于直線1的對稱點；2.類似地，分別作出點B、C關于直線1的對稱點B'、C'.總結：作已知圖形關于已知直線對稱的圖形的一般步驟：1.找點(確定圖形中的一些特殊點);2.畫點(畫出特殊點關于已知直線的對稱點);3.連線(連接對稱點).[教學說明]通過例題講解，引導學生思考，加深印象.三、運用新知，深化理解1.見教材P例2.2.下列說法錯誤的是(C)A.等邊三角形是軸對稱圖形B.軸對稱圖形的對應邊相等，對應角相等C.成軸對稱的兩條線段必在對稱軸一側D.成軸對稱的兩個圖形對應點的連線被對稱軸垂直平分3.設A、B兩點關于直線MN軸對稱，則直線MN垂直平分線段AB.4.將一張矩形紙對折，用圓規(guī)針尖扎出一個"∑"符號，然后將紙打開后鋪平.5(1)圖中兩個“∑”關于折痕1(2)在扎出∑的過程中，點A與____重合，點B與_____重合，點C與C'重合；線段AB與重合，線段BC與____重合，∠0AB與____重合，∠ABC與____重合.∠ABC∠A'B'C'.(以上四空填“=”或“≠”)答案：(1)對稱(2)A'B'A'B'B'C'∠0'A'B'∠A'B'C'====5.在下列方格紙上畫出關于直線1對稱的圖形.6.如圖，已知三角形ABC和直線MN.求作：三角形A'B'C',使三角形A'B'C′和三角形ABC關于直線MN對稱.若PP?=5cm,求三角形PMN的周長.解：∵點P?是點P關于0A的對稱點，∴0A垂直平分PP?,則P?M=PM,同樣道理P?N=PN,這樣68.如圖，三角形ABC和三角形A'B'C′關于直線m對稱.(1)結合圖形指出對應點.(2)連接A、A',直線m與線段AA'有什么關系?(3)延長線段AC與A'C',它們的交點與直線m有怎樣的關系?其他對應線段(或其延長線)的交點呢?你發(fā)現了什么規(guī)律，請敘述出來與同伴交流.解：(1)A和A',B和B',C和C′是對應點；(2)m垂直平分線段AA';(3)兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上.[教學說明]通過練習，檢測學生的掌握情況.先小組內交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結.教師作以補充.[課后作業(yè)]1.布置作業(yè)：教材第118頁"習題5.1"中第3、5題.2.完成同步練習冊中本課時的練習【教學后記】5.2旋轉【教學目標】1.通過具體實例認識旋轉，了解旋轉的定義，能說出旋轉中心、旋轉角.掌握旋轉的性質.2.經歷探索圖形的旋轉過程，發(fā)展幾何直覺，領悟變換的數學思想方法.3.經歷對生活中旋轉圖形的觀察、討論、實踐操作，感知數學美，體會數學學習的樂趣.【教學重點】旋轉的性質.【教學難點】旋轉的性質及其應用.【教學過程】一、情景導入，初步認知1.向學生展示有關的圖片：(1)時鐘上的秒針在不停的轉動；(并介紹順時針方向和逆時針方向)(2)飛速轉動的電風扇葉片；(3)汽車上的雨刮器.72.演示俄羅斯方塊游戲[教學說明]觀察圖片、演示俄羅斯方塊游戲——構成游戲的模塊均是由一個小正方形通過平移變換而來.學生通過玩游戲，發(fā)現除了平移運動之外還有旋轉運動.引導學生列舉出一些具有旋轉現象的生活實例，引出課題：“生活中的旋轉”.二、思考探究，獲取新知1.我們觀察了上面的三幅圖片，你能說出它們在轉動過程中有什么共同特征嗎?(1)鐘表上的秒針是怎樣走動的呢?(2)電風扇啟動后，它的葉片是怎樣運動的呢?(3)汽車上的雨刮器是怎樣運動的呢?像前面三個例子那樣，將一個平面圖形F上的每一個點，繞這個平面內一定點0旋轉同一個角a,得到圖形F',圖形的這種變換就叫做旋轉.這個定點0叫做旋轉中心.角a叫做旋轉角.原位置的圖形F叫做原像，新位置的圖形F′叫做原圖形F在旋轉下的像.圖形F上的每一個點P與它在旋轉下的像點P'叫做在旋轉下的對應點.的相關概念.2.將三角形ABC以0為旋轉中心旋轉60°得到三角形A'B'C'.P點在這個旋轉下的像是P'點.那么0A'與OA相等嗎?∠POP′和∠AOA'相等嗎?度數是多少?[歸納結論]一個圖形和它經過旋轉得到的圖形中，對應點到旋轉中心的距離相等；兩組對應點分別與旋轉中心的連線所成的角相等.3.在上面的旋轉中，三角形ABC與三角形A'B'C'的大小，形狀發(fā)生了變化沒有?[歸納結論]旋轉不改變圖形的形狀和大小.