第5章數字控制器的設計5.1數字控制器的連續化設計步驟5.2數字PID控制器的設計5.3史密斯預估器的設計5.4數字控制器的離散化設計5.5

最少拍隨動系統的設計5.6最少拍無紋波隨動系統的設計小結

計算機控制系統的設計,是指在給定系統性能指標的條件下,設計出控制器的控制規律和相應的數字控制算法。數字控制系統的類型很多,但它們都是由被控對象、數字控制

器兩部分組成的。被控對象是系統的連續部分,輸入輸出均為模擬量;數字控制器是系統的離散部分,這是由于數字控制器所處理的信號是離散的數字信號。這種連續離散混合系

統如圖5-1所示。

圖5-1為一個采樣系統的框圖:控制器D(z)的輸入量是偏差,u(k)是控制量,H(s)是零階保持器,且

G(s)是被控對象的傳遞函數。

圖5-1計算機控制系統的框圖

5.1數字控制器的連續化設計步驟

1.設計假想的連續控制器D(s)連續化設計方法的實質是在采樣頻率很高的情況下,其采樣保持器所引進的附加偏差可以忽略,因此把零階保持器去掉,把數字控制器(A/D(采樣)、計算機、D/A(零階保持器))看作一個整體,其輸入和輸出為模擬量,將其等效為連續傳遞函數。將圖5-1所示的計算機控制系統假想為一個連續系統,如圖5-2所示,即將實現數字控制器的控制器和零階保持器合在一起作為一個連續環節看待,其等效傳遞函數為D(s)

圖5-2連續控制系統

2.選擇采樣周期T

1)香農采樣定理

香農采樣定理給出了將采樣信號恢復為連續信號的最低采樣頻率。在計算機控制系統中,完成信號恢復功能一般由零階保持器H(s)來實現。零階保持器的傳遞函數為

H(s)=其頻率特性為

從上式可以看出,零階保持器將對控制信號產生附加相移(滯后)。對于小的采樣周期,可把零階保持器H(s)近似為

2)正確地選擇采樣周期T

(1)從調節品質上看,希望采樣周期短,以便減少系統純滯后的影響,提高控制精度。

(2)從快速性和抗干擾方面考慮,采樣周期T應該盡量短,這樣給定值的改變可以迅速地通過采樣得到反映,而不致產生過大的延時。

(3)從計算機的工作量和回路成本考慮,采用周期T應該長一些,這樣可使每個周期都有足夠的計算時間;當被控對象的純滯后時間τ較大時,可以選擇T=τ。

(4)從計算精度方面考慮,采樣周期T不應過短。

3.將D(s)離散化為D(z)

計算機控制系統是離散系統,因此要將連續控制系統的調節器傳遞函數D(s)轉換為離散的脈沖傳遞函數D(z)。

1)雙線性變換法

按Z變換的定義,利用泰勒級數展開,可得

s平面與z平面的映射關系如圖5-3所示。圖5-3s平面與z平面的映射關系

雙線性變換法置換公式:

把s=σ+jω代入有

2)前向差分法

3)后向差分法

4.設計由計算機實現的控制算法

數字控制器D(z)的一般形式為

上式可改寫為

其中n≥m,各系數ai、bi

為實數,且有n個極點和m個零點。

式(5-11)用時域形式表示為

式(5-12)稱為數字控制器D(z)的控制算法,可見是容易編程實現的。

5.校驗

控制器D(z)設計完并求出控制算法后,須按圖5-1所示的計算機控制系統檢驗其閉環特性是否符合設計要求,這一步可由計算機控制系統的數字仿真計算來驗證。如果滿足設計要求,則設計結束,否則應修改設計。

總之,數字控制器連續化設計可以通過以下五個步驟完成。

第①步:用連續系統的理論設計假想的連續控制器D(s)。

第②步:選擇采樣周期T。

第③步:用合適的離散化方法將D(s)離散化成數字控制器D(z)。

第④步:將數字控制器D(z)表示成差分方程的形式,并編制程序,以便計算機實現。

第⑤步:校驗。

其中,①~②在自動控制原理中已講解,③~④將在本章講解,⑤通過仿真來檢驗系統的指標是否滿足要求。

5.2數字PID控制器的設計

5.2.1PID控制規律的特點PID控制器是一種線性調節器,這種調節器可將給定值r(t)與實際輸出值c(t)進行比較,從而構成控制偏差:并將其比例、積分、微分通過線性組合構成控制量,如圖5-4所示。

