第1頁/共11頁2025北京西城高三（上）期末數學本試卷共9頁，共150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題紙一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1.已知集合，，那么集合 A. B. C. D.2.設為虛數單位，，且，則 A. B. C. D.3.下列函數中，值域為且為奇函數的是 A. B. C. D.4.在平面直角坐標系中，角以為始邊，點在角的終邊上，則 A. B. C. D.5.過點的直線與圓相交于兩點，那么當取得最小值時，直線的方程是 A. B. C. D.6.在中，則“”是“是直角三角形”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.若直線與雙曲線沒有公共點，則雙曲線的離心率滿足 A. B. C. D.8.在光纖通信中，發射器發出光信號的功率傳輸后會逐漸變弱，衰減后的光功率（單位：W）可表示為，其中為起始光功率（單位：W），為衰減系數，為接收信號處與發射器間的距離（單位：km）.已知距離發射器處的光功率衰減為起始光功率的一半.若當距離由km變到km時，光功率由變到，則 A. B. C. D.9.若實數滿足，則 A. B. C. D.10.如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，為正方體表面上的動點，且.設動點的軌跡為曲線，則 A.是平行四邊形，且周長為 B.是平行四邊形，且周長為 C.是等腰梯形，且周長為 D.是等腰梯形，且周長為第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11.拋物線的準線方程為_________.12.在中，若，，，則_________.13.若的展開式中存在常數項，則正整數的一個取值是_________，且此時常數項等于_________.（用數字作答）14.折扇，古稱聚頭扇、撒扇等，以其收攏時能夠二頭合并歸一而得名.某折扇的扇面是一個圓臺的側面展開圖，如圖所示.設，，則扇面（圖中扇環）部分的面積是_________，_________.15.已知無窮數列滿足.給出下列四個結論：①存在，使得集合中有無窮多個元素；②存在，使得集合中有有限個元素；③對于任意的，集合中至多有一個元素；④當時，集合.其中所有正確結論的序號是_________.

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16.（本小題13分）如圖，在三棱柱中，平面，分別為的中點，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，求二面角的大小.17.（本小題13分）已知函數，從條件①、條件②、條件③中選擇兩個作為一組已知條件，使得函數存在且唯一，并完成下列兩問.（Ⅰ）求函數的解析式；（Ⅱ）若函數在區間上單調遞減，求實數的最大值.條件①：；條件②：函數圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為；條件③：函數的一個零點為.注：如果選擇多組符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.18.（本小題14分）為踐行五育并舉，增強學生體質，某校擬開設課外體育活動課.現從全校高一學生中分層隨機抽樣出100名男生和80名女生，對其選課意愿作調查統計，得到數據如下：男生女生選擇不選擇選擇不選擇排球50505030籃球25751565足球7525575乒乓球10901070假設所有學生是否選擇排球、籃球、足球、乒乓球相互獨立，用頻率估計概率.（Ⅰ）假設全校共有1800名高一學生，直接判斷下列結論的正誤.結論：根據樣本數據估計全校有800名高一學生有選擇足球課的意愿；結論：樣本中男生對排球課和籃球課都不選擇的人數可以為20.（Ⅱ）若從該校全體高一男生中隨機抽取2人，全體高一女生中隨機抽取1人，記這3人中選擇排球課的人數為，求的分布列和數學期望；（Ⅲ）記樣本中男生選擇排球、籃球、足球、乒乓球課的頻率依次為，其方差為；樣本中男生不選擇這四個活動課的頻率依次為，其方差為.寫出與的大小關系.（結論不要求證明）19.（本小題15分）已知橢圓的左右頂點分別為，離心率為，點，的面積為2.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點且斜率為的直線交橢圓于點，線段的垂直平分線交軸于點，點關于直線的對稱點為.若四邊形為正方形，求的值.20.（本小題15分）已知函數，其中.（Ⅰ）當時，求曲線在點處切線的方程；（Ⅱ）當時，證明：對任意的，曲線總在直線的下方；（Ⅲ）若函數有兩個零點，且，求的取值范圍.