[教學說明]引導學生觀察圖形，總結旋轉的相關性質.1.見教材P??例題.2.如圖，如果把鐘表的指針看做四邊形AOBC,它繞0點旋轉得到四邊形DOEF.8在這個旋轉過程中：(1)旋轉中心是什么?(2)經過旋轉，點A,B分別移動到什么位置?(3)旋轉角是什么?(4)A0與D0的長有什么關系?B0與EO呢?(5)∠AOD與∠BOE有什么大小關系?(4)相等；相等(5)相等3.下列關于旋轉和平移的說法正確的是(D)A.旋轉使圖形的形狀發(fā)生改變B.由旋轉得到的圖形一定可以通過平移得到C.平移與旋轉的共同之處是改變圖形的位置和大小D.對應點到旋轉中心距離相等4.如圖把正方形繞著點0旋轉，至少要旋轉90°度后才能與原來的圖形重合.5.如圖所示，三角形ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,D、E在BC上，∠DAE=45°,三角形AEC按順時針方向轉動一個角后成三角形AFB.(1)圖所示中哪一點是旋轉中心?(2)旋轉了多少度?(3)指出圖中的對應點、對應線段和對應角.的對應線段是AF,EC的對應線段是FB;∠1的對應角為∠2,∠3的對應角為∠F,∠C的對應角為6.如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，∠BAF=70°,且AE=2,三角形ABF是三角形ADE的旋轉圖形.(1)旋轉中心是哪一點?(2)旋轉了多少度?(3)AF的長度是多少?解：(1)旋轉中心是A點.(2)∵三角形ABF是由三角形ADE旋轉而成的，∴B是D的對應點，∴∠DAB=90°就是旋轉角.(3)AF=AE=2.7.如圖：P是等邊三角形ABC內的一點，將三角形ABP旋轉分別得到三角形BQC和三角形ACR,(1)分別指出旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度.(2)三角形ACR是否可以直接通過旋轉三角形BQC得到?9解：略.[教學說明]讓學生通過觀察圖形的特點，發(fā)現圖形的旋轉關系，鞏固旋轉的性質.引導學生從以下幾個方面進行小結：(1)這節(jié)課你學到了什么?(2)對自己的學習情況進行評價.[課后作業(yè)]1.布置作業(yè)：教材第121頁"習題5.2"中第3、4題.2.完成同步練習冊中本課時的練習【教學后記】5.3圖形變換的簡單應用【教學目標】1.會識別圖案中的基礎圖形，通過對圖形的識別與欣賞，進一步加深圖形的平移、旋轉和軸反射概念與性質的理解.2.能將一些基礎圖形經過平移、旋轉和軸反射等變換設計一些美麗的圖案.3.通過圖形的三種變換提高學生的應用意識.4.欣賞軸對稱、平移、旋轉等變換在現實生活中的應用.【教學重點】運用圖形變換設計圖案.【教學難點】運用圖形變換設計圖案.【教學過程】一、情景導入，初步認知1.旋轉具有哪些性質?2.圖形旋轉和圖形平移有哪些相同性質?[教學說明]復習相關知識，為本節(jié)課的教學作鋪墊.二、思考探究，獲取新知1.請觀察下圖.(1)說說它們由哪些基本圖形組成.(2)圖中運用了哪些圖形變換?為什么?在圖中用虛線把基礎圖形圈起來.(學生可能回答：平移變換、旋轉變換、軸對稱變換等等，教師重點提示抓住平移變換這一要點進行分析)如果將上面三個圖案的變換方式互換，看看能不能變成美麗的圖案，為什么?2.做一做.請利用簡單圖形的圖形變換，設計一幅圖案，并與同伴交流.[教學說明]觀察與動手操作是學習數學的基本能力.三、運用新知，深化理解1.見教材P1?例題.2.下圖的4個圖案中，是由基本圖形經過旋轉得到的是(只寫出圖案序號即可).①逗閉解析：圖案①、圖案②是由基本圖形經過平移得到的；圖案③、圖案④是由基本圖形經過旋轉得到的.答案：③④.3.在圖所示的4個圖案中既包含圖形的旋轉，還有圖形軸對稱是(D)解析：分清旋轉和軸對稱的區(qū)別.4.起重機將重物垂直提起，這可以看作是數學上的(B)A.軸對稱B.平移5.在下面四個圖形中，既包含圖形的旋轉，又有圖形的軸對稱設計的是(C)6.下圖是由12個全等三角形組成的，利用平移、軸對稱或旋轉分析這個圖案的形成過程.這個圖形可以按照以下步驟形成：①以一個三角形的一條邊為對稱軸作與它對稱的圖形；②將得到的這組圖形以一條邊的中點為旋轉中心旋轉180°;③分別以這兩組圖形為平移的“基本圖案”,各平移兩次，即可得到最終的圖形.7.