圖5-4連續生產過程PID控制系統框圖

1.比例調節器

比例調節器是最簡單的控制器,其控制規律為

圖5-5所示是比例控制器對偏差階躍變化的時間響應。圖5-5

2.比例積分調節器

為了消除比例控制器中存在的靜差,可在比例控制器的基礎上加上積分項,構成比例積分(PI)控制器,其控制規律為

其傳遞函數為式中TI稱為積分時間常數。比例積分調節的特性曲線如圖5-6所示。

圖5-6比例積分調節的特性曲線

3.比例微分調節器

比例微分調節器的控制規律為

其傳遞函數為G(s)=KP(1+TDs),式中TD為積分時間常數。

比例微分調節器又稱PD(ProportionalDifferential)

調節器。圖5-7。圖5-7

PD控制器的特點:可以增加系統的頻寬,減少調節時間;增加系統的相角裕度,減少系統的超調量;增加系統阻尼,改善系統的穩定性;增大了高頻干擾。

4.比例積分微分控制器

P、PI、PD調節各有其優缺點,積分調節作用的加入雖然可以消除靜差,但其代價是降低系統的響應速度。為了加快控制過程,在偏差出現或變化的瞬間不但要對偏差量作出

反應(即比例控制作用),而且還要對偏差量的變化作出反應。或者說按偏差變化的趨勢進行控制,使偏差在萌芽狀態被抑制。為了達到這一控制目的,可以在PI控制器的基礎上加入微分控制作用,即構造比例積分微分(PID)控制器。比例積分微分(PID)控制規律為

其傳遞函數為式中

u(t)為控制器的輸出;KP為比例系數;e(t)為控制器的輸入,即偏差:e(t)=r(t)-y(t);TD為微分時間常數;TI為積分時間常數。PID調節器方框圖如圖5-8所示。

圖5-8PID調節器方框圖

PID三量的控制作用如表5-1所示,靜差是系統控制過程趨于穩定時,給定值與輸出量的實測值之差。

PID控制器的階躍響應特性曲線如圖5-9所示。圖5-9PID控制器階躍響應特性曲線

5.2.2PID控制規律的數字化實現算法

1.位置式PID控制算法

模擬PID控制規律的離散化處理方法:當采樣周期T比較小時,積分項可用求和近似代替,微分項可用后項差分近似代替。

2.增量式PID控制算法

由位置式PID控制公式可以看出,位置式控制算法不夠方便,這是因為要累加偏差e(j),不僅要占用較多的存儲單元,而且不便于編寫程序,為此作出以下改進:

在控制系統中,如果執行機構采用調節閥,則控制量對應閥門的開度表征了執行機構的位置,此時控制器應采用位置式PID控制算法,如圖5-10所示。

圖5-10位置式控制

如果執行機構為步進電機、電動調節閥和多圈電位器,則每個采樣周期控制器輸出的控制量相對于上次控制量

是增加的,此時控制器應采用增量式PID控制算法,如圖5-11所示。圖5-11增量式控制

與位置式PID控制算法相比,增量式PID控制算法有下列優點:

(1)位置式控制算法每次輸出都與整個過去狀態相關,其計算式要用到過去偏差的累加,容易產生較大的累加計算誤差;而在增量型算式中由于消去了積分項,從而可以消除調節器的積分飽和,在精度不足時,計算誤差對控制量的影響較小,容易取得較好的控制效果。

(2)為實現手動—自動無擾切換,在切換瞬時,計算機的輸出值應設置為原始閥門開度u0。若采用增量型算法,其輸出對應于閥門位置的變化部分,即算式中不出現u0項,所以易于實現從手動到自動的無擾動切換。

(3)采用增量型算法時所用的執行器本身具有寄存作用,所以即使計算機發生故障,執行器仍能保持在原位,不會對生產造成惡劣影響。

增量式PID控制算法與位置式PID控制算法相比,有下列缺點:

(1)積分截斷效應大,有靜態誤差。

(2)溢出的影響大。

5.2.3MATLAB仿真確認被控對象參數

1.確立模型結構

在工程中PID控制多用于帶時延的一階或二階慣性環節組成的工控對象,即有時延的單容被控過程,其傳遞函數如下:

有時延的單容被控過程可以用兩個慣性環節串接組成的自平衡雙容被控過程來近似,本實驗采用該方式作為實驗被控對象時,有

2.被控對象參數的確認

對于這種用兩個慣性環節串接組成的自平衡雙容被控過程的被控對象,在工程中普遍采用階躍輸入實驗辨識的方法確認T0和τ,以轉換成有時延的單容被控過程。階躍輸入實

驗辨識的原理圖如圖5-12所示。圖5-12階躍輸入原理圖

以T1=0.2s、T2=0.5s、K=1為例,系統運行后,可得其響應曲線,如圖5-13所示。

圖5-13閉環系統單位階躍響應曲線

通常取Y0(t1)=0.3Y0(∞),從圖中可測得t1=0.36s;通常取Y0(t2)=0.7Y0(∞),從圖中可測得t2=0.84s。再利用拉氏僅變換公式得

例5-1考慮模型通過改變PID的參數研究各個環節的作用。

解(1)只采用比例控制,令TI→∞,TD=0,使K

取不同的值,通過MATLAB仿真圖直觀地看到其作用。

(2)令KP=1,觀察PI控制策略,MATLAB程序如下:

由圖5-14可知,隨著積分時間常數TI的增大,系統超調量減少,與此同時系統的響應速度減慢。因此,積分環節的主要作用是消除系統的穩態誤差。

圖5-14KP=1時系統的階躍響應曲線

(3)令KP=TI=1,MATLAB程序如下:

由圖5-15可知,TD增大時,系統響應速度加快,但是這也導致系統不穩定性增加。因此,微分環節的主要作用是提高系統的響應速度。圖5-15-KP=TI=1時,系統的響應曲線

5.3史密斯預估器的設計輸出量經恒定延時后不失真地復現輸入量的變化的環節被稱為延遲環節。含有延遲環節的系統被稱為延遲系統。電力、化工系統多為延遲系統,延遲環節的輸入輸出時域表達式為式中τ為延遲時間,應用拉氏變換的實數位移定理,可得延遲環節的傳遞函數為

1.傳遞函數的定義

線性定常系統的傳遞函數定義為:零初始條件下,系統輸出量的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比。圖5-16所示為傳遞函數方框圖。

圖5-16傳遞函數方框圖

由圖5-17純滯后環節的控制系統可知,系統閉環特征方程含有純滯后環節,影響系統穩定性和系統性能。利用史密斯預估器,在控制系統中添加補償環節可以消去純滯后環節中的滯后環節,從而使系統穩定。

圖5-17純滯后環節的控制系統

2.史密斯預估控制原理

史密斯預估器控制原理是,為D(s)并連一個補償環節,用來補償被控對象中的純滯后

部分。這個環節被稱為預估器,其傳遞函數為Gp(s)(1-e-τs),τ為純滯后時間,補償后的系統框圖如圖5-18所示。

圖5-18史密斯預估器的控制系統

控制器的閉環傳遞函數為

經補償后的系統的閉環傳遞函數為

3.具有純滯后補償性能的數字控制器

具有純滯后補償性能的控制系統如圖5-19所示。純滯后補償性能的數字控制器由兩部分組成:一是數字PID控制器;二是史密斯預估器。圖5-19具有純滯后補償性能的控制系統

1)史密斯預估器

2)純滯后補償控制算法步驟

史密斯預估器在實際應用中的問題主要表現在:補償器的參數與被控對象的參數要嚴格一致,否則會出現預估補償器不能完全補償,使系統的穩定性變差。因此,雖然史密斯預

估器已從理論上解決了時滯問題,但該方法對模型的精度要求很高,在大多數情況下,要獲得對象的精確模型的確存在困難。總的來看,采用史密斯預估器的控制方式,意味著系統對模型的誤差非常敏感,系統的魯棒性較差。這些缺陷限制了它在工業中的廣泛應用。

