高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市江寧區2023-2024學年高二上學期期末統考數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.拋物線的準線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題知拋物線,所以，故拋物線的準線方程為.故選：A.2.在數列中，是其前n項和，，（），則（）A. B.nC. D.【答案】C【解析】數列中，，，所以是首項為3公差為3的等差數列，則，，.故選：C3.設a為正實數，若圓與圓相外切，則a的值為（）A.4 B.6 C.24 D.26【答案】B【解析】結合題意：圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，所以圓心距為，而，因為兩圓相外切，所以，即.故選：B.4.任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除以2．反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環圈1→4→2→1．這就是數學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數m=6,根據上述運算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1→4→2→1→……．現給出“冰雹猜想”的遞推關系如下：已知數列滿足：（m為正整數），．當時，使得的最小正整數n值是（）A.17 B.16 C.15 D.10【答案】B【解析】時即.故選：B5.圓關于直線對稱后的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】圓的圓心半徑為，由得，設圓心關于直線對稱點的坐標為，則，解得,所以對稱圓的方程為.故選：A.6.在平面直角坐標系xOy中，已知直線與拋物線交于A、B兩點（異于O點），若，則實數m的值為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】D【解析】依題意，設聯立方程組，，得，所以，因為，即，解得.故選：D7.若函數在處有極大值，則常數c為（）A.1 B.3 C.1或3 D.-1或-3【答案】B【解析】函數，，由題意知，在處的導數值為，，或，又函數在處有極大值，故導數值在處左側為正數，右側為負數．當時，，滿足導數值在處左側為正數，右側為負數．當時，，導數值在處左側為負數，右側為正數．故．故選：B．8.已知圓的一條切線與雙曲線C：（，）有兩個交點，則雙曲線C離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由可得圓心，半徑，則圓心到切線的距離，解得：，所以切線方程為，因為與雙曲線有兩個交點，所以，所以，即雙曲線的離心率的取值范圍為.故選：A.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，不選或有錯選的得0分．9.已知曲線C的方程為（），則下列結論正確的是（）A.當時，曲線C為圓B.“”是“曲線C為焦點在x軸上的橢圓”的必要且不充分條件C.存在實數k使得曲線C為雙曲線，且離心率為D.當時，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為【答案】ABD【解析】由題意，曲線C的方程為（）對于A中，當時，曲線C的方程為，此時曲線C表示圓心在原點，半徑為的圓，所以是A正確的；對于B中，當曲線C的方程為（），表示焦點在x軸上的橢圓，則滿足，解得，所以“”是“曲線C為焦點在x軸上的橢圓”的必要且不充分條件，所以B正確；對于C中，當曲線C的方程為（）表示離心率為的雙曲線時，則滿足，無解，所以C不正確；對于D中，當時，曲線C的方程為（），可得，此時雙曲線C漸近線方程為，所以D是正確的.故選：ABD.10.已知直線，，則（）A.直線過定點 B.當時，C.當時， D.當時，兩直線，之間的距離為1【答案】ACD【解析】對A，變形為令，則，因此直線過定點，A正確；對于B，當時，，由于，，故兩直線不平行，B錯誤；對于C，當時，，由于，故兩直線平行，C正確；對于D，當時，則滿足，解得，此時，則兩直線距離，D正確；故選：ACD11.在數列中，，（），前n項和為．則下列結論正確的是（）A. B.是等比數列C.是等比數列 D.