觀察下圖，分別說出它們由哪些基本圖形組成，運用了哪些圖形變換?8.如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD于點E,BE=DE.已知AC=10cm,BD=8cm,求陰影部分的面解：陰影部分的面積是20平方厘米.[教學說明]對本節(jié)知識進行鞏固練習，使學生在發(fā)展空間概念的同時能夠靈活運用平移、旋轉軸對稱的組合進行一定的圖案設計.四、師生互動，課堂小結先小組內交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結.教師作以補充.[課后作業(yè)]1.布置作業(yè)：教材第125頁“習題5.3”中第1、4、5題.2.完成同步練習冊中本課時的練習【教學后記】【教學目標】1.梳理全章內容，建立知識體系；掌握軸對稱圖形、軸對稱、旋轉的性質并靈活應用.2.經歷復習，進一步發(fā)展空間觀念，豐富學生對軸對稱、旋轉的直觀體驗和理解，培養(yǎng)學生有條理的思考和語言表達能力.3.讓學生進一步了解軸對稱、旋轉在現實生活中的廣泛應用和豐富的文化價值，增進學生學習數學的興趣.【教學重點】會找出簡單的軸對稱圖形，軸對稱、旋轉的圖形，掌握它們的性質并應用.【教學難點】軸對稱圖形、軸對稱、旋轉的有關性質及其在現實生活中的應用.【教學過程】一、知識結構圖形變換[教學說明]引導學生自主發(fā)現各知識點之間的聯系，形成較完整的認知結構.二、釋疑解惑，加深理解1.軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這樣的圖形叫做軸對稱圖形.這條直線叫做這個圖形的對稱軸.兩圖形沿著某直線對折后能重合，就叫做圖形關于該直線做了軸對稱變換，也叫軸反射.2.軸對稱：如果一個圖形關于某一條直線做軸對稱變換后，能夠與另一個圖形重合，那么這兩個圖形關于這條直線對稱，也叫兩個圖形成軸對稱.這條直線叫做對稱軸.原像與像中能夠互相重合的兩個點，其中一個叫做另外一個關于這條直線的對應點.3.軸對稱的性質：①軸對稱變換不改變圖形的形狀和大小.②軸反射后，長度、角度和面積等都不改變③成軸對稱的兩個圖形中，對應點的連線被對稱軸垂直平分.④如果兩個圖形的對應點的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱.4.作已知圖形關于已知直線對稱的圖形的一般步聚：①找點(確定圖形中的一些特殊點);②畫點(畫出特殊點關于已知直線的對稱點);③連線(連接對稱點).將一個平面圖形上的每一個點，繞這個平面內一定點旋轉同一個角，得到新圖形，圖形的這種變換就叫做旋轉.這個定點叫做旋轉中心.這個角叫做旋轉角.原位置的圖形叫做原像，新位置的圖形F叫做原圖形在旋轉下的像.原像上的每一個點P與它在旋轉下的像點P′叫做在旋轉下的對應點.6.旋轉的性質：①旋轉不改變圖形的形狀和大小.②一個圖形和它經過旋轉得到的圖形中，對應點到旋轉中心的距離相等；兩組對應點分別與旋轉中心的連線所成的角相等.[教學說明]學生通過梳理知識體系，不僅能提高分析問題的能力，而且能夠發(fā)現自身的不足，通過查漏補缺，完善知識結構.三、典例精析，復習新知例1如下書寫的四個漢字，其中為軸對稱圖形的是(B)答案：55°例3下列圖案中，含有旋轉變換的有()例4下列圖形中，繞某個點旋轉180°能與自身重合的有()①正方形②長方形③等邊三角形④線段⑤角⑥平行四邊形答案：D例5下列的說法中，正確的是(C)A.能重合的圖形一定是軸對稱圖形B.中心對稱圖形一定是能重合的圖形C.兩個成中心對稱的圖形的對稱點連線必過對稱中心D.兩個能重合的三角形一定關于某一點成中心對稱例6如圖，已知三角形ACE是等腰直角三角形，∠ACE=90°,B為AE上一點，三角形ABC經過旋轉到達三角形EDC的位置，問：(1)旋轉中心是哪個點?旋轉了多少度?(2)若已知∠ACB=20°,求∠CDE、∠DEB的度數.解：(1)旋轉中心是點C,旋轉了90°.(2)∵三角形ACE是等腰直角三角形，∵三角形ABC經過旋轉到達三角形EDC的位置，∴三角形EDC與三角形ABC全等，在三角形EDC中，∠ECD=20°,∠CED=45°,[教學說明]讓學生在思考問題的過程中體會軸對稱與旋轉的特點和性質，這有助于加深對舊知識的理解，使掌握