21.（本小題15分）已知數列為個數的一個排列，其中，且.若在集合中至少有一個元素使得，則稱數列具有性質.（Ⅰ）當時，判斷數列和數列是否具有性質；（Ⅱ）若數列和均為等差數列，且，，證明：對于所有的偶數，數列不具有性質；（Ⅲ）在所有由的排列組成的數列中，記具有性質的數列的個數為，不具有性質的數列的個數為，證明：對于任意，.

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分） （?1?）C （?2?）B （?3?）D （?4?）A （?5?）C （?6?）A （?7?）B （?8?）A （?9?）D （10）D二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分） （11） （12） （13）（答案不唯一） （14） （15）=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④注：（13）（14）題第一空3分，第二空2分；（15）題全部選對得5分，有兩個選對且無錯選得4分，有一個選對且無錯選得3分，其他得0分.三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）如圖，取的中點，連接，． 由分別為的中點，得，且.………………1分又因為，且，所以，且.故四邊形為平行四邊形.所以.………………3分又因為平面，平面，所以平面． ………………5分（Ⅱ）由平面，得，.又因為，，平面，所以平面，所以，故兩兩互相垂直．如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，因此，． ………………7分設平面的法向量為，則即………………8分令，則．于是． ………………9分同理，可得平面的一個法向量.………………10分設二面角的平面角為，則． ………………12分由圖知為銳角，所以二面角的大小為． ………………13分 （17）（本小題13分）解：（Ⅰ）選條件①②：由函數圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為，得最小正周期.…2分由，，得.………………4分 由，，得. 所以. ………………8分選條件②③：由函數圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為，得最小正周期.…2分由，，得.………………4分因為的一個零點為，即，所以，即.由，得. 所以.………………8分（Ⅱ）由，得，其中.………10分所以是函數的一個單調減區間.………………11分又因為函數在區間上單調遞減，所以的最大值為.………………13分（18）（本小題14分）解：（Ⅰ）結論正確，結論不正確． ………………3分（Ⅱ）高一男生選擇排球課的概率估計為，高一女生選擇排球課的概率估計為.………………5分隨機變量的所有可能取值為 則，，， ………………8分 所以的分布列為:3……………9分故………………11分（Ⅲ）………………14分（19）（本小題15分）解：（Ⅰ）由題意，得………………3分解得． 所以橢圓的方程為．………………5分（Ⅱ）直線的方程為．………………6分當時，線段的垂直平分線為………………7分當時，設，由得．則，，.…………9分所以，故線段的中點坐標為.………………10分所以線段的垂直平分線的方程為.則點.………………11分由題意知線段和互相垂直平分，故所以欲使．………………12分所以………………13分.即.．………………15分（20）（本小題15分）解：（Ⅰ）當時，，所以.………………1分則，，故曲線在點處切線的方程是.………………3分（Ⅱ）若，則，其定義域為.“曲線總在直線的下方”等價于“，”，即等價于“，”.設函數，，則.……………6分令，解得，當變化時，與的變化情況如下表：↗極大值↘所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.………………8分故對任意的，，即曲線總在直線的下方.………………9分（Ⅲ）函數的定義域是，且.令，得.當變化時，與的變化情況如下表：↗極大值↘所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.………11分當，即時，根據的單調性，知，且，有.所以恰有一個零點，不符合題意.………………12分當，即時，根據的單調性，知，由有兩個零點，且滿足，得，，又因為此時，所以，且，解得.……………13分當，即時，根據的單調性，知，由有兩個零點，且滿足，得，，所以，即.綜上，的取值范圍為.………………15分（21）（本小題15分）解：（Ⅰ）數列不具有性質，數列具有性質.………………2分（Ⅱ）設等差數列的公差為，則.由，得.所以公差.若，則.不符合題意.所以，，其中.………………5分同理，可得.………………6分因為為奇數，為偶數，所以和中一個為奇數一個為偶數，所以對于任意，不可能等于偶數，即對于所有的偶數m，數列不具有性質.………………8分（Ⅲ）設數列為任意一個不具有性質的數列，因為為的一個排列，所以在中有且僅有一項，使得.………10分在數列中，將項移到項的前面，其余項的順序