是遞增數列【答案】ACD【解析】因，可得，且，可知數列是以首項為4，公比為2的等比數列，可得，即，則，且在上單調遞增，可知是遞增數列，故ACD正確；因為，顯然，可知不是等比數列，故B錯誤；故選：ACD.12.已知函數的定義域為R，其導函數滿足，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】構造函數，其中，則，所以，函數為上的減函數，則，即，所以，，A對B錯；因為，則，即，所以，，C錯D對.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在平面直角坐標系xOy中，經過兩點，的直線傾斜角為45°，則實數m的值為_______________．【答案】4【解析】設直線的傾斜角為，則直線的斜率，又，解得.故答案為：4.14.如圖，正方形的邊長為2cm，取正方形各邊的中點E，F，G，H，作第二個正方形，然后再取正方形各邊的中點I，J，K，L，作第三個正方形，依此方法一直繼續下去，如果這個作圖過程可以一直繼續下去，當操作次數無限增大時，所有這些正方形的面積之和將無限趨近于常數_______________．【答案】8【解析】設第n個正方形的邊長為，第個正方形的邊長為，即，即數列是首項為，公比為的等比數列，，故數列是首項為，公比為的等比數列，，所以如果這個作圖過程可以一直繼續下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于8，故答案為：8.15.已知函數在區間上單調遞減，則實數a的最大值是___________．【答案】【解析】由題意，因為函數在區間上單調遞減，所以在區間上恒成立，即，又，所以，即實數a的最大值是.故答案為：16.如圖所示，由圓錐曲線的光學性質知道：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射（即經橢圓在該點處的切線反射）后，反射光線經過橢圓的另一個焦點．已知橢圓C的方程為，其左、右焦點分別是，，直線l與橢圓C相切于點，過點P且與直線垂直的直線與橢圓長軸交于點M，則_______________．【答案】【解析】因為直線與橢圓C相切于點，所以，解得，由橢圓C的方程為，所以,,由橢圓的定義可知：，由橢圓的光學性質得到直線平分，可得.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知圓C經過兩點，，且圓心在直線上．（1）求圓C的方程；（2）過點作直線l與圓C交于M，N兩點，若，求直線l的方程．解：（1）設圓C的方程為，則，解得，所以圓C的方程為．（2）設圓心到直線l的距離為d，則，則．當直線l的斜率不存在時，直線l：，滿足題意；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，即，所以，解得，此時，直線l的方程為，即．綜上所述，直線l的方程為或．18.已知函數．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數有三個不同的零點，求實數m的取值范圍．解：（1）當時，，．所以，，所以切線l：，即（2）令，得或．當或時，；當時，．∴的增區間為，；減區間為．∴的極大值為，的極小值為．∴，解得：．此時，，所以函數有三個不同的零點，所以．19.對于橢圓：，我們稱雙曲線：為其伴隨雙曲線．已知橢圓C：（），它的離心率是其伴隨雙曲線M的離心率的倍．（1）求橢圓C伴隨雙曲線M的方程；（2）如圖,點分別為雙曲線M的下頂點和上焦點，過F的直線l與M上支交于兩點，的面積為，求直線的方程．解：（1）設橢圓C與其伴隨雙曲線M的離心率分別為，，依題意可得，，即，即，解得，所以橢圓C：，則橢圓C伴隨雙曲線M的方程為．（2）由（1）可知，，設直線l的斜率為k，，，則直線l的方程，與雙曲線聯立并消去y得，則，所以，，又，又，所以，解得或，因為直線與雙曲線上支交于兩點，所以，即，，即，解得，所以,所以直線AB的方程為：或.20.已知數列是遞增的等比數列，前3項和為13，且，，成等差數列，（1）求數列的通項公式；（2）數列的首項，其前n項和為，且，若數列滿足，求的前n項和．在如下兩個條件中任意選擇一個，填入上面橫線處，并根據題意解決問題．①（，）；②（）．解：（1）由題意得，可得，，設遞增的等比數列數列的公比為q，得，解得或（舍），則；所以數列的通項公式為.（2）選①（），可得為首項為1，公差為2的等差數列，則，，則，，兩式相減可得，化簡可得，所以的前n項和.選②，當時，，又，兩式相減可得，則，可得為首項為1，公比為的等比數列，則；所以，可得．