5.4數字控制器的離散化設計

在圖5-20所示的計算機控制系統中,G(s)是被控對象的連續傳遞函數,D(z)是數字控制器的脈沖傳遞函數,H0(s)是零階保持器的傳遞函數,T為采樣周期。

圖5-20計算機控制系統框圖

由以上公式可以看出,廣義對象的G1(z)是零階保持器和被控對象所固有的,不能改變。只需確定滿足系統性能指標要求的Φ(z),就可以根據式(5-34)求得滿足要求的數字控制器D(z)。由此可得數字控制器的離散化設計步驟為:

①由H0(s)和G(s)求取廣義對象的脈沖傳遞函數G1(z);

②根據控制系統的性能指標及實現的約束條件構造閉環脈沖傳遞函數Φ(z);

③根據式(5-34)確定數字控制器的脈沖傳遞函數D(z);

④由D(z)確定控制算法的遞推計算公式,并編制程序。

5.5

最少拍隨動系統的設計

1.最少拍數字控制器D(z)的設計最少拍控制系統的性能指標是要求調節時間最短,要求閉環系統對于某種特定的輸入在最少個采樣周期內達到無靜差的穩態。由式(5-33)得偏差表達式如下:

當輸入信號為單位階躍信號時,

同理可得速度輸入和加速度輸入時的控制器,如表5-2所示。

2.最少拍控制器對典型輸入的適應性差

最少拍控制器中的最少拍是針對某一典型輸入設計的,對于其他典型輸入則不一定為最少拍,甚至引起大的超調和靜差。

輸出響應曲線如圖5-21所示。可見,按單位速度輸入設計的最小拍系統,當輸入信號為單位階躍信號時,經過2個采樣周期,Y(kT)=R(kT),但在k=1時,將有100%的超調量。

圖5-21單位階躍輸入時最少拍系統響應曲線

②只改變輸入信號為單位加速度信號:

輸出響應曲線如圖5-22所示。可見,按單位速度輸入設計的最小拍系統,當輸入信號為單位加速度信號時,輸出響應與輸入之間總存在偏差。

圖5-22速度輸入時最少拍系統響應曲線

3.最少拍控制系統輸出量在采樣點之間存在波紋

解

圖5-23有限拍系統輸出序列波形圖

4.用MATLAB仿真被控過程

把D(z)的計算結果及G0(s)代入到最少拍控制系統的MATLAB仿真被控過程的原理方框圖,圖中全部模塊的time都設置為1s,如圖5-24所示。仿真被控過程的響應曲線如圖5-25所示。圖5-24最少拍有紋波控制系統的MATLAB仿真圖

圖5-25-最少拍有紋波控制系統的MATLAB響應曲線

5.6最少拍無紋波隨動系統的設計

1.最少拍有紋波隨動系統存在的問題(1)系統的輸出響應在采樣點之間有波紋存在,輸出波紋不僅影響系統質量(例如過大的超調和持續振蕩),而且還會增加機械磨損和功率消耗。(2)系統對輸入信號的變化適應能力比較差。(3)對參數變化過于敏感。系統參數一旦變化,就不能再滿足控制要求。

2.紋波產生的原因及設計要求

系統輸出在采樣點之間產生紋波的原因是由于控制量輸出序列u(k)經過若干拍后,不為常數(包括0)。產生這種情況的根源在于控制量u(k)的Z變換表達式中含有非零極點。根據采樣理論可知:采樣環節的脈沖響應取決于其極點在z平面上的分布。一旦控制量出現了這樣的震蕩,輸出采樣點之就會出現紋波。所謂最少拍無紋波設計,就是對最少拍有紋波控制器進行修正,在有限拍內使u(k)為常值或零,即達到穩態。

所以,要求最少拍無紋波系統的設計除了滿足最少拍有紋波系統的一切設計條件外,還必須使Φ(z)包含G(z)的所有零點。這樣,才能消除控制量的Z變換式中引起震蕩的所有極點。顯然,這樣做增加了Φ(z)中z-1的冪次,也就增加了調整時間,增加的拍數等于G(z)中包含的單位圓內的零點的個數。

3.設計無紋波系統的必要條件

對階躍輸入,當t≥nT時,y(t)=常數;對速度輸入,當t≥nT時,

y·(t)=常數,這樣G(s)中必須至少含有一個積分環節;對加速度輸入,當t≥nT時,y¨(t)=常數,這樣G(s)中必須至少含有兩個積分環節。

4.最少拍無紋波系統