所以的前n項和.21.已知橢圓C：（）左，右焦點分別為，，離心率，點在橢圓C上．（1）求橢圓C的方程．（2）若A，B為橢圓C上的兩個動點，過且垂直x軸的直線平分，證明：直線過定點．解：（1）因，又，即，解得，，故橢圓C的方程為．（2）由題意可知直線的斜率存在，，設直線的方程為，設，，由，消去得，則，，．設直線，的傾斜角分別為，，由題意可得，即，所以，即，所以，所以，化簡可得，所以直線的方程為，故直線過定點．22.已知函數．（1）若，求函數的增區間；（2）若不等式對都成立，求實數a的取值范圍．解：（1）由題意知的定義域為．當時，．令，解得：．所以的增區間為（2）①當時當時，；當時，．所以增區間為，減區間為∴由題：，解得：或．∴或②當時當或時，；當時，．∴為或，，由題：．解得：③當時在上單調遞減所以成立，故成立④當時當或時，；當時，．∴為或，，由題：．解得：⑤當時當時，；當時，．∴為或，，由題：．解得：．綜上：或．江蘇省南京市江寧區2023-2024學年高二上學期期末統考數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.拋物線的準線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題知拋物線,所以，故拋物線的準線方程為.故選：A.2.在數列中，是其前n項和，，（），則（）A. B.nC. D.【答案】C【解析】數列中，，，所以是首項為3公差為3的等差數列，則，，.故選：C3.設a為正實數，若圓與圓相外切，則a的值為（）A.4 B.6 C.24 D.26【答案】B【解析】結合題意：圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，所以圓心距為，而，因為兩圓相外切，所以，即.故選：B.4.任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除以2．反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環圈1→4→2→1．這就是數學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數m=6,根據上述運算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1→4→2→1→……．現給出“冰雹猜想”的遞推關系如下：已知數列滿足：（m為正整數），．當時，使得的最小正整數n值是（）A.17 B.16 C.15 D.10【答案】B【解析】時即.故選：B5.圓關于直線對稱后的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】圓的圓心半徑為，由得，設圓心關于直線對稱點的坐標為，則，解得,所以對稱圓的方程為.故選：A.6.在平面直角坐標系xOy中，已知直線與拋物線交于A、B兩點（異于O點），若，則實數m的值為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】D【解析】依題意，設聯立方程組，，得，所以，因為，即，解得.故選：D7.若函數在處有極大值，則常數c為（）A.1 B.3 C.1或3 D.-1或-3【答案】B【解析】函數，，由題意知，在處的導數值為，，或，又函數在處有極大值，故導數值在處左側為正數，右側為負數．當時，，滿足導數值在處左側為正數，右側為負數．當時，，導數值在處左側為負數，右側為正數．故．故選：B．8.已知圓的一條切線與雙曲線C：（，）有兩個交點，則雙曲線C離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由可得圓心，半徑，則圓心到切線的距離，解得：，所以切線方程為，因為與雙曲線有兩個交點，所以，所以，即雙曲線的離心率的取值范圍為.故選：A.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，不選或有錯選的得0分．9.已知曲線C的方程為（），則下列結論正確的是（）A.當時，曲線C為圓B.“”是“曲線C為焦點在x軸上的橢圓”的必要且不充分條件C.存在實數k使得曲線C為雙曲線，且離心率為D.當時，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為【答案】ABD【解析】由題意，曲線C的方程為（）對于A中，當時，曲線C的方程為，此時曲線C表示圓心在原點，半徑為的圓，所以是A正確的；對于B中，當曲線C的方程為（），表示焦點在x軸上的橢圓，則滿足，解得，所以“”是“曲線C為焦點在x軸上的橢圓”的必要且不充分條件，所以B正確；對于C中，當曲線C的方程為（）表示離心率為的雙曲線時，則滿足，無解，所以C不正確；對于D中，當時，曲線C的方程為（），可得，此時雙曲線C漸近線方程為，所以D是正確的.故選：ABD.10.已知直線，，則（）A.直線過定點 B.當時，C.當時， D.當時，兩直線，之間的距離為1【答案】ACD【解析】對A，變形為令，則，因此直線過定點，A正確；對于B，當時，，由于，，故兩直線不平行，B錯誤；對于C，當時，，由于，故兩直線平行，C正確；對于D，當時，則滿足，解得，此時，則兩直線距離，D正確；故選：ACD11.在數列中，，（），前n項和為．則下列結論正確的是（）A. B.是等比數列C.是等比數列 D.是遞增數列【答案】ACD【解析】因，可得，且，可知數列是以首項為4，公比為2的等比數列，可得，即，則，且在上單調遞增，可知是遞增數列，故ACD正確；因為，顯然，可知不是等比數列，故B錯誤；故選：ACD.12.已知函數的定義域為R，其導函數滿足，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】構造函數，其中，則，所以，函數為上的減函數，則，即，所以，，A對B錯；因為，則，即，所以，，C錯D對.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在平面直角坐標系xOy中，經過兩點，的直線傾斜角為45°，則實數m的值為_______________．【答案】4【解析】設直線的傾斜角為，則直線的斜率，又，解得.故答案為：4.14.如圖，正方形的邊長為2cm，取正方形各邊的中點E，F，G，H，作第二個正方形，然后再取正方形各邊的中點I，J，K，L，作第三個正方形，依此方法一直繼續下去，如果這個作圖過程可以一直繼續下去，當操作次數無限增大時，所有這些正方形的面積之和將無限趨近于常數_______________．【答案】8【解析】設第n個正方形的邊長為，第個正方形的邊長為，即，即數列是首項為，公比為的等比數列，，故數列是首項為，公比為的等比數列，，所以如果這個作圖過程可以一直繼續下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于8，故答案為：8.15.已知函數在區間上單調遞減，則實數a的最大值是___________．【答案】【解析】由題意，因為函數在區間上單調遞減，所以在區間上恒成立，即，又，所以，即實數a的最大值是.故答案為：16.如圖所示，由圓錐曲線的光學性質知道：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射（即經橢圓在該點處的切線反射）后，反射光線經過橢圓的另一個焦點．已知橢圓C的方程為，其左、右焦點分別是，，直線l與橢圓C相切于點，過點P且與直線垂直的直線與橢圓長軸交于點M，則_______________．【答案】【解析】因為直線與橢圓C相切于點，所以，解得，由橢圓C的方程為，所以,,由橢圓的定義可知：，由橢圓的光學性質得到直線平分，可得.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知圓C經過兩點，，且圓心在直線上．（1）求圓C的方程；（2）過點作直線l與圓C交于M，N兩點，若，求直線l的方程．解：（1）設圓C的方程為，則，解得，所以圓C的方程為．（2）設圓心到直線l的距離為d，則，則．當直線l的斜率不存在時，直線l：，滿足題意；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，即，所以，解得，此時，直線l的方程為，即．綜上所述，直線l的方程為或．18.已知函數．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數有三個不同的零點，求實數m的取值范圍．解：（1）當時，，．所以，，所以切線l：，即（2）令，得或．當或時，；當時，．∴的增區間為，；減區間為．∴的極大值為，的極小值為．∴，解得：．此時，，所以函數有三個不同的零點，所以．19.對于橢圓：，我們稱雙曲線：為其伴隨雙曲線．已知橢圓C：（），它的離心率是其伴隨雙曲線M的離心率的倍．（1）求橢圓C伴隨雙曲線M的方程；（2）如圖,點分別為雙曲線M的下頂點和上焦點，過F的直線l與M上支交于兩點，的面積為，求直線的方程．解：（1）設橢圓C與其伴隨雙曲線M的離心率分別為，，依題意可得，，即，即，解得，所以橢圓C：，則橢圓C伴隨雙曲線